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द्विघात समीकरण कक्षा 10 | Quadratic Equations Chapter 4 RBSE 2026

📅 Friday, 2 January 2026 📖 3-5 min read
द्विघात समीकरण कक्षा 10 | Quadratic Equations Chapter 4 RBSE NCERT 2026

द्विघात समीकरण

अध्याय 4
Quadratic Equations
कक्षा10वीं (RBSE/NCERT)
विषयगणित (Mathematics)
परीक्षा भार6-8 अंक
कठिनाईमध्यम
हल की विधियाँ3 (गुणनखंड, वर्ग पूर्ण, सूत्र)
MCQ50+
सूत्र10
मार्गदर्शकश्री सुरेंद्र सिंह चौहान
श्रृंखलाMarwari Mission 100

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) कक्षा 10 गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें चर की अधिकतम घात 2 होती है। यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में 6-8 अंकों का होता है। श्रीधराचार्य सूत्र और मूलों की प्रकृति इस अध्याय के सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक हैं।

विषय सूची

परिभाषाएँ

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)

वह समीकरण जिसमें चर की अधिकतम घात 2 हो, द्विघात समीकरण कहलाता है।

मानक रूप (Standard Form)
ax² + bx + c = 0

जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0

महत्वपूर्ण शब्दावली

शब्द English अर्थ/उदाहरण
द्विघात समीकरण Quadratic Equation ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
मूल (Root) Root/Zero वह मान जो समीकरण को संतुष्ट करे
विविक्तकर Discriminant (D) D = b² - 4ac
वास्तविक मूल Real Roots जब D ≥ 0
काल्पनिक मूल Imaginary Roots जब D < 0

📌 याद रखें

  • द्विघात समीकरण के अधिकतम 2 मूल होते हैं
  • a ≠ 0 होना अनिवार्य है (अन्यथा रैखिक समीकरण होगा)
  • मूल को शून्यक (Zero) भी कहते हैं

द्विघात समीकरण के उदाहरण

समीकरण a b c द्विघात है?
2x² + 3x - 5 = 0 2 3 -5 ✓ हाँ
x² - 4 = 0 1 0 -4 ✓ हाँ (शुद्ध द्विघात)
3x² + 7x = 0 3 7 0 ✓ हाँ
x + 5 = 0 0 1 5 ✗ नहीं (रैखिक)

गुणनखंड विधि (Factorization Method)

इस विधि में द्विघात व्यंजक को दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखकर मूल ज्ञात किए जाते हैं।

चरण

  1. समीकरण को मानक रूप ax² + bx + c = 0 में लिखें
  2. ac का गुणनफल ज्ञात करें
  3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करें जिनका गुणनफल = ac और योग = b हो
  4. मध्य पद को विभाजित करें
  5. गुणनखंड करें
  6. प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखकर मूल ज्ञात करें

उदाहरण 1

प्रश्न: x² + 5x + 6 = 0 को गुणनखंड विधि से हल करें।

हल:

यहाँ a = 1, b = 5, c = 6

ac = 1 × 6 = 6

दो संख्याएँ जिनका गुणनफल = 6 और योग = 5 → 2 और 3

x² + 2x + 3x + 6 = 0

x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

(x + 2)(x + 3) = 0

x + 2 = 0 या x + 3 = 0

∴ x = -2 या x = -3

उदाहरण 2

प्रश्न: 2x² - 7x + 3 = 0 को हल करें।

हल:

ac = 2 × 3 = 6

दो संख्याएँ: गुणनफल = 6, योग = -7 → -6 और -1

2x² - 6x - x + 3 = 0

2x(x - 3) - 1(x - 3) = 0

(2x - 1)(x - 3) = 0

∴ x = 1/2 या x = 3

वर्ग पूर्ण करने की विधि (Completing the Square)

इस विधि में समीकरण के बायें पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाकर मूल ज्ञात किए जाते हैं।

चरण

  1. समीकरण को ax² + bx + c = 0 रूप में लिखें
  2. दोनों पक्षों को a से भाग दें: x² + (b/a)x + c/a = 0
  3. अचर पद को दायें पक्ष में ले जाएँ: x² + (b/a)x = -c/a
  4. दोनों पक्षों में (b/2a)² जोड़ें
  5. बायें पक्ष को (x + b/2a)² रूप में लिखें
  6. वर्गमूल लेकर x का मान ज्ञात करें

उदाहरण

प्रश्न: x² + 4x - 5 = 0 को वर्ग पूर्ण करके हल करें।

हल:

x² + 4x = 5

दोनों पक्षों में (4/2)² = 4 जोड़ने पर:

x² + 4x + 4 = 5 + 4

(x + 2)² = 9

x + 2 = ±3

x + 2 = 3 या x + 2 = -3

∴ x = 1 या x = -5

श्रीधराचार्य सूत्र (Quadratic Formula)

श्रीधराचार्य एक महान भारतीय गणितज्ञ थे जिन्होंने 9वीं शताब्दी में द्विघात समीकरण का सूत्र दिया।

श्रीधराचार्य सूत्र (Shridharacharya Formula)
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

जहाँ ax² + bx + c = 0 और a ≠ 0

विविक्तकर (Discriminant)
D = b² - 4ac

उदाहरण

प्रश्न: 2x² - 5x + 2 = 0 को श्रीधराचार्य सूत्र से हल करें।

हल:

यहाँ a = 2, b = -5, c = 2

D = b² - 4ac = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9

√D = √9 = 3

x = (-b ± √D) / 2a

x = (5 ± 3) / 4

x = (5 + 3)/4 = 8/4 = 2

x = (5 - 3)/4 = 2/4 = 1/2

∴ x = 2 या x = 1/2

मूलों की प्रकृति (Nature of Roots)

विविक्तकर D = b² - 4ac के मान से मूलों की प्रकृति ज्ञात की जाती है।

विविक्तकर (D) मूलों की प्रकृति विवरण
D > 0 दो भिन्न वास्तविक मूल Two distinct real roots
D = 0 दो समान वास्तविक मूल Two equal real roots (x = -b/2a)
D < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं No real roots (काल्पनिक मूल)

💡 विशेष स्थितियाँ

स्थिति परिणाम
D > 0 और D पूर्ण वर्ग मूल परिमेय होंगे
D > 0 और D पूर्ण वर्ग नहीं मूल अपरिमेय होंगे
a = 1, b, c पूर्णांक और D पूर्ण वर्ग मूल पूर्णांक हो सकते हैं

उदाहरण

प्रश्न: निम्न समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात करें:

(i) x² - 6x + 9 = 0

D = 36 - 36 = 0 → दो समान वास्तविक मूल

(ii) 2x² + 3x + 5 = 0

D = 9 - 40 = -31 < 0 → कोई वास्तविक मूल नहीं

(iii) x² - 5x + 6 = 0

D = 25 - 24 = 1 > 0 → दो भिन्न वास्तविक मूल

मूलों और गुणांकों में संबंध

यदि α और β द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल हों, तो:

मूलों का योग (Sum of Roots)
α + β = -b/a
मूलों का गुणनफल (Product of Roots)
αβ = c/a

उदाहरण

प्रश्न: 3x² - 5x + 2 = 0 के मूलों का योग और गुणनफल ज्ञात करें।

हल:

यहाँ a = 3, b = -5, c = 2

मूलों का योग = -b/a = -(-5)/3 = 5/3

मूलों का गुणनफल = c/a = 2/3 = 2/3

अन्य महत्वपूर्ण संबंध

व्यंजक सूत्र
α² + β² (α + β)² - 2αβ
α² - β² (α + β)(α - β)
(α - β)² (α + β)² - 4αβ
α³ + β³ (α + β)³ - 3αβ(α + β)
1/α + 1/β (α + β)/αβ

समीकरण का निर्माण

यदि α और β किसी द्विघात समीकरण के मूल हों, तो वह समीकरण:

द्विघात समीकरण का निर्माण
x² - (α + β)x + αβ = 0

या

x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0

उदाहरण

प्रश्न: वह द्विघात समीकरण बनाइए जिसके मूल 3 और -2 हों।

हल:

मूलों का योग = 3 + (-2) = 1

मूलों का गुणनफल = 3 × (-2) = -6

समीकरण: x² - (योग)x + (गुणनफल) = 0

∴ x² - x - 6 = 0

शाब्दिक प्रश्न (Word Problems)

प्रश्नों के प्रकार

प्रकार समीकरण बनाने की विधि
संख्या संबंधी संख्या = x, शर्तों के अनुसार समीकरण
आयु संबंधी वर्तमान आयु = x, गुणनफल की शर्त
क्षेत्रफल संबंधी लंबाई/चौड़ाई = x, क्षेत्रफल = l × b
चाल-दूरी-समय चाल = x, समय = दूरी/चाल
क्रमागत संख्याएँ संख्याएँ: x, x+1 या x, x+2

उदाहरण 1: संख्या संबंधी

प्रश्न: दो क्रमागत धन पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। संख्याएँ ज्ञात करें।

हल:

माना पहली संख्या = x, दूसरी संख्या = x + 1

x(x + 1) = 306

x² + x - 306 = 0

x² + 18x - 17x - 306 = 0

(x + 18)(x - 17) = 0

x = 17 या x = -18

चूँकि धन पूर्णांक चाहिए, x = 17

∴ संख्याएँ = 17 और 18

उदाहरण 2: क्षेत्रफल संबंधी

प्रश्न: एक आयताकार मैदान की लंबाई, चौड़ाई से 3 मीटर अधिक है। यदि क्षेत्रफल 180 वर्ग मीटर है, तो विमाएँ ज्ञात करें।

हल:

माना चौड़ाई = x मीटर, लंबाई = (x + 3) मीटर

क्षेत्रफल = x(x + 3) = 180

x² + 3x - 180 = 0

x² + 15x - 12x - 180 = 0

(x + 15)(x - 12) = 0

x = 12 (चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)

∴ चौड़ाई = 12 मीटर, लंबाई = 15 मीटर

सूत्र सारणी

क्र. सूत्र का नाम सूत्र
1 मानक रूप ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
2 श्रीधराचार्य सूत्र x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
3 विविक्तकर D = b² - 4ac
4 मूलों का योग α + β = -b/a
5 मूलों का गुणनफल αβ = c/a
6 समीकरण निर्माण x² - (α+β)x + αβ = 0
7 α² + β² (α + β)² - 2αβ
8 (α - β)² (α + β)² - 4αβ = D/a²
9 समान मूल की शर्त D = 0, मूल = -b/2a
10 वास्तविक मूल की शर्त D ≥ 0

MCQ प्रश्न (50+)

प्रश्न 1-10 (आधारभूत)

1. द्विघात समीकरण का मानक रूप है:
(A) ax + b = 0 (B) ax² + bx + c = 0 (C) ax³ + bx = 0 (D) x² = 0
उत्तर: (B) ax² + bx + c = 0
2. x² - 5x + 6 = 0 के मूल हैं:
(A) 2, 3 (B) -2, -3 (C) 2, -3 (D) -2, 3
उत्तर: (A) 2, 3
3. यदि D = 0 तो मूल होंगे:
(A) भिन्न वास्तविक (B) समान वास्तविक (C) काल्पनिक (D) कोई नहीं
उत्तर: (B) समान वास्तविक
4. 2x² + 3x - 2 = 0 के मूलों का योग है:
(A) 3/2 (B) -3/2 (C) 2/3 (D) -2/3
उत्तर: (B) -3/2 (योग = -b/a = -3/2)
5. x² - 4 = 0 के मूल हैं:
(A) 2, 2 (B) -2, -2 (C) 2, -2 (D) 4, -4
उत्तर: (C) 2, -2
6. श्रीधराचार्य सूत्र में √(b² - 4ac) को कहते हैं:
(A) मूल (B) गुणांक (C) विविक्तकर (D) योग
उत्तर: (C) विविक्तकर (Discriminant)
7. 3x² - 2x + 1 = 0 का विविक्तकर है:
(A) 8 (B) -8 (C) 4 (D) -4
उत्तर: (B) -8 (D = 4 - 12 = -8)
8. द्विघात समीकरण के अधिकतम मूल होते हैं:
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) अनंत
उत्तर: (B) 2
9. x² + 4x + 4 = 0 के मूल हैं:
(A) 2, 2 (B) -2, -2 (C) 2, -2 (D) 4, 4
उत्तर: (B) -2, -2 (समान मूल)
10. यदि मूल 3 और 4 हों तो समीकरण है:
(A) x² - 7x + 12 = 0 (B) x² + 7x + 12 = 0 (C) x² - 7x - 12 = 0 (D) x² + 7x - 12 = 0
उत्तर: (A) x² - 7x + 12 = 0

प्रश्न 11-30 (मध्यम स्तर)

प्रश्नउत्तर
11. x² + x + 1 = 0 के मूलों की प्रकृतिकाल्पनिक (D = -3 < 0)
12. 4x² - 4x + 1 = 0 के मूल1/2, 1/2 (समान)
13. kx² + 2x + 1 = 0 में समान मूल के लिए kk = 1
14. x² - 6x + k = 0 में समान मूल के लिए kk = 9
15. 2x² - 3x + 5 = 0 के मूलों का गुणनफल5/2
16. मूल 2 और -3 हों तो समीकरणx² + x - 6 = 0
17. x² - 7x + 12 = 0 के मूल3, 4
18. 6x² - x - 2 = 0 के मूल2/3, -1/2
19. (x - 3)(x + 4) = 0 के मूल3, -4
20. x² = 16 के मूल4, -4
21. 2x² + kx + 3 = 0 में वास्तविक मूल के लिए kk ≥ 2√6 या k ≤ -2√6
22. α + β = 5, αβ = 6 हो तो α² + β²13
23. x² - 4x + 3 = 0 में |α - β|2
24. 3x² - 5x - 2 = 0 के मूल2, -1/3
25. x² + 2x - 15 = 0 के मूल3, -5
26. 9x² - 6x + 1 = 0 के मूल1/3, 1/3
27. दो क्रमागत सम संख्याओं का गुणनफल 16812, 14
28. x² - 2x - 3 = 0 के मूलों का अंतर4
29. 1/α + 1/β यदि α + β = 5, αβ = 65/6
30. x² - (k+4)x + 2k + 5 = 0 का एक मूल 2 हो तो kk = 1

प्रश्न 31-50 (उच्च स्तर)

प्रश्नउत्तर
31. x² - 5x + 6 = 0 के मूलों के वर्गों का योग13
32. ax² + bx + c = 0 और cx² + bx + a = 0 का उभयनिष्ठ मूल1 या -1
33. x² + px + q = 0 के मूल 2:3 में हों तो p:q-5:6
34. x² - 8x + k = 0 के मूलों का अंतर 2 हो तो kk = 15
35. α/β + β/α यदि α + β = 3, αβ = 25/2
36. √(x+1) + 1 = x के मूलx = 3
37. x⁴ - 5x² + 4 = 0 के मूल±1, ±2
38. (x-1)/(x+1) + (x+1)/(x-1) = 5/2 का हलx = ±3
39. संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 10/33 या 1/3
40. x² - 2ax + a² - b² = 0 के मूलa + b, a - b
41. आयत परिमाप 50, क्षेत्रफल 15015 × 10
42. x² - (a+b)x + ab = 0 के मूलa, b
43. (2x-3)² = 25 के मूल4, -1
44. x² - √3x + 1 = 0 के मूलों का गुणनफल1
45. 2x² - 7x + 3 = 0 के मूल3, 1/2
46. शुद्ध द्विघात समीकरण का उदाहरणx² - 9 = 0 (b = 0)
47. x² + 5x + 6 = 0 के मूलों के घनों का योग-35
48. kx² - 5x + k = 0 के मूल वास्तविक और समानk = ±5/2
49. x² - 2x - 8 = 0 के मूल4, -2
50. समान मूल होने पर मूल का मानx = -b/2a

⚡ Quick Revision

  • मानक रूप: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
  • श्रीधराचार्य सूत्र: x = (-b ± √D) / 2a
  • विविक्तकर: D = b² - 4ac
  • D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल
  • D = 0: दो समान वास्तविक मूल
  • D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं
  • मूलों का योग: α + β = -b/a
  • मूलों का गुणनफल: αβ = c/a

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🙏 धन्यवाद 🙏

मार्गदर्शक: श्री सुरेंद्र सिंह चौहान

🎯 Marwari Mission 100 🎯

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