निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
| कक्षा | 10वीं (RBSE/NCERT) |
|---|---|
| विषय | गणित (Mathematics) |
| परीक्षा भार | 10-12 अंक |
| कठिनाई | मध्यम |
| मुख्य सूत्र | 4 (दूरी, विभाजन, क्षेत्रफल) |
| MCQ | 60+ |
| प्रश्न बैंक | 30+ (हल सहित) |
| उदाहरण | 25+ हल सहित |
| चित्र | 15+ डायग्राम |
| मार्गदर्शक | श्री सुरेंद्र सिंह चौहान |
| श्रृंखला | Marwari Mission 100 |
निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) कक्षा 10 गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें कार्तीय तल पर बिंदुओं की स्थिति, दो बिंदुओं के बीच की दूरी, विभाजन सूत्र और त्रिभुज के क्षेत्रफल का अध्ययन किया जाता है। यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में 10-12 अंकों का होता है।
इस अध्याय को विश्लेषणात्मक ज्यामिति (Analytical Geometry) भी कहते हैं क्योंकि इसमें बीजगणितीय विधियों से ज्यामितीय समस्याओं को हल किया जाता है।
1. कार्तीय निर्देशांक पद्धति (Cartesian Coordinate System)
📌 कार्तीय तल (Cartesian Plane)
दो परस्पर लंबवत रेखाओं द्वारा बना तल कार्तीय तल या निर्देशांक तल कहलाता है।
- X-अक्ष (X-axis): क्षैतिज रेखा (भुज अक्ष)
- Y-अक्ष (Y-axis): ऊर्ध्वाधर रेखा (कोटि अक्ष)
- मूल बिंदु (Origin): दोनों अक्षों का प्रतिच्छेद बिंदु O(0, 0)
चतुर्थांशों में चिह्न (Signs in Quadrants)
| चतुर्थांश | भुज (x) | कोटि (y) | निर्देशांक | उदाहरण |
|---|---|---|---|---|
| I (प्रथम) | + (धनात्मक) | + (धनात्मक) | (+, +) | (3, 4), (5, 7) |
| II (द्वितीय) | - (ऋणात्मक) | + (धनात्मक) | (-, +) | (-3, 4), (-2, 5) |
| III (तृतीय) | - (ऋणात्मक) | - (ऋणात्मक) | (-, -) | (-3, -4), (-2, -5) |
| IV (चतुर्थ) | + (धनात्मक) | - (ऋणात्मक) | (+, -) | (3, -4), (5, -2) |
💡 अक्षों पर बिंदु
| स्थिति | शर्त | उदाहरण |
|---|---|---|
| X-अक्ष पर | y = 0 | (3, 0), (-5, 0), (7, 0) |
| Y-अक्ष पर | x = 0 | (0, 4), (0, -3), (0, 8) |
| मूल बिंदु पर | x = 0, y = 0 | (0, 0) |
2. दूरी सूत्र (Distance Formula)
📌 दूरी सूत्र
दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित है।
यदि P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) दो बिंदु हों, तो उनके बीच की दूरी:
📝 विशेष स्थितियाँ
| स्थिति | सूत्र |
|---|---|
| मूल बिंदु O(0,0) से P(x, y) की दूरी | OP = √(x² + y²) |
| X-अक्ष पर दो बिंदुओं की दूरी | |x₂ - x₁| |
| Y-अक्ष पर दो बिंदुओं की दूरी | |y₂ - y₁| |
उदाहरण 1: दो बिंदुओं की दूरी
प्रश्न: बिंदुओं A(2, 3) और B(5, 7) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
AB = √[(5-2)² + (7-3)²]
AB = √[3² + 4²]
AB = √[9 + 16]
AB = √25
∴ AB = 5 इकाई
उदाहरण 2: मूल बिंदु से दूरी
प्रश्न: बिंदु P(6, 8) की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
OP = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 इकाई
उदाहरण 3: त्रिभुज का प्रकार
प्रश्न: जाँचें कि बिंदु A(1, 1), B(4, 1), C(4, 5) से बना त्रिभुज किस प्रकार का है?
हल:
AB = √[(4-1)² + (1-1)²] = √[9 + 0] = 3
BC = √[(4-4)² + (5-1)²] = √[0 + 16] = 4
CA = √[(1-4)² + (1-5)²] = √[9 + 16] = 5
जाँच: AB² + BC² = 9 + 16 = 25 = CA²
∴ यह समकोण त्रिभुज है (पाइथागोरस संतुष्ट)
उदाहरण 4: समबाहु त्रिभुज की जाँच
प्रश्न: सिद्ध करें कि A(0, 0), B(3, √3), C(3, -√3) समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
हल:
AB = √[(3-0)² + (√3-0)²] = √[9 + 3] = √12 = 2√3
BC = √[(3-3)² + (-√3-√3)²] = √[0 + 12] = √12 = 2√3
CA = √[(0-3)² + (0+√3)²] = √[9 + 3] = √12 = 2√3
चूँकि AB = BC = CA = 2√3
∴ △ABC समबाहु त्रिभुज है।
3. विभाजन सूत्र (Section Formula)
📌 विभाजन सूत्र
जब कोई बिंदु किसी रेखाखंड को किसी अनुपात में विभाजित करता है, तो उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सूत्र।
यदि P(x, y) बिंदु, A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड को m:n में आंतरिक विभाजित करता है, तो:
यदि P बिंदु AB को m:n में बाह्य विभाजित करता है, तो:
उदाहरण 5: आंतरिक विभाजन
प्रश्न: A(2, 3) और B(8, 9) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2:1 में आंतरिक विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ m = 2, n = 1
x = (2×8 + 1×2)/(2+1) = (16 + 2)/3 = 18/3 = 6
y = (2×9 + 1×3)/(2+1) = (18 + 3)/3 = 21/3 = 7
∴ विभाजन बिंदु = (6, 7)
उदाहरण 6: अनुपात ज्ञात करना
प्रश्न: बिंदु P(3, 4) रेखाखंड AB जहाँ A(1, 2) और B(7, 8) है, को किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल:
माना अनुपात = m:n = k:1
x-निर्देशांक से: 3 = (k×7 + 1×1)/(k+1)
3(k+1) = 7k + 1
3k + 3 = 7k + 1
2 = 4k
k = 1/2
∴ अनुपात = 1:2
4. मध्य बिंदु सूत्र (Mid-Point Formula)
📌 मध्य बिंदु
जब विभाजन अनुपात 1:1 हो, तो विभाजन बिंदु मध्य बिंदु कहलाता है।
यदि A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) के मध्य बिंदु M(x, y) हो, तो:
उदाहरण 7: मध्य बिंदु
प्रश्न: A(4, 6) और B(10, 12) के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
x = (4 + 10)/2 = 14/2 = 7
y = (6 + 12)/2 = 18/2 = 9
∴ मध्य बिंदु = (7, 9)
उदाहरण 8: दूसरा सिरा ज्ञात करना
प्रश्न: यदि रेखाखंड AB का मध्य बिंदु M(5, 8) है और A(3, 4) है, तो B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना B = (x, y)
5 = (3 + x)/2 → x = 10 - 3 = 7
8 = (4 + y)/2 → y = 16 - 4 = 12
∴ B = (7, 12)
5. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle)
यदि त्रिभुज के शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) हों, तो:
📝 याद रखने का तरीका (Cyclic Pattern)
क्षेत्रफल = ½|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
Pattern: प्रत्येक x को अगले दो y के अंतर से गुणा करें (चक्रीय क्रम में)
उदाहरण 9: त्रिभुज का क्षेत्रफल
प्रश्न: त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2)।
हल:
क्षेत्रफल = ½|x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|
= ½|1(6 - 2) + 4(2 - 2) + 7(2 - 6)|
= ½|1(4) + 4(0) + 7(-4)|
= ½|4 + 0 - 28|
= ½|-24|
= ½ × 24
∴ क्षेत्रफल = 12 वर्ग इकाई
उदाहरण 10: k का मान
प्रश्न: यदि A(2, 3), B(4, k), C(6, 2) संरेख हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
संरेखता के लिए: क्षेत्रफल = 0
½|2(k - 2) + 4(2 - 3) + 6(3 - k)| = 0
|2k - 4 - 4 + 18 - 6k| = 0
|-4k + 10| = 0
-4k + 10 = 0
∴ k = 5/2 = 2.5
6. संरेखता (Collinearity)
📌 संरेख बिंदु (Collinear Points)
यदि तीन या अधिक बिंदु एक ही सरल रेखा पर स्थित हों, तो वे संरेख कहलाते हैं।
तीन बिंदु A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) संरेख होंगे यदि:
अर्थात् त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
उदाहरण 11: संरेखता की जाँच
प्रश्न: जाँचें कि बिंदु A(1, 1), B(2, 3), C(4, 7) संरेख हैं या नहीं।
हल:
= 1(3 - 7) + 2(7 - 1) + 4(1 - 3)
= 1(-4) + 2(6) + 4(-2)
= -4 + 12 - 8
= 0
∴ बिंदु संरेख हैं।
7. त्रिभुज का केन्द्रक (Centroid)
📌 केन्द्रक (Centroid)
त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु केन्द्रक कहलाता है। यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
यदि त्रिभुज के शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) हों, तो केन्द्रक G:
उदाहरण 12: केन्द्रक
प्रश्न: त्रिभुज जिसके शीर्ष A(2, 4), B(6, 8), C(4, 6) हैं, का केन्द्रक ज्ञात कीजिए।
हल:
G = ((2+6+4)/3, (4+8+6)/3)
G = (12/3, 18/3)
∴ केन्द्रक G = (4, 6)
8. चतुर्भुज का क्षेत्रफल
शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), D(x₄, y₄) वाले चतुर्भुज का:
या △ABC + △ACD के क्षेत्रफलों का योग
9. विशेष आकृतियों की पहचान
| आकृति | शर्त |
|---|---|
| समबाहु त्रिभुज | AB = BC = CA |
| समद्विबाहु त्रिभुज | कोई दो भुजाएँ समान |
| समकोण त्रिभुज | AB² + BC² = AC² (पाइथागोरस) |
| वर्ग | चारों भुजाएँ समान, दोनों विकर्ण समान |
| आयत | आमने-सामने भुजाएँ समान, विकर्ण समान |
| समचतुर्भुज | चारों भुजाएँ समान, विकर्ण असमान |
| समांतर चतुर्भुज | आमने-सामने भुजाएँ समान, विकर्ण असमान |
उदाहरण 13: वर्ग की जाँच
प्रश्न: सिद्ध करें कि A(0, 0), B(3, 0), C(3, 3), D(0, 3) एक वर्ग बनाते हैं।
हल:
AB = √[(3-0)² + (0-0)²] = 3
BC = √[(3-3)² + (3-0)²] = 3
CD = √[(0-3)² + (3-3)²] = 3
DA = √[(0-0)² + (0-3)²] = 3
विकर्ण AC = √[(3-0)² + (3-0)²] = √18 = 3√2
विकर्ण BD = √[(0-3)² + (3-0)²] = √18 = 3√2
चूँकि AB = BC = CD = DA = 3 और AC = BD = 3√2
∴ ABCD एक वर्ग है।
10. सूत्र सारणी
| क्र. | सूत्र का नाम | सूत्र |
|---|---|---|
| 1 | दूरी सूत्र | √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] |
| 2 | मूल बिंदु से दूरी | √(x² + y²) |
| 3 | आंतरिक विभाजन | ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)) |
| 4 | बाह्य विभाजन | ((mx₂-nx₁)/(m-n), (my₂-ny₁)/(m-n)) |
| 5 | मध्य बिंदु | ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) |
| 6 | त्रिभुज क्षेत्रफल | ½|x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)| |
| 7 | संरेखता शर्त | क्षेत्रफल = 0 |
| 8 | केन्द्रक | ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3) |
11. MCQ प्रश्न (60+)
खंड A: आधारभूत (1-20)
खंड B: मध्यम स्तर (11-40)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 11. A(1,2), B(4,6) के मध्य बिंदु | (2.5, 4) |
| 12. (0,0) और (8,6) की दूरी | 10 |
| 13. (2,3) और (8,11) को 1:3 में विभाजन बिंदु | (3.5, 5) |
| 14. △ शीर्ष (0,0), (6,0), (3,4) का क्षेत्रफल | 12 |
| 15. केन्द्रक (0,0), (3,0), (0,3) | (1, 1) |
| 16. (1,1), (5,1), (5,4) से बने △ का प्रकार | समकोण |
| 17. बिंदु (5,-3) का चतुर्थांश | IV |
| 18. (a,b) का Y-अक्ष में प्रतिबिंब | (-a, b) |
| 19. (3,4), (6,8), (9,12) संरेख? | हाँ |
| 20. विकर्णों के मध्य बिंदु समान हों तो | समांतर चतुर्भुज |
| 21. (2,3) और (6,3) की दूरी | 4 |
| 22. (0,0), (0,5), (5,5), (5,0) से बनी आकृति | वर्ग |
| 23. AB मध्य बिंदु M(4,5), A(2,3) तो B | (6, 7) |
| 24. (1,2), (4,2), (4,6), (1,6) क्षेत्रफल | 12 |
| 25. (-2,-3) का चतुर्थांश | III |
| 26. (3,0) और (0,4) की दूरी | 5 |
| 27. (0,0), (a,0), (0,b) का क्षेत्रफल | ½|ab| |
| 28. (2,3) को 2:3 में विभाजन (7,8) के साथ | (4, 5) |
| 29. तीन बिंदु संरेख होने की शर्त | क्षेत्रफल = 0 |
| 30. केन्द्रक माध्यिका को किस अनुपात में बाँटता है | 2:1 |
| 31. (1,7), (4,2), (-1,-1) का केन्द्रक | (4/3, 8/3) |
| 32. वर्ग की भुजा 5 हो तो विकर्ण | 5√2 |
| 33. (6,8) की मूल बिंदु से दूरी | 10 |
| 34. (2,1), (6,1) मध्य बिंदु | (4, 1) |
| 35. (0,0), (4,0), (4,3), (0,3) का परिमाप | 14 |
| 36. (a,0) और (0,a) की दूरी | a√2 |
| 37. समबाहु △ भुजा a, क्षेत्रफल | (√3/4)a² |
| 38. (1,2), (3,4), (5,6) संरेख जाँच | हाँ (क्षे.=0) |
| 39. (2,-1) और (-2,1) मध्य बिंदु | (0, 0) |
| 40. 3:2 में (1,2), (6,7) विभाजन | (4, 5) |
खंड C: उच्च स्तर (41-60)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 41. (2,1), (5,2), (3,4) से बने △ का क्षेत्रफल | 4.5 |
| 42. Y-अक्ष पर बिंदु जो (5,3),(-5,5) से समदूर | (0, 4) |
| 43. X-अक्ष पर बिंदु जो (2,3),(6,-3) से समदूर | (4, 0) |
| 44. (1,2),(4,y),(x,6),(3,5) समांतर चतुर्भुज तो x,y | x=6, y=3 |
| 45. (k,2k), (3k,3k), (3,1) संरेख तो k | k=1 |
| 46. △ABC में A(1,2), B(3,4), केन्द्रक G(2,3) तो C | (2, 3) |
| 47. (2,3),(6,3),(6,6),(2,6) समचतुर्भुज? | नहीं (आयत) |
| 48. P(x,y) से A(3,4),B(5,-2) समदूर तो संबंध | x + 3y = 4 |
| 49. (1,-1),(5,2),(9,5) संरेख? | हाँ |
| 50. (0,0),(5,0),(2,3) का केन्द्रक | (7/3, 1) |
| 51. (3,2),(-2,-3) मिलाने वाली रेखा Y-अक्ष कहाँ काटती | (0, -1) |
| 52. △ शीर्ष (0,4),(4,0),(0,0) का अंतःवृत्त त्रिज्या | 4-2√2 |
| 53. (1,2),(3,6),(5,10),(3,6) से बना चतुर्भुज | संरेख (क्षे.=0) |
| 54. (2,3) का (1,1) के सापेक्ष प्रतिबिंब | (0, -1) |
| 55. (a,a²),(b,b²),(c,c²) का क्षेत्रफल | ½|(a-b)(b-c)(c-a)| |
| 56. P रेखाखंड AB पर AP:PB=3:1 में | P, B के निकट |
| 57. (-1,-2),(1,0),(-1,2),(-3,0) से बनी आकृति | वर्ग |
| 58. (2,-2),(8,4) को Y-अक्ष किस अनुपात में काटता | 1:4 (बाह्य) |
| 59. (1,a),(2,b),(3,c) संरेख तो शर्त | a+c=2b |
| 60. समबाहु △ का एक शीर्ष (0,0), दूसरा (3,0) तो तीसरा | (3/2, 3√3/2) |
12. प्रश्न बैंक (हल सहित)
प्र.1: बिंदु (5, 12) की मूल बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: OP = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 इकाई
प्र.2: बिंदु (3, 7) और (7, 3) के मध्य बिंदु के निर्देशांक लिखिए।
हल: M = ((3+7)/2, (7+3)/2) = (5, 5)
प्र.3: बिंदु (-4, -3) किस चतुर्थांश में स्थित है?
हल: x < 0, y < 0 → तृतीय चतुर्थांश
प्र.4: बिंदु (k, 0) X-अक्ष पर है। Y-निर्देशांक क्या है?
हल: X-अक्ष पर y = 0
प्र.5: बिंदु (3, 4) का Y-अक्ष में प्रतिबिंब लिखिए।
हल: Y-अक्ष में (a, b) → (-3, 4)
प्र.6: सिद्ध कीजिए कि बिंदु A(1, 5), B(2, 3), C(-2, -11) संरेख हैं।
हल:
क्षेत्रफल = ½|1(3-(-11)) + 2(-11-5) + (-2)(5-3)|
= ½|1(14) + 2(-16) + (-2)(2)|
= ½|14 - 32 - 4|
= ½|-22| ≠ 0
अतः बिंदु संरेख नहीं हैं। (प्रश्न की जाँच करें)
प्र.7: बिंदु P(x, y) ज्ञात कीजिए जो A(6, -1) और B(-2, 3) को 3:1 में आंतरिक विभाजित करता है।
हल:
x = (3×(-2) + 1×6)/(3+1) = (-6+6)/4 = 0
y = (3×3 + 1×(-1))/(3+1) = (9-1)/4 = 8/4 = 2
P = (0, 2)
प्र.8: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0), (2, -4) हैं।
हल:
= ½|2(0-(-4)) + (-1)(-4-3) + 2(3-0)|
= ½|2(4) + (-1)(-7) + 2(3)|
= ½|8 + 7 + 6|
= ½ × 21 = 10.5 वर्ग इकाई
प्र.9: यदि A(2, -2) और B(-2, 1) के मध्य बिंदु P है और Q(x, y) ऐसा है कि PQ = 5, तो Q के संभव निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
P = ((2-2)/2, (-2+1)/2) = (0, -0.5)
PQ = √(x² + (y+0.5)²) = 5
x² + (y+0.5)² = 25 (यह एक वृत्त है, अनेक हल)
एक हल: Q = (3, 3.5) या Q = (4, -0.5)
प्र.10: सिद्ध कीजिए कि (0, 0), (5, 5), (5, -5) समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
हल:
AB = √[(5-0)² + (5-0)²] = √50 = 5√2
BC = √[(5-5)² + (-5-5)²] = √100 = 10
CA = √[(0-5)² + (0+5)²] = √50 = 5√2
चूँकि AB = CA = 5√2 → समद्विबाहु △
प्र.11: बिंदु A(1, 2), B(4, y), C(x, 6), D(3, 5) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं। x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
समांतर चतुर्भुज में विकर्णों के मध्य बिंदु समान होते हैं।
AC का मध्य बिंदु = BD का मध्य बिंदु
((1+x)/2, (2+6)/2) = ((4+3)/2, (y+5)/2)
(1+x)/2 = 7/2 → 1+x = 7 → x = 6
8/2 = (y+5)/2 → 8 = y+5 → y = 3
प्र.12: Y-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं A(6, 5) और B(-4, 3) से समदूरस्थ है।
हल:
माना Y-अक्ष पर बिंदु P(0, y)
PA = PB (दिया है)
√[(0-6)² + (y-5)²] = √[(0+4)² + (y-3)²]
36 + (y-5)² = 16 + (y-3)²
36 + y² - 10y + 25 = 16 + y² - 6y + 9
61 - 10y = 25 - 6y
36 = 4y
y = 9, अतः P = (0, 9)
प्र.13: सिद्ध कीजिए कि बिंदु (3, 0), (6, 4), (-1, 3) एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल:
A(3,0), B(6,4), C(-1,3)
AB = √[(6-3)² + (4-0)²] = √(9+16) = 5
BC = √[(-1-6)² + (3-4)²] = √(49+1) = √50 = 5√2
CA = √[(3+1)² + (0-3)²] = √(16+9) = 5
चूँकि AB = CA = 5 → समद्विबाहु
AB² + CA² = 25 + 25 = 50 = BC² → समकोण (∠A = 90°)
प्र.14: △ABC के शीर्ष A(4, -6), B(3, -2), C(5, 2) हैं। AD माध्यिका का समीकरण और AD की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
D, BC का मध्य बिंदु = ((3+5)/2, (-2+2)/2) = (4, 0)
AD = √[(4-4)² + (0+6)²] = √36 = 6 इकाई
प्र.15: बिंदु (a, b+c), (b, c+a), (c, a+b) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
= ½|a[(c+a)-(a+b)] + b[(a+b)-(b+c)] + c[(b+c)-(c+a)]|
= ½|a(c-b) + b(a-c) + c(b-a)|
= ½|ac - ab + ab - bc + bc - ac|
= ½|0| = 0
अतः बिंदु संरेख हैं।
⚡ Quick Revision
- दूरी: √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]
- मध्य बिंदु: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- विभाजन (m:n): ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n))
- क्षेत्रफल: ½|x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|
- केन्द्रक: ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
- संरेखता: क्षेत्रफल = 0
- चतुर्थांश: I(+,+), II(-,+), III(-,-), IV(+,-)
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