प्रायिकता (Probability)
| कक्षा | 10वीं (RBSE/NCERT/CBSE) |
|---|---|
| विषय | गणित (Mathematics) |
| परीक्षा भार | 4 अंक |
| कठिनाई | ⭐⭐⭐ मध्यम |
| मुख्य विषय | पासा, ताश, सिक्का |
| मूल सूत्र | P(E) = अनुकूल/कुल |
| परास | 0 ≤ P(E) ≤ 1 |
| MCQ | 100+ |
| प्रश्न बैंक | 60+ हल सहित |
| उदाहरण | 50+ विस्तृत |
| मार्गदर्शक | श्री सुरेंद्र सिंह चौहान |
| श्रृंखला | 🎯 Marwari Mission 100 🎯 |
प्रायिकता (Probability) गणित की वह शाखा है जो किसी घटना के होने की संभावना को मापती है। यह 0 से 1 के बीच का मान होता है।
इस अध्याय में हम पासा, ताश के पत्ते, सिक्का और अन्य यादृच्छिक प्रयोगों की प्रायिकता का अध्ययन करेंगे।
- 1 प्रायिकता का परिचय
- 2 मूलभूत शब्दावली
- 3 प्रायिकता का सूत्र
- 4 पासा (Dice) - 6 परिणाम
- 5 ताश के पत्ते (Cards) - 52 पत्ते
- 6 सिक्का (Coins)
- 7 प्रायिकता के गुणधर्म
- 8 पूरक घटना
- 9 Memory Tricks & Shortcuts
- 10 सामान्य गलतियाँ
- 11 हल किए गए उदाहरण (50+)
- 12 MCQ प्रश्न (100+)
- 13 प्रश्न बैंक (60+ हल सहित)
- 14 FAQ
1. प्रायिकता का परिचय (Introduction to Probability)
📌 प्रायिकता की परिभाषा
प्रायिकता (Probability) किसी घटना के होने की संभावना का संख्यात्मक माप है।
यह एक संख्या है जो 0 से 1 के बीच होती है।
- P(E) = 0 → घटना असंभव है (Impossible)
- P(E) = 1 → घटना निश्चित है (Certain)
- 0 < P(E) < 1 → घटना संभव है
💡 प्रायिकता के उपयोग
- 🌦️ मौसम: बारिश की संभावना (70% chance of rain)
- 🏏 खेल: टॉस जीतने की संभावना
- 📊 बीमा: जोखिम का आकलन
- 🎰 जुआ: जीतने की संभावना (Don't gamble!)
- 📈 व्यापार: बाजार का विश्लेषण
2. मूलभूत शब्दावली (Basic Terminology)
📌 महत्वपूर्ण परिभाषाएँ
| शब्द | English | अर्थ और उदाहरण |
|---|---|---|
| यादृच्छिक प्रयोग | Random Experiment | वह प्रयोग जिसके सभी संभव परिणाम पहले से ज्ञात हों (पासा फेंकना) |
| परिणाम | Outcome | प्रयोग का एक संभव परिणाम (पासे पर 3 आना) |
| प्रतिदर्श समष्टि | Sample Space (S) | सभी संभव परिणामों का समुच्चय। पासा: S = {1,2,3,4,5,6} |
| घटना | Event (E) | प्रतिदर्श समष्टि का उपसमुच्चय (सम संख्या आना) |
| अनुकूल परिणाम | Favourable Outcomes | घटना के पक्ष में परिणाम (सम: 2, 4, 6 = 3) |
| कुल परिणाम | Total Outcomes | प्रतिदर्श समष्टि के कुल अवयव (पासा: 6) |
3. प्रायिकता का मूल सूत्र (Basic Formula)
🎯 प्रायिकता का सूत्र
जहाँ:
- P(E) = घटना E की प्रायिकता
- n(E) = अनुकूल परिणामों की संख्या (Favourable)
- n(S) = कुल परिणामों की संख्या (Total)
"अनुकूल बँटा कुल" = P(E)
या English में: "Favourable / Total"
P = F/T (Probability = Favourable/Total)
4. पासा (Dice) - 6 परिणाम
🎲 पासे की महत्वपूर्ण जानकारी
| विषय | विवरण |
|---|---|
| कुल फलक | 6 |
| प्रतिदर्श समष्टि | S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| सम संख्याएँ | 2, 4, 6 (3 संख्याएँ) |
| विषम संख्याएँ | 1, 3, 5 (3 संख्याएँ) |
| अभाज्य संख्याएँ | 2, 3, 5 (3 संख्याएँ) |
| पूर्ण वर्ग | 1, 4 (2 संख्याएँ) |
| 3 से बड़ी | 4, 5, 6 (3 संख्याएँ) |
| विपरीत फलकों का योग | हमेशा 7 (1+6, 2+5, 3+4) |
प्रश्न: एक पासा फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
कुल परिणाम n(S) = 6
सम संख्याएँ = {2, 4, 6}, अनुकूल परिणाम n(E) = 3
P(सम संख्या) = 3/6 = 1/2
प्रश्न: एक पासा फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
अभाज्य संख्याएँ = {2, 3, 5}, n(E) = 3
P(अभाज्य) = 3/6 = 1/2
दो पासों का प्रयोग (Two Dice)
🎲🎲 दो पासे फेंकने पर
कुल परिणाम = 6 × 6 = 36
| योग | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| तरीके | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
योग 7 सबसे अधिक बार आता है (6 तरीके)
5. ताश के पत्ते (Playing Cards) - 52 पत्ते
🃏 ताश के पत्तों की संख्या सारणी
| विषय | संख्या | विवरण |
|---|---|---|
| कुल पत्ते | 52 | 4 रंग × 13 पत्ते |
| लाल पत्ते | 26 | ♥ हुकुम (13) + ♦ ईंट (13) |
| काले पत्ते | 26 | ♠ हाथी (13) + ♣ चिड़ी (13) |
| फेस कार्ड | 12 | J, Q, K × 4 रंग |
| King (बादशाह) | 4 | प्रत्येक रंग में 1 |
| Queen (बेगम) | 4 | प्रत्येक रंग में 1 |
| Jack (गुलाम) | 4 | प्रत्येक रंग में 1 |
| Ace (इक्का) | 4 | प्रत्येक रंग में 1 |
| अंक पत्ते (2-10) | 36 | 9 × 4 रंग |
प्रश्न: ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालने पर लाल बादशाह आने की प्रायिकता?
हल:
कुल पत्ते = 52
लाल बादशाह = 2 (♥ King + ♦ King)
P(लाल King) = 2/52 = 1/26
प्रश्न: ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालने पर फेस कार्ड आने की प्रायिकता?
हल:
फेस कार्ड (J, Q, K) = 12
P(फेस कार्ड) = 12/52 = 3/13
6. सिक्का (Coins)
🪙 सिक्कों के परिणाम
| सिक्के | कुल परिणाम | प्रतिदर्श समष्टि |
|---|---|---|
| 1 सिक्का | 2 | {H, T} |
| 2 सिक्के | 4 (2²) | {HH, HT, TH, TT} |
| 3 सिक्के | 8 (2³) | {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} |
| n सिक्के | 2ⁿ | - |
प्रश्न: दो सिक्के एक साथ उछालने पर कम से कम एक चित आने की प्रायिकता?
हल:
S = {HH, HT, TH, TT}, n(S) = 4
कम से कम एक H = {HH, HT, TH} = 3
P(कम से कम एक H) = 3/4 = 3/4
7. प्रायिकता के गुणधर्म
📐 महत्वपूर्ण गुणधर्म
1. परास (Range):
2. निश्चित घटना:
3. असंभव घटना:
4. पूरक घटना:
8. पूरक घटना (Complementary Event)
📌 पूरक घटना
यदि E कोई घटना है, तो E' (E नहीं) उसकी पूरक घटना है।
P(E) + P(E') = 1
P(E') = 1 - P(E)
💡 पूरक घटना का उपयोग
जब "कम से कम एक" या "नहीं होने" की प्रायिकता पूछी जाए:
P(कम से कम एक) = 1 - P(एक भी नहीं)
प्रश्न: एक पासा फेंकने पर 6 न आने की प्रायिकता?
हल:
P(6 आना) = 1/6
P(6 न आना) = 1 - 1/6 = 5/6
9. Memory Tricks & Shortcuts
📌 सूत्र याद रखें:
"P = F/T" (Probability = Favourable/Total)
📌 पासा (Dice):
• कुल = 6
• सम = विषम = अभाज्य = 3-3-3
• विपरीत फलक = 7 (1+6, 2+5, 3+4)
• दो पासे = 36 परिणाम
📌 ताश (Cards):
• 52 = 26 + 26 (लाल + काला)
• 52 = 4 × 13 (4 रंग × 13 पत्ते)
• Face = 12 (J, Q, K × 4)
• Ace = 4
📌 सिक्का (Coin):
• n सिक्के = 2ⁿ परिणाम
• 1→2, 2→4, 3→8
🎯 तुरंत उत्तर:
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| पासे पर सम/विषम/अभाज्य | 1/2 |
| सिक्के पर H या T | 1/2 |
| ताश में लाल/काला | 1/2 |
| ताश में किसी एक रंग का | 1/4 |
| ताश में फेस कार्ड | 3/13 |
| ताश में King/Queen/Jack/Ace | 1/13 |
| पासे पर कोई एक नंबर | 1/6 |
10. सामान्य गलतियाँ
⚠️ सामान्य गलतियाँ और सुधार
| ❌ गलत | ✓ सही |
|---|---|
| P(E) > 1 लिखना | P(E) हमेशा 0 से 1 के बीच |
| 1 को अभाज्य मानना | 1 न तो अभाज्य है न भाज्य (अभाज्य: 2,3,5) |
| ताश में 54 पत्ते | बिना जोकर 52 पत्ते |
| Face card में Ace गिनना | Face = J, Q, K (Ace अलग है) |
| दो पासों के 12 परिणाम | दो पासों के 36 परिणाम |
| भिन्न को सरल न करना | उत्तर सरलतम रूप में दें |
11. हल किए गए उदाहरण (50+)
पासा के उदाहरण
प्रश्न: एक पासा फेंकने पर 5 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता?
हल: 5 से बड़ी = {6}, n(E) = 1
P = 1/6
प्रश्न: एक पासा फेंकने पर 3 का गुणज आने की प्रायिकता?
हल: 3 के गुणज = {3, 6}, n(E) = 2
P = 2/6 = 1/3
ताश के उदाहरण
प्रश्न: ताश की गड्डी से काला फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता?
हल:
काले फेस कार्ड = ♠(J,Q,K) + ♣(J,Q,K) = 6
P = 6/52 = 3/26
प्रश्न: एक पत्ता निकालने पर न लाल न King होने की प्रायिकता?
हल:
लाल पत्ते = 26, काले King = 2
लाल या King = 26 + 2 = 28
न लाल न King = 52 - 28 = 24
P = 24/52 = 6/13
12. MCQ प्रश्न (100+)
खंड A: परिभाषाएँ (1-30)
खंड B: गणनात्मक (31-70)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 6. पासे पर विषम संख्या की P | 1/2 |
| 7. पासे पर अभाज्य की P | 1/2 |
| 8. पासे पर 7 आने की P | 0 |
| 9. पासे पर 6 से छोटी P | 5/6 |
| 10. ताश में लाल Queen | 1/26 |
| 11. ताश में Ace | 1/13 |
| 12. ताश में ♠ | 1/4 |
| 13. ताश में 10 | 1/13 |
| 14. सिक्के पर चित | 1/2 |
| 15. दो सिक्कों पर दोनों चित | 1/4 |
खंड C: उच्च स्तर (71-100)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 71. दो पासों का योग 7 | 1/6 |
| 72. दो पासों का योग 12 | 1/36 |
| 73. दो पासों पर दोनों सम | 1/4 |
| 74. ताश में फेस या Ace | 4/13 |
| 75. 3 सिक्कों पर कम से कम 2 H | 1/2 |
13. प्रश्न बैंक (60+ हल सहित)
प्र.1: प्रायिकता का सूत्र लिखिए।
उत्तर: P(E) = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = n(E)/n(S)
प्र.2: निश्चित घटना की प्रायिकता क्या है?
उत्तर: 1
प्र.3: यदि P(E) = 0.3 तो P(E') = ?
उत्तर: P(E') = 1 - 0.3 = 0.7
प्र.4: ताश में फेस कार्ड कितने होते हैं?
उत्तर: 12 (J, Q, K × 4 रंग)
प्र.5: दो पासे फेंकने पर कुल परिणाम?
उत्तर: 6 × 6 = 36
प्र.6: एक पासा फेंकने पर पूर्ण वर्ग संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल: पूर्ण वर्ग = {1, 4}, n(E) = 2
P = 2/6 = 1/3
प्र.7: ताश से एक काला 7 निकालने की प्रायिकता?
हल: काले 7 = ♠7 + ♣7 = 2
P = 2/52 = 1/26
प्र.8: एक थैले में 5 लाल, 3 नीली और 2 हरी गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकालने पर (i) लाल गेंद (ii) नीली या हरी गेंद (iii) लाल नहीं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
कुल गेंदें = 5 + 3 + 2 = 10
(i) P(लाल) = 5/10 = 1/2
(ii) P(नीली या हरी) = (3+2)/10 = 1/2
(iii) P(लाल नहीं) = 1 - 1/2 = 1/2
14. FAQ
सम्पूर्ण सूत्र सारणी
| विषय | सूत्र/मान | टिप्पणी |
|---|---|---|
| प्रायिकता | P(E) = n(E)/n(S) | अनुकूल/कुल |
| परास | 0 ≤ P(E) ≤ 1 | हमेशा 0-1 के बीच |
| पूरक | P(E') = 1 - P(E) | P(E) + P(E') = 1 |
| पासा | 6 परिणाम | सम=विषम=अभाज्य=3 |
| दो पासे | 36 परिणाम | योग 7 सबसे ज्यादा |
| ताश | 52 पत्ते | 26 लाल + 26 काले |
| Face Card | 12 | J, Q, K × 4 |
| n सिक्के | 2ⁿ परिणाम | 1→2, 2→4, 3→8 |
🎯 मूल सूत्र: P(E) = अनुकूल/कुल
📏 परास: 0 ≤ P ≤ 1
🔄 पूरक: P(E') = 1 - P(E)
🎲 पासा: 6 | दो पासे: 36
🃏 ताश: 52 = 26 + 26
👤 Face: 12 | Ace: 4
🪙 सिक्के: n → 2ⁿ
✓ हमेशा सरलतम रूप में उत्तर
सभी 14 अध्याय पूर्ण!
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🎯 Marwari Mission 100 Complete! 🎯
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