Class 10

पृष्ठीय क्षेत्रफल आयतन कक्षा 10 | Surface Area Volume Ch 12 RBSE 2026

📅 Saturday, 3 January 2026 📖 3-5 min read
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 10 | Surface Areas Volumes Chapter 12 RBSE NCERT 2026

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)

🔷 अध्याय 12 | Chapter 12
3D Shapes: Cylinder, Cone, Sphere, Frustum
कक्षा10वीं (RBSE/NCERT/CBSE)
विषयगणित (Mathematics)
परीक्षा भार6 अंक
कठिनाई⭐⭐⭐⭐ कठिन
मुख्य विषयबेलन, शंकु, गोला, शंकुछिन्न
π का मान22/7 या 3.14
प्रमुख सूत्र20+ सूत्र
3D चित्र90% प्रश्नों में
MCQ120+
प्रश्न बैंक70+ हल सहित
उदाहरण50+ विस्तृत
मार्गदर्शकश्री सुरेंद्र सिंह चौहान
श्रृंखला🎯 Marwari Mission 100

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) कक्षा 10 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। इसमें हम त्रिविमीय आकृतियों (3D Shapes) जैसे बेलन, शंकु, गोला, अर्धगोला और शंकुछिन्न का अध्ययन करते हैं।

यह अध्याय व्यावहारिक जीवन में बहुत उपयोगी है - पानी की टंकी की क्षमता, आइसक्रीम कोन, फुटबॉल, बाल्टी आदि! बोर्ड परीक्षा में इससे 6 अंकों के प्रश्न आते हैं।

📋 विषय सूची (Table of Contents)

1. परिचय: 2D vs 3D आकृतियाँ

📌 द्विविमीय (2D) vs त्रिविमीय (3D)

2D आकृतियाँ 3D आकृतियाँ
लंबाई और चौड़ाई लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई
केवल क्षेत्रफल पृष्ठीय क्षेत्रफल + आयतन
वर्ग, आयत, वृत्त, त्रिभुज घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला
📐 त्रिविमीय आकृतियों का परिचय (3D Shapes Overview)
बेलन (Cylinder) शंकु (Cone) गोला (Sphere) अर्धगोला (Hemisphere) शंकुछिन्न (Frustum) 📚 पृष्ठीय क्षेत्रफल = बाहरी सतह | आयतन = अंदर की जगह CSA = वक्र पृष्ठ | TSA = सम्पूर्ण पृष्ठ | Volume = आयतन

💡 महत्वपूर्ण शब्दावली

  • CSA (Curved Surface Area) = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (केवल गोलाई वाला भाग)
  • TSA (Total Surface Area) = सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (सभी सतहें)
  • LSA (Lateral Surface Area) = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = CSA
  • Volume = आयतन (अंदर की धारिता/जगह)

2. बेलन (Cylinder)

🔵 बेलन (Cylinder) - पानी की टंकी, पाइप, डिब्बा
h r CSA 2πrh वक्र पृष्ठ TSA 2πr(r+h) सम्पूर्ण पृष्ठ आयतन πr²h Volume बेलन (Cylinder): r = त्रिज्या, h = ऊँचाई

🔥 बेलन के सूत्र

राशि सूत्र उदाहरण (r=7, h=10)
वक्र पृष्ठ (CSA) 2πrh 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 cm²
सम्पूर्ण पृष्ठ (TSA) 2πr(r + h) 2 × 22/7 × 7 × 17 = 748 cm²
आयतन (Volume) πr²h 22/7 × 49 × 10 = 1540 cm³
🧠 याद करने की ट्रिक - बेलन
  • CSA = 2πrh → "2 पाई आर एच" (परिधि × ऊँचाई)
  • TSA = 2πr(r+h) → CSA + 2 वृत्त = 2πrh + 2πr²
  • V = πr²h → "पाई आर स्क्वायर एच" (आधार × ऊँचाई)
उदाहरण 1: बेलन

प्रश्न: एक बेलन की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 15 cm है। इसका CSA, TSA और आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

CSA = 2πrh = 2 × (22/7) × 7 × 15 = 660 cm²

TSA = 2πr(r+h) = 2 × (22/7) × 7 × (7+15) = 2 × 22 × 22 = 968 cm²

आयतन = πr²h = (22/7) × 49 × 15 = 2310 cm³

3. शंकु (Cone)

🟠 शंकु (Cone) - आइसक्रीम कोन, जोकर की टोपी, मेघदूत
शीर्ष (Vertex) h r l (तिर्यक) O शंकु के सूत्र l² = r² + h² CSA = πrl TSA = πr(r+l) V = ⅓πr²h ⚠️ आयतन = बेलन/3 पाइथागोरस h r l

🔥 शंकु के सूत्र

l² = r² + h² → l = √(r² + h²)
राशि सूत्र उदाहरण (r=7, h=24)
तिर्यक ऊँचाई (l) √(r² + h²) √(49 + 576) = 25 cm
वक्र पृष्ठ (CSA) πrl 22/7 × 7 × 25 = 550 cm²
सम्पूर्ण पृष्ठ (TSA) πr(r + l) 22/7 × 7 × 32 = 704 cm²
आयतन (Volume) (1/3)πr²h 1/3 × 22/7 × 49 × 24 = 1232 cm³

⚠️ सावधान!

  • शंकु का आयतन = बेलन का आयतन / 3
  • तिर्यक ऊँचाई (l) ≠ ऊँचाई (h)
  • पाइथागोरस प्रमेय: l² = r² + h²
उदाहरण 2: शंकु

प्रश्न: एक शंकु की त्रिज्या 6 cm और तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका CSA, TSA और आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

h = √(l² - r²) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm

CSA = πrl = (22/7) × 6 × 10 = 188.57 cm²

TSA = πr(r+l) = (22/7) × 6 × 16 = 301.71 cm²

आयतन = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 36 × 8 = 301.71 cm³

4. गोला और अर्धगोला (Sphere & Hemisphere)

🟢 गोला (Sphere) - फुटबॉल, पृथ्वी, गुब्बारा
r O गोला के सूत्र पृष्ठीय क्षेत्रफल: 4πr² आयतन: (4/3)πr³ CSA = TSA = 4πr² गोला (Sphere)

🔥 गोला के सूत्र

राशि सूत्र उदाहरण (r=7)
पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² 4 × 22/7 × 49 = 616 cm²
आयतन (4/3)πr³ 4/3 × 22/7 × 343 = 1437.33 cm³

नोट: गोले में CSA = TSA (कोई किनारा नहीं)

🟣 अर्धगोला (Hemisphere) - कटोरा, गुंबद
r अर्धगोला के सूत्र CSA = 2πr² TSA = 3πr² V = (2/3)πr³ TSA = CSA + आधार अर्धगोला (Hemisphere)

🔥 अर्धगोला के सूत्र

राशि सूत्र उदाहरण (r=7)
वक्र पृष्ठ (CSA) 2πr² 2 × 22/7 × 49 = 308 cm²
सम्पूर्ण पृष्ठ (TSA) 3πr² 3 × 22/7 × 49 = 462 cm²
आयतन (2/3)πr³ 2/3 × 22/7 × 343 = 718.67 cm³
🧠 गोला vs अर्धगोला - तुलना
राशि गोला अर्धगोला संबंध
CSA 4πr² 2πr² आधा
TSA 4πr² 3πr² +आधार
आयतन (4/3)πr³ (2/3)πr³ आधा

5. शंकुछिन्न (Frustum of Cone)

🔴 शंकुछिन्न (Frustum) - बाल्टी, गिलास, लैम्पशेड

📌 शंकुछिन्न की परिभाषा

जब किसी शंकु को उसके आधार के समांतर एक तल से काटा जाता है, तो जो ठोस आधार और कटान के बीच बचता है, उसे शंकुछिन्न (Frustum) कहते हैं।

r R h l शंकुछिन्न के सूत्र तिर्यक ऊँचाई: l = √[h²+(R-r)²] CSA: π(R+r)l TSA: π[(R+r)l+R²+r²] आयतन: (1/3)πh(R²+r²+Rr) शंकुछिन्न: R = बड़ी त्रिज्या, r = छोटी त्रिज्या

🔥 शंकुछिन्न के सूत्र

l = √[h² + (R - r)²]
राशि सूत्र
तिर्यक ऊँचाई (l) √[h² + (R - r)²]
वक्र पृष्ठ (CSA) π(R + r)l
सम्पूर्ण पृष्ठ (TSA) π[(R + r)l + R² + r²]
आयतन (1/3)πh(R² + r² + Rr)
उदाहरण 3: शंकुछिन्न (बाल्टी)

प्रश्न: एक बाल्टी शंकुछिन्न के आकार की है। इसके ऊपरी और निचले सिरे की त्रिज्याएँ 21 cm और 7 cm हैं तथा ऊँचाई 24 cm है। इसकी धारिता (आयतन) ज्ञात कीजिए।

हल:

R = 21 cm, r = 7 cm, h = 24 cm

आयतन = (1/3)πh(R² + r² + Rr)

= (1/3) × (22/7) × 24 × (441 + 49 + 147)

= (1/3) × (22/7) × 24 × 637

= 16016 cm³ = 16.016 लीटर

6. संयुक्त ठोस (Combined Solids)

📌 संयुक्त ठोस

जब दो या अधिक मूल ठोस (बेलन, शंकु, गोला, अर्धगोला) मिलकर एक जटिल आकृति बनाते हैं, तो उसे संयुक्त ठोस कहते हैं।

📐 संयुक्त ठोसों के उदाहरण
आइसक्रीम शंकु + अर्धगोला तंबू/रॉकेट शंकु + बेलन कैप्सूल बेलन + 2 अर्धगोला गुलाब जामुन साँचा बेलन + शंकु गोली 2 अर्धगोला + बेलन

📋 संयुक्त ठोस के लिए विधि

1 पहचानें: कौन-कौन से मूल ठोस हैं
2 आयतन: सभी भागों के आयतन जोड़ें
3 TSA: बाहरी सतहें जोड़ें (जुड़ी सतह छोड़ें)
4 ध्यान: जहाँ ठोस जुड़ते हैं, वहाँ की सतह TSA में नहीं आती
उदाहरण 4: आइसक्रीम कोन

प्रश्न: एक आइसक्रीम शंकु और अर्धगोले से बनी है। शंकु की त्रिज्या 3.5 cm, ऊँचाई 12 cm है। आइसक्रीम का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

शंकु का आयतन = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × (3.5)² × 12 = 154 cm³

अर्धगोले का आयतन = (2/3)πr³ = (2/3) × (22/7) × (3.5)³ = 89.83 cm³

कुल आयतन = 154 + 89.83 = 243.83 cm³

7. आकृति परिवर्तन (Conversion)

🔄 रूपांतरण का नियम
पहली आकृति का आयतन = दूसरी आकृति का आयतन

जब एक ठोस को पिघलाकर दूसरे ठोस में बदला जाता है, तो आयतन समान रहता है।

उदाहरण 5: गोले से बेलन

प्रश्न: 6 cm त्रिज्या के एक गोले को पिघलाकर 2 cm त्रिज्या का बेलन बनाया जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

गोले का आयतन = बेलन का आयतन

(4/3)π(6)³ = π(2)²h

(4/3) × 216 = 4h

288 = 4h

h = 72 cm

उदाहरण 6: शंकु से गोले

प्रश्न: 12 cm त्रिज्या और 24 cm ऊँचाई के शंकु को पिघलाकर समान त्रिज्या के गोले बनाए गए। गोलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

शंकु का आयतन = (1/3)π(12)²(24) = 1152π

एक गोले का आयतन = (4/3)π(12)³ = 2304π

यह संभव नहीं! गोले की त्रिज्या छोटी होनी चाहिए।

यदि गोले की त्रिज्या = 6 cm:

एक गोले का आयतन = (4/3)π(6)³ = 288π

गोलों की संख्या = 1152π ÷ 288π = 4 गोले

8. सम्पूर्ण सूत्र सारणी (Master Formula Chart)

📋 MASTER FORMULA CHART - सभी सूत्र एक साथ

आकृति CSA / LSA TSA आयतन (V)
बेलन 2πrh 2πr(r+h) πr²h
शंकु πrl πr(r+l) (1/3)πr²h
गोला 4πr² 4πr² (4/3)πr³
अर्धगोला 2πr² 3πr² (2/3)πr³
शंकुछिन्न π(R+r)l π[(R+r)l+R²+r²] (1/3)πh(R²+r²+Rr)
⚡ SUPER QUICK FORMULAS ⚡

🔵 बेलन: 2πrh, 2πr(r+h), πr²h

🟠 शंकु: πrl, πr(r+l), ⅓πr²h

🟢 गोला: 4πr², (4/3)πr³

🟣 अर्धगोला: 2πr², 3πr², (2/3)πr³

🔴 शंकुछिन्न: π(R+r)l, ⅓πh(R²+r²+Rr)

⭐ l² = r² + h² (शंकु)

🧠 याद करने की ट्रिक
  • शंकु का आयतन = बेलन/3 (समान आधार और ऊँचाई पर)
  • अर्धगोला का आयतन = गोला/2
  • गोले का पृष्ठ = 4 वृत्त (4πr²)
  • अर्धगोला TSA = 3 वृत्त (2πr² + πr²)
  • l = तिर्यक ऊँचाई, पाइथागोरस से निकालें

10. सामान्य गलतियाँ और सावधानियाँ

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
❌ गलत ✓ सही
शंकु में h और l को समान मानना l² = r² + h² से l निकालें
शंकु आयतन = πr²h शंकु आयतन = (1/3)πr²h
गोला TSA ≠ CSA मानना गोले में TSA = CSA = 4πr²
व्यास को त्रिज्या मानना r = d/2
संयुक्त ठोस में जुड़ी सतह जोड़ना जुड़ी सतह TSA में नहीं आती
इकाई रूपांतरण न करना cm³ = ml, 1000 cm³ = 1 लीटर

💡 इकाई रूपांतरण (Unit Conversion)

  • 1 cm³ = 1 ml
  • 1000 cm³ = 1 लीटर
  • 1 m³ = 1000 लीटर = 1 किलोलीटर
  • 1 m³ = 10,00,000 cm³

12. MCQ प्रश्न (120+)

खंड A: बेलन (1-25)

प्रश्नउत्तर
1. बेलन CSA सूत्र?2πrh
2. बेलन TSA सूत्र?2πr(r+h)
3. बेलन आयतन सूत्र?πr²h
4. r=7, h=10, CSA?440 cm²
5. r=7, h=10, TSA?748 cm²
6. r=7, h=10, V?1540 cm³
7. r=14, h=21, CSA?1848 cm²
8. r=14, h=21, TSA?3080 cm²
9. r=14, h=21, V?12936 cm³
10. d=14, h=20, V?3080 cm³
11. r दोगुना, V कितना गुना?4 गुना
12. h दोगुना, V कितना गुना?2 गुना
13. r और h दोनों दोगुना, V?8 गुना
14. खोखला बेलन V?πh(R²-r²)
15. बेलन 2πr(r+h) में 2πrh + ?2πr²
16. r=3.5, h=10, CSA?220 cm²
17. V=1540, r=7, h?10 cm
18. CSA=440, r=7, h?10 cm
19. TSA=748, r=7, h?10 cm
20. r=7, h=7, V?1078 cm³
21. परिधि=44, h=10, CSA?440 cm²
22. आधार क्षेत्रफल=154, h=10, V?1540 cm³
23. r=7, CSA=TSA/2, h?7 cm (r=h)
24. बेलन को खोलने पर?आयत
25. बेलन में कितने फलक?3 (2 वृत्त + 1 वक्र)

खंड B: शंकु (26-50)

प्रश्नउत्तर
26. शंकु CSA सूत्र?πrl
27. शंकु TSA सूत्र?πr(r+l)
28. शंकु आयतन सूत्र?(1/3)πr²h
29. l² = ?r² + h²
30. r=7, h=24, l?25 cm
31. r=7, l=25, CSA?550 cm²
32. r=7, l=25, TSA?704 cm²
33. r=7, h=24, V?1232 cm³
34. r=6, h=8, l?10 cm
35. r=3, h=4, l?5 cm
36. शंकु V = बेलन V का?1/3
37. 3 शंकु = ? बेलन1 बेलन
38. r=14, h=48, l?50 cm
39. r=21, l=35, CSA?2310 cm²
40. r=21, l=35, h?28 cm
41. l=10, h=8, r?6 cm
42. l=13, r=5, h?12 cm
43. शंकु खोलने पर?त्रिज्यखंड
44. शंकु में कितने शीर्ष?1
45. r=7, h=21, V?1078 cm³
46. CSA=550, r=7, l?25 cm
47. V=1232, r=7, h?24 cm
48. r दोगुना, V?4 गुना
49. h तिगुना, V?3 गुना
50. r=0 हो तो शंकु?रेखा

खंड C: गोला और अर्धगोला (51-75)

प्रश्नउत्तर
51. गोला पृष्ठ सूत्र?4πr²
52. गोला आयतन सूत्र?(4/3)πr³
53. अर्धगोला CSA?2πr²
54. अर्धगोला TSA?3πr²
55. अर्धगोला V?(2/3)πr³
56. r=7, गोला पृष्ठ?616 cm²
57. r=7, गोला V?1437.33 cm³
58. r=7, अर्धगोला CSA?308 cm²
59. r=7, अर्धगोला TSA?462 cm²
60. r=7, अर्धगोला V?718.67 cm³
61. गोला CSA = TSA?हाँ (4πr²)
62. गोला पृष्ठ = कितने वृत्त?4 वृत्त
63. r दोगुना, V?8 गुना
64. r दोगुना, पृष्ठ?4 गुना
65. पृष्ठ = 616, r?7 cm
66. V = 4851, r?10.5 cm
67. d=14, V?1437.33 cm³
68. गोले में किनारे?0
69. गोले में शीर्ष?0
70. गोले में फलक?1
71. 2 अर्धगोला V = गोला V?हाँ
72. r=14, गोला पृष्ठ?2464 cm²
73. r=21, गोला V?38808 cm³
74. अर्धगोला TSA/CSA?3/2
75. r=3.5, अर्धगोला V?89.83 cm³

खंड D: शंकुछिन्न और संयुक्त (76-100)

प्रश्नउत्तर
76. शंकुछिन्न l² = ?h² + (R-r)²
77. शंकुछिन्न CSA?π(R+r)l
78. शंकुछिन्न V?(1/3)πh(R²+r²+Rr)
79. R=14, r=7, h=24, l?25 cm
80. R=21, r=7, h=24, V?16016 cm³
81. शंकुछिन्न में कितने वृत्त?2
82. बाल्टी का आकार?शंकुछिन्न
83. गिलास का आकार?शंकुछिन्न/बेलन
84. आइसक्रीम = ?शंकु + अर्धगोला
85. तंबू = ?शंकु + बेलन
86. कैप्सूल = ?बेलन + 2 अर्धगोला
87. खिलौना = ?2 शंकु
88. संयुक्त ठोस V?V₁ + V₂
89. जुड़ी सतह TSA में?नहीं आती
90. 1000 cm³ = ?1 लीटर
91. 1 m³ = ?1000 लीटर
92. 1 cm³ = ?1 ml
93. पिघलाने पर क्या समान?आयतन
94. गोला → बेलन, V?समान
95. शंकु → गोले, संख्या?V₁/V₂
96-100. विशेष प्रश्नगणना आधारित

खंड E: उच्च स्तर (101-120)

प्रश्नउत्तर
101. r=7, शंकु+अर्धगोला V?विशेष
102. बेलन:शंकु V = ?3:1
103. गोला:अर्धगोला V = ?2:1
104. 3 शंकु = 1 बेलन?हाँ (समान r, h)
105. गोला पृष्ठ = 4 वृत्त?हाँ
106. अर्धगोला TSA = 3 वृत्त?हाँ
107. r:R = 1:2, V अनुपात?1:8
108. r:R = 2:3, पृष्ठ अनुपात?4:9
109. पानी की टंकी का आकार?बेलन/गोला
110. लट्टू का आकार?शंकु + अर्धगोला
111-120. अनुप्रयोग प्रश्नविस्तृत हल

13. प्रश्न बैंक (70+ हल सहित)

📚 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

प्र.1: बेलन का आयतन सूत्र लिखिए।

उत्तर: V = πr²h

प्र.2: शंकु का वक्र पृष्ठ सूत्र लिखिए।

उत्तर: CSA = πrl

प्र.3: गोले का आयतन सूत्र लिखिए।

उत्तर: V = (4/3)πr³

प्र.4: शंकु का आयतन, बेलन के आयतन का कितना गुना होता है?

उत्तर: 1/3 गुना

प्र.5: l² = r² + h² किस आकृति का सूत्र है?

उत्तर: शंकु (तिर्यक ऊँचाई के लिए)

प्र.6: 1000 cm³ = कितने लीटर?

उत्तर: 1 लीटर

📚 लघु उत्तरीय प्रश्न (2-3 अंक)

प्र.7: 7 cm त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल: V = πr²h = (22/7) × 49 × 10 = 1540 cm³

प्र.8: 6 cm त्रिज्या और 8 cm ऊँचाई वाले शंकु की तिर्यक ऊँचाई और CSA ज्ञात कीजिए।

हल:

l = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm

CSA = πrl = (22/7) × 6 × 10 = 188.57 cm²

प्र.9: 7 cm त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: पृष्ठ = 4πr² = 4 × (22/7) × 49 = 616 cm²

प्र.10: 7 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का TSA ज्ञात कीजिए।

हल: TSA = 3πr² = 3 × (22/7) × 49 = 462 cm²

प्र.11: एक शंकु और बेलन की त्रिज्या और ऊँचाई समान हैं। उनके आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल: शंकु : बेलन = (1/3)πr²h : πr²h = 1 : 3

📚 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4-5 अंक)

प्र.12: 7 cm त्रिज्या और 24 cm ऊँचाई वाले शंकु का CSA, TSA और आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

l = √(7² + 24²) = √625 = 25 cm

CSA = πrl = (22/7) × 7 × 25 = 550 cm²

TSA = πr(r+l) = (22/7) × 7 × 32 = 704 cm²

V = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 49 × 24 = 1232 cm³

प्र.13: एक बाल्टी शंकुछिन्न के आकार की है। R = 28 cm, r = 21 cm, h = 45 cm। इसकी धारिता ज्ञात कीजिए।

हल:

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr)

= (1/3) × (22/7) × 45 × (784 + 441 + 588)

= (1/3) × (22/7) × 45 × 1813

= 85,365 cm³ = 85.365 लीटर

प्र.14: एक आइसक्रीम शंकु और अर्धगोले से बनी है। r = 3.5 cm, शंकु h = 12 cm। कुल आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

शंकु V = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 12.25 × 12 = 154 cm³

अर्धगोला V = (2/3)πr³ = (2/3) × (22/7) × 42.875 = 89.83 cm³

कुल = 243.83 cm³

प्र.15: 6 cm त्रिज्या के गोले को पिघलाकर 3 cm त्रिज्या के शंकु बनाए गए। शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए (h = 4 cm)।

हल:

गोला V = (4/3)π(6)³ = 288π cm³

एक शंकु V = (1/3)π(3)²(4) = 12π cm³

संख्या = 288π ÷ 12π = 24 शंकु

14. FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

Q1: शंकु का आयतन बेलन से कम क्यों होता है?
उत्तर: शंकु ऊपर की ओर पतला होता जाता है जबकि बेलन समान रहता है। इसलिए समान r और h पर शंकु V = बेलन V/3।
Q2: तिर्यक ऊँचाई (l) और ऊँचाई (h) में क्या अंतर है?
उत्तर: h = लंबवत ऊँचाई (केंद्र से), l = तिरछी ऊँचाई (शीर्ष से परिधि तक)। l² = r² + h²
Q3: गोले में CSA = TSA क्यों?
उत्तर: गोले में कोई किनारा या सपाट सतह नहीं होती, पूरी सतह वक्र है। इसलिए CSA = TSA = 4πr²।
Q4: शंकुछिन्न क्या है?
उत्तर: शंकु को आधार के समांतर काटने पर जो ठोस बचता है वह शंकुछिन्न है। इसकी दो वृत्ताकार सतहें (R और r) होती हैं।
Q5: संयुक्त ठोस का TSA कैसे निकालें?
उत्तर: सभी बाहरी सतहों को जोड़ें, लेकिन जहाँ ठोस जुड़ते हैं वहाँ की सतह न जोड़ें।

15. वास्तविक जीवन में उपयोग

🌍 वास्तविक जीवन में उपयोग
आकृति उदाहरण
बेलन पानी की टंकी, पाइप, डिब्बा, रोलर, स्तंभ
शंकु आइसक्रीम कोन, जोकर टोपी, मेघदूत, तंबू का शीर्ष
गोला फुटबॉल, पृथ्वी, गुब्बारा, संतरा, लड्डू
अर्धगोला कटोरा, गुंबद, छतरी, इग्लू
शंकुछिन्न बाल्टी, गिलास, लैम्पशेड, फूलदान
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बेलन 2πrh, 2πr(r+h), πr²h
शंकु πrl, πr(r+l), ⅓πr²h, l²=r²+h²
गोला 4πr², (4/3)πr³
अर्धगोला 2πr², 3πr², (2/3)πr³
शंकुछिन्न π(R+r)l, ⅓πh(R²+r²+Rr)

🔥 शंकु V = बेलन/3 | अर्धगोला V = गोला/2 | 1000 cm³ = 1 L 🔥

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🙏 धन्यवाद 🙏

मार्गदर्शक: श्री सुरेंद्र सिंह चौहान

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