Class 10

रैखिक समीकरण युग्म कक्षा 10 | Linear Equations Chapter 3 RBSE 2026

📅 Friday, 2 January 2026 📖 3-5 min read
दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म कक्षा 10 | Chapter 3 Linear Equations RBSE NCERT 2026

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

अध्याय 3
Pair of Linear Equations in Two Variables
कक्षा10वीं (RBSE/NCERT)
विषयगणित (Mathematics)
परीक्षा भार8-10 अंक
कठिनाईमध्यम से कठिन
विधियाँ5 (आलेखीय, प्रतिस्थापन, विलोपन, वज्र गुणन)
MCQ50+
सूत्र12
मार्गदर्शकश्री सुरेंद्र सिंह चौहान
श्रृंखलाMarwari Mission 100

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) कक्षा 10 गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें दो चर x और y में दो रैखिक समीकरणों को एक साथ हल करना सिखाया जाता है। यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में 8-10 अंकों का होता है।

विषय सूची

परिभाषाएँ

रैखिक समीकरण (Linear Equation)

वह समीकरण जिसमें चरों की अधिकतम घात 1 हो, रैखिक समीकरण कहलाता है।

उदाहरण: 2x + 3y - 6 = 0

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

दो चर x और y में दो रैखिक समीकरणों का समूह रैखिक समीकरण युग्म कहलाता है।

व्यापक रूप (General Form)
a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0

जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं

महत्वपूर्ण शब्दावली

हिंदी English अर्थ
संगत समीकरण युग्म Consistent कम से कम एक हल हो
असंगत समीकरण युग्म Inconsistent कोई हल न हो
आश्रित समीकरण युग्म Dependent अनंत हल हों (संपाती रेखाएँ)
अद्वितीय हल Unique Solution केवल एक हल

समीकरण युग्म के प्रकार

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म की रेखाएँ तीन प्रकार से हो सकती हैं:

शर्त (Condition) हल की संख्या रेखाओं की स्थिति प्रकार
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ 1 (अद्वितीय) प्रतिच्छेदी (Intersecting) संगत-स्वतंत्र
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ∞ (अनंत) संपाती (Coincident) संगत-आश्रित
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ 0 (शून्य) समांतर (Parallel) असंगत

💡 याद रखने की ट्रिक

  • ≠ (असमान) → प्रतिच्छेदी → 1 हल
  • = = = (तीनों बराबर) → संपाती → ∞ हल
  • = = ≠ (दो बराबर, एक नहीं) → समांतर → 0 हल

आलेखीय विधि (Graphical Method)

इस विधि में दोनों समीकरणों को ग्राफ पर खींचकर उनके प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक ज्ञात किए जाते हैं।

चरण

  1. प्रत्येक समीकरण के लिए मान सारणी बनाएँ (कम से कम 3 बिंदु)
  2. बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करें
  3. दोनों रेखाएँ खींचें
  4. प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक पढ़ें - यही हल है

उदाहरण

प्रश्न: x + y = 7 और x - y = 3 को आलेखीय विधि से हल करें।

समीकरण 1: x + y = 7

x073
y704

समीकरण 2: x - y = 3

x035
y-302

∴ हल: x = 5, y = 2 (प्रतिच्छेद बिंदु)

सत्यापन: 5 + 2 = 7 ✓ और 5 - 2 = 3 ✓

प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

इस विधि में एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में ज्ञात करके, दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है।

चरण

  1. किसी एक समीकरण से x (या y) का मान y (या x) के पदों में ज्ञात करें
  2. इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें
  3. एक चर वाला समीकरण हल करके उस चर का मान ज्ञात करें
  4. प्राप्त मान को किसी भी समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें

उदाहरण

प्रश्न: 2x + 3y = 9 ... (1) और 4x - y = 7 ... (2)

हल:

समीकरण (2) से: y = 4x - 7 ... (3)

समीकरण (1) में y का मान रखने पर:

2x + 3(4x - 7) = 9

2x + 12x - 21 = 9

14x = 30

x = 15/7

समीकरण (3) में x का मान रखने पर:

y = 4(15/7) - 7 = 60/7 - 49/7 = 11/7

∴ हल: x = 15/7, y = 11/7

विलोपन विधि (Elimination Method)

इस विधि में दोनों समीकरणों को उचित संख्याओं से गुणा करके किसी एक चर के गुणांक बराबर किए जाते हैं, फिर जोड़ने या घटाने से उस चर का विलोपन किया जाता है।

चरण

  1. किसी एक चर (x या y) के गुणांकों को बराबर करें (उचित संख्याओं से गुणा करके)
  2. समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ (गुणांक समान हों तो घटाएँ, विपरीत चिह्न हों तो जोड़ें)
  3. एक चर वाला समीकरण हल करें
  4. प्राप्त मान को किसी समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें

उदाहरण

प्रश्न: 3x + 4y = 10 ... (1) और 2x - 2y = 2 ... (2)

हल:

समीकरण (1) × 1: 3x + 4y = 10

समीकरण (2) × 2: 4x - 4y = 4

जोड़ने पर (y का विलोपन):

7x = 14

x = 2

x = 2 को समीकरण (1) में रखने पर:

3(2) + 4y = 10

4y = 4

y = 1

∴ हल: x = 2, y = 1

सत्यापन: 3(2) + 4(1) = 10 ✓ और 2(2) - 2(1) = 2 ✓

वज्र गुणन विधि (Cross Multiplication Method)

यह विधि सीधे सूत्र द्वारा x और y के मान ज्ञात करती है।

वज्र गुणन सूत्र

समीकरण: a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए:

x/(b₁c₂ - b₂c₁) = y/(c₁a₂ - c₂a₁) = 1/(a₁b₂ - a₂b₁)
सीधा सूत्र (Direct Formula)
x = (b₁c₂ - b₂c₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)
y = (c₁a₂ - c₂a₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)

उदाहरण

प्रश्न: 2x + 3y - 7 = 0 और 3x - 2y - 4 = 0

हल:

यहाँ: a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7 और a₂ = 3, b₂ = -2, c₂ = -4

x के लिए:

x = (b₁c₂ - b₂c₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)

x = (3×(-4) - (-2)×(-7)) / (2×(-2) - 3×3)

x = (-12 - 14) / (-4 - 9)

x = -26 / -13 = 2

y के लिए:

y = (c₁a₂ - c₂a₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)

y = ((-7)×3 - (-4)×2) / (-13)

y = (-21 + 8) / (-13)

y = -13 / -13 = 1

∴ हल: x = 2, y = 1

हल की शर्तें

शर्त हल रेखाएँ समीकरण का प्रकार
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ अद्वितीय (1) प्रतिच्छेदी संगत-स्वतंत्र
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ अनंत (∞) संपाती संगत-आश्रित
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ कोई नहीं (0) समांतर असंगत

उदाहरण द्वारा समझें

समीकरण युग्म अनुपात जाँच हल
x + y = 5, x - y = 1 1/1 ≠ 1/(-1) अद्वितीय (3, 2)
2x + 3y = 6, 4x + 6y = 12 2/4 = 3/6 = 6/12 = 1/2 अनंत
x + 2y = 4, 2x + 4y = 12 1/2 = 2/4 ≠ 4/12 कोई नहीं

शाब्दिक प्रश्न (Word Problems)

प्रश्नों के प्रकार

प्रकार समीकरण बनाने की विधि
आयु संबंधी वर्तमान आयु = x, y; भूत/भविष्य में जोड़ें/घटाएँ
संख्या संबंधी इकाई = x, दहाई = y; संख्या = 10y + x
भिन्न संबंधी अंश = x, हर = y; भिन्न = x/y
चाल-दूरी-समय दूरी = चाल × समय
क्षेत्रफल/परिमाप आयत: परिमाप = 2(l+b)

उदाहरण: आयु संबंधी प्रश्न

प्रश्न: एक पिता की आयु अपने पुत्र की आयु की 3 गुनी है। 5 वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की 4 गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

माना पिता की वर्तमान आयु = x वर्ष

माना पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष

शर्त 1: x = 3y ... (1)

शर्त 2: 5 वर्ष पहले → (x - 5) = 4(y - 5)

x - 5 = 4y - 20

x - 4y = -15 ... (2)

समीकरण (1) को (2) में रखने पर:

3y - 4y = -15

-y = -15

y = 15

x = 3(15) = 45

∴ पिता की आयु = 45 वर्ष, पुत्र की आयु = 15 वर्ष

सत्यापन: 45 = 3 × 15 ✓ और (45-5) = 4 × (15-5) → 40 = 40 ✓

उदाहरण: संख्या संबंधी प्रश्न

प्रश्न: दो अंकों की एक संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि संख्या में 27 जोड़ा जाए तो अंक पलट जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

माना इकाई का अंक = x, दहाई का अंक = y

मूल संख्या = 10y + x

उलटी संख्या = 10x + y

शर्त 1: x + y = 9 ... (1)

शर्त 2: (10y + x) + 27 = 10x + y

9y - 9x = -27

y - x = -3 ... (2)

(1) + (2): 2y = 6 → y = 3

x = 9 - 3 = 6

∴ संख्या = 10(3) + 6 = 36

सत्यापन: 3 + 6 = 9 ✓ और 36 + 27 = 63 (उलटी) ✓

सूत्र सारणी

क्र. सूत्र का नाम सूत्र
1 व्यापक रूप a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0
2 अद्वितीय हल की शर्त a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
3 अनंत हल की शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
4 कोई हल नहीं की शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
5 वज्र गुणन (x के लिए) x = (b₁c₂ - b₂c₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)
6 वज्र गुणन (y के लिए) y = (c₁a₂ - c₂a₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)
7 दो अंकों की संख्या 10 × दहाई + इकाई
8 धारा के अनुकूल चाल नाव की चाल + धारा की चाल
9 धारा के प्रतिकूल चाल नाव की चाल - धारा की चाल
10 दूरी-चाल-समय दूरी = चाल × समय

MCQ प्रश्न (50+)

प्रश्न 1-10 (आधारभूत)

1. समीकरण युग्म x + 2y = 3 और 2x + 4y = 6 का हल है:
(A) अद्वितीय हल (B) कोई हल नहीं (C) अनंत हल (D) दो हल
उत्तर: (C) अनंत हल - a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = 1/2
2. यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ तो रेखाएँ:
(A) समांतर हैं (B) संपाती हैं (C) प्रतिच्छेदी हैं (D) लंबवत हैं
उत्तर: (C) प्रतिच्छेदी हैं
3. x + y = 5 और x - y = 1 का हल है:
(A) (2, 3) (B) (3, 2) (C) (1, 4) (D) (4, 1)
उत्तर: (B) (3, 2)
4. समांतर रेखाओं के समीकरण युग्म का हल होगा:
(A) अद्वितीय (B) अनंत (C) कोई नहीं (D) दो
उत्तर: (C) कोई नहीं
5. 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 15 के लिए:
(A) अद्वितीय हल (B) अनंत हल (C) कोई हल नहीं (D) दो हल
उत्तर: (C) कोई हल नहीं - a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
6. संगत समीकरण युग्म का अर्थ है:
(A) कोई हल नहीं (B) कम से कम एक हल (C) अनंत हल (D) दो हल
उत्तर: (B) कम से कम एक हल
7. x = 0 और y = 0 का प्रतिच्छेद बिंदु:
(A) (1, 1) (B) (0, 1) (C) (1, 0) (D) (0, 0)
उत्तर: (D) मूल बिंदु (0, 0)
8. 3x - y = 3 और 6x - 2y = 6 है:
(A) असंगत (B) आश्रित (C) स्वतंत्र (D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (B) आश्रित (अनंत हल)
9. प्रतिस्थापन विधि में पहला चरण है:
(A) जोड़ना (B) घटाना (C) एक चर का मान ज्ञात करना (D) गुणा करना
उत्तर: (C) एक चर का मान ज्ञात करना
10. विलोपन विधि में क्या करते हैं:
(A) प्रतिस्थापन (B) विभाजन (C) एक चर का विलोपन (D) गुणनखंड
उत्तर: (C) एक चर का विलोपन

प्रश्न 11-25 (मध्यम स्तर)

प्रश्नउत्तर
11. x + y = 7, 2x + 2y = 14 का प्रकारसंपाती (अनंत हल)
12. 2x + y = 8, x = 2 रखने पर y = ?y = 4
13. वज्र गुणन में a₁b₂ - a₂b₁ = 0 हो तोअद्वितीय हल नहीं
14. आलेखीय विधि में हल होता हैप्रतिच्छेद बिंदु
15. 5x - y = 5, x - y = -1 का हल(1.5, 2.5)
16. kx + 3y = k-3, 12x + ky = k में अनंत हल के लिए kk = 6
17. दो अंक, योग 9, पलटने पर +2736
18. पिता की आयु +30, 5 वर्ष बाद 3 गुनीपिता 40, पुत्र 10
19. 2x + 3y = 7, 4x + 6y = k में अनंत हल के लिए kk = 14
20. x/2 + y/3 = 2, x/3 + y/2 = 13/6 का हल(2, 3)
21. ax + by = c, dx + ey = f में अद्वितीय हल की शर्तae ≠ bd
22. 3x + 2y = 5, 2x - 3y = 7 का हल(29/13, -11/13)
23. x + y = a+b, ax - by = a² - b² का हल(a, b)
24. 0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x + 0.5y = 2.3 का हल(2, 3)
25. भिन्न: अंश+2 → 1/2, हर+3 → 1/32/9

प्रश्न 26-40 (उच्च स्तर)

प्रश्नउत्तर
26. x + y/2 = 4, x/3 + 2y = 5 का हल(3, 2)
27. 5x - 4y + 8 = 0, 7x + 6y - 9 = 0 में xx = -12/29
28. रैखिक समीकरण का ग्राफ होता हैसीधी रेखा
29. ax + by + c = 0 में c = 0 हो तो रेखामूल बिंदु से गुजरती है
30. 2x - y = 1, x + 2y = 8 में x + y = ?5
31. x + 2y = 5, 3x + ky = 15 में अनंत हल के लिए kk = 6
32. धारा के अनुकूल 18 km/hr, प्रतिकूल 12 km/hr, नाव की चाल15 km/hr
33. आयत का परिमाप 40 cm, लंबाई चौड़ाई से 4 cm अधिक12 cm × 8 cm
34. 99x + 101y = 499, 101x + 99y = 501 का हल(3, 2)
35. 1/x + 1/y = 7, 2/x + 3/y = 17 (x, y ≠ 0)x = 1/4, y = 1/3
36. 5 पेंसिल + 7 पेन = ₹50, 7 पेंसिल + 5 पेन = ₹46पेंसिल ₹3, पेन ₹5
37. x-अक्ष पर बिंदु (a, 0) से गुजरने वाली रेखाy = 0
38. y = 2x + 3 का ढाल2
39. kx - y = 2, 6x - 2y = 3 में कोई हल नहीं के लिए kk = 3
40. x/a + y/b = 2, ax - by = a² - b² का हल(a, b)

प्रश्न 41-50

प्रश्नउत्तर
41. 2x + y - 5 = 0, 3x + 2y - 8 = 0 में yy = 1
42. x + y = 14, x - y = 4 में बड़ी संख्या9
43. समीकरण x = 5 का ग्राफy-अक्ष के समांतर
44. समीकरण y = 3 का ग्राफx-अक्ष के समांतर
45. 2x + 3y = 9, 4x + 6y = 18 के लिएसंपाती रेखाएँ
46. संख्याओं का अनुपात 3:5, योग 4015 और 25
47. x - y = 2, x + y = 4 में xy का मान3
48. बीजगणितीय विधि नहीं हैआलेखीय विधि
49. √2x + √3y = 0, √3x - √8y = 0 का हल(0, 0)
50. 2(ax-by) + (a+4b) = 0, 2(bx+ay) + (b-4a) = 0(-1/2, 2)

⚡ Quick Revision

  • अद्वितीय हल: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (प्रतिच्छेदी रेखाएँ)
  • अनंत हल: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (संपाती रेखाएँ)
  • कोई हल नहीं: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (समांतर रेखाएँ)
  • विलोपन विधि: गुणांक बराबर करके जोड़ें/घटाएँ
  • वज्र गुणन: x = (b₁c₂-b₂c₁)/(a₁b₂-a₂b₁)
  • प्रतिस्थापन: एक चर का मान दूसरे में रखें

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🙏 धन्यवाद 🙏

मार्गदर्शक: श्री सुरेंद्र सिंह चौहान

🎯 Marwari Mission 100 🎯

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