समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression)
| कक्षा | 10वीं (RBSE/NCERT) |
|---|---|
| विषय | गणित (Mathematics) |
| परीक्षा भार | 8-10 अंक |
| कठिनाई | मध्यम |
| मुख्य सूत्र | 4 (nवाँ पद, योग) |
| MCQ | 50+ |
| उदाहरण | 15+ हल सहित |
| चित्र | 10+ डायग्राम |
| मार्गदर्शक | श्री सुरेंद्र सिंह चौहान |
| श्रृंखला | Marwari Mission 100 |
समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression या AP) कक्षा 10 गणित का एक अति महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें ऐसी संख्याओं की श्रेणी का अध्ययन किया जाता है जिनमें प्रत्येक क्रमागत पदों का अंतर समान होता है। यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में 8-10 अंकों का होता है और इससे प्रायः 1 दीर्घ उत्तरीय तथा 2-3 लघु उत्तरीय प्रश्न आते हैं।
1. परिचय एवं परिभाषाएँ
📌 समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression)
ऐसी संख्याओं की सूची जिसमें प्रथम पद को छोड़कर प्रत्येक पद अपने से पूर्व वाले पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त होता है, समांतर श्रेढ़ी कहलाती है।
यह निश्चित संख्या सार्व अंतर (Common Difference) कहलाती है।
महत्वपूर्ण शब्दावली
| शब्द | English | संकेत | अर्थ |
|---|---|---|---|
| समांतर श्रेढ़ी | Arithmetic Progression | AP | समान अंतर वाली श्रेणी |
| प्रथम पद | First Term | a | श्रेढ़ी का पहला पद |
| सार्व अंतर | Common Difference | d | क्रमागत पदों का अंतर |
| nवाँ पद | nth Term / General Term | aₙ या Tₙ | श्रेढ़ी का n वाँ पद |
| अंतिम पद | Last Term | l | श्रेढ़ी का आखिरी पद |
| पदों की संख्या | Number of Terms | n | श्रेढ़ी में कुल पद |
| n पदों का योग | Sum of n Terms | Sₙ | प्रथम n पदों का योग |
किन्हीं दो क्रमागत पदों का अंतर सदैव समान होता है
AP के उदाहरण
| श्रेढ़ी | प्रथम पद (a) | सार्व अंतर (d) | AP है? |
|---|---|---|---|
| 2, 4, 6, 8, 10, ... | 2 | 2 | ✓ हाँ |
| 1, 4, 9, 16, 25, ... | 1 | 3, 5, 7, 9 (असमान) | ✗ नहीं |
| -5, -2, 1, 4, 7, ... | -5 | 3 | ✓ हाँ |
| 1, 1/2, 0, -1/2, -1, ... | 1 | -1/2 | ✓ हाँ |
| 1, 3, 9, 27, 81, ... | 1 | 2, 6, 18 (असमान) | ✗ नहीं (यह GP है) |
2. AP की पहचान
🔍 AP की पहचान कैसे करें?
किसी श्रेणी के AP होने की जाँच के लिए:
- क्रमागत पदों का अंतर ज्ञात करें
- यदि सभी अंतर समान हों → AP है
- यदि अंतर असमान हों → AP नहीं है
उदाहरण 1: जाँचिए कि निम्न AP है या नहीं
(i) 3, 7, 11, 15, 19, ...
a₂ - a₁ = 7 - 3 = 4
a₃ - a₂ = 11 - 7 = 4
a₄ - a₃ = 15 - 11 = 4
a₅ - a₄ = 19 - 15 = 4
चूँकि सभी अंतर समान (= 4) हैं, अतः यह AP है।
यहाँ a = 3, d = 4
उदाहरण 2
(ii) 1, 4, 9, 16, 25, ...
a₂ - a₁ = 4 - 1 = 3
a₃ - a₂ = 9 - 4 = 5
a₄ - a₃ = 16 - 9 = 7
चूँकि अंतर समान नहीं हैं (3 ≠ 5 ≠ 7), अतः यह AP नहीं है।
(यह वर्ग संख्याओं की श्रेणी है: n²)
3. nवाँ पद (General Term)
जहाँ: a = प्रथम पद, d = सार्व अंतर, n = पद संख्या
💡 याद रखने का तरीका
nवें पद में d की संख्या = (n - 1)
- पहले पद में: 0 बार d जोड़ा → a + 0×d = a
- दूसरे पद में: 1 बार d जोड़ा → a + 1×d = a + d
- तीसरे पद में: 2 बार d जोड़ा → a + 2×d = a + 2d
- nवें पद में: (n-1) बार d जोड़ा → a + (n-1)d
उदाहरण 3: AP का 20वाँ पद ज्ञात करें
प्रश्न: AP 2, 7, 12, 17, ... का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 2, d = 7 - 2 = 5, n = 20
aₙ = a + (n - 1)d
a₂₀ = 2 + (20 - 1) × 5
a₂₀ = 2 + 19 × 5
a₂₀ = 2 + 95
∴ a₂₀ = 97
उदाहरण 4: कौन सा पद ज्ञात संख्या है?
प्रश्न: AP 7, 13, 19, 25, ... का कौन सा पद 301 है?
हल:
यहाँ a = 7, d = 13 - 7 = 6
माना 301 इस AP का nवाँ पद है
aₙ = a + (n - 1)d
301 = 7 + (n - 1) × 6
301 - 7 = (n - 1) × 6
294 = (n - 1) × 6
n - 1 = 294/6 = 49
n = 50
∴ 301 इस AP का 50वाँ पद है।
उदाहरण 5: a और d ज्ञात करना
प्रश्न: किसी AP का 7वाँ पद 40 है और 13वाँ पद 76 है। AP ज्ञात कीजिए।
हल:
a₇ = a + 6d = 40 ... (1)
a₁₃ = a + 12d = 76 ... (2)
समीकरण (2) - (1):
6d = 36
d = 6
समीकरण (1) में d = 6 रखने पर:
a + 36 = 40
a = 4
∴ AP: 4, 10, 16, 22, 28, ...
अंतिम पद से nवाँ पद
जहाँ l = अंतिम पद
उदाहरण 6
प्रश्न: AP 3, 8, 13, ..., 253 का अंत से 5वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ l = 253, d = 5
अंत से 5वाँ पद = l - (5-1)d = 253 - 4×5 = 253 - 20 = 233
4. n पदों का योग
या
जहाँ l = अंतिम पद = a + (n-1)d
उदाहरण 7: प्रथम n पदों का योग
प्रश्न: AP 2, 7, 12, 17, ... के प्रथम 20 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 2, d = 5, n = 20
Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d]
S₂₀ = 20/2 [2×2 + (20-1)×5]
S₂₀ = 10 [4 + 95]
S₂₀ = 10 × 99
∴ S₂₀ = 990
उदाहरण 8: अंतिम पद दिया हो
प्रश्न: AP 5, 9, 13, ..., 185 का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 5, d = 4, l = 185
पहले n ज्ञात करें:
l = a + (n-1)d
185 = 5 + (n-1)×4
180 = (n-1)×4
n - 1 = 45
n = 46
अब योग:
Sₙ = n/2 [a + l]
S₄₆ = 46/2 [5 + 185]
S₄₆ = 23 × 190
∴ S₄₆ = 4370
उदाहरण 9: 1 से 100 तक की संख्याओं का योग
प्रश्न: 1 से 100 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
यह AP है: 1, 2, 3, 4, ..., 100
a = 1, l = 100, n = 100
S₁₀₀ = n/2 [a + l]
S₁₀₀ = 100/2 [1 + 100]
S₁₀₀ = 50 × 101
∴ S₁₀₀ = 5050
nवाँ पद और योग में संबंध
nवाँ पद = प्रथम n पदों का योग - प्रथम (n-1) पदों का योग
उदाहरण 10
प्रश्न: यदि Sₙ = 3n² + 5n हो तो AP का nवाँ पद और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
Sₙ = 3n² + 5n
Sₙ₋₁ = 3(n-1)² + 5(n-1) = 3n² - 6n + 3 + 5n - 5 = 3n² - n - 2
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = (3n² + 5n) - (3n² - n - 2) = 6n + 2
∴ aₙ = 6n + 2
a₁ = 6(1) + 2 = 8
a₂ = 6(2) + 2 = 14
d = a₂ - a₁ = 14 - 8 = 6
5. मध्य पद और मध्य पदों का योग
📌 मध्य पद (Middle Term)
यदि पदों की संख्या विषम (odd) हो:
मध्य पद = (n+1)/2 वाँ पद
यदि पदों की संख्या सम (even) हो:
दो मध्य पद होंगे: n/2 वाँ और (n/2 + 1) वाँ पद
उदाहरण 11
प्रश्न: AP 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 का मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ n = 7 (विषम)
मध्य पद = (7+1)/2 = 4वाँ पद
a₄ = 2 + (4-1)×3 = 2 + 9 = 11
6. AP में पद चयन
जब AP के पदों को चरों में लेना हो तो निम्न प्रकार लेना सुविधाजनक होता है:
| पदों की संख्या | पद लेने का तरीका | सार्व अंतर |
|---|---|---|
| 3 पद | a - d, a, a + d | d |
| 4 पद | a - 3d, a - d, a + d, a + 3d | 2d |
| 5 पद | a - 2d, a - d, a, a + d, a + 2d | d |
| 6 पद | a - 5d, a - 3d, a - d, a + d, a + 3d, a + 5d | 2d |
💡 लाभ
इस प्रकार पद लेने से पदों का योग = na (बीच वाला पद या उनका औसत)
इससे गणना सरल हो जाती है।
उदाहरण 12
प्रश्न: AP के तीन पदों का योग 27 है और उनका गुणनफल 648 है। पद ज्ञात कीजिए।
हल:
माना तीन पद: a - d, a, a + d
योग: (a-d) + a + (a+d) = 27
3a = 27
a = 9
गुणनफल: (a-d) × a × (a+d) = 648
a(a² - d²) = 648
9(81 - d²) = 648
81 - d² = 72
d² = 9
d = ±3
∴ पद: 6, 9, 12 या 12, 9, 6
7. AP के गुणधर्म
📌 गुणधर्म 1: समदूरस्थ पदों का योग
AP में आरंभ और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग सदैव समान होता है।
📌 गुणधर्म 2: तीन पदों में संबंध
यदि a, b, c AP में हों तो:
अर्थात् मध्य पद, शेष दो पदों का समांतर माध्य होता है।
📌 गुणधर्म 3: नई AP
यदि AP के प्रत्येक पद में कोई स्थिरांक k जोड़ा या घटाया जाए, तो नई श्रेणी भी AP होगी।
यदि AP के प्रत्येक पद को किसी अशून्य स्थिरांक से गुणा या भाग किया जाए, तो नई श्रेणी भी AP होगी।
8. विशेष श्रेणियाँ
| श्रेणी | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| प्रथम n प्राकृतिक संख्याएँ | Sₙ = n(n+1)/2 | 1+2+3+...+100 = 5050 |
| प्रथम n सम संख्याएँ | Sₙ = n(n+1) | 2+4+6+...+20 = 110 |
| प्रथम n विषम संख्याएँ | Sₙ = n² | 1+3+5+7+9 = 25 |
| प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग | Sₙ = n(n+1)(2n+1)/6 | 1²+2²+3²+...+10² = 385 |
| प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घन | Sₙ = [n(n+1)/2]² | 1³+2³+3³+...+10³ = 3025 |
उदाहरण 13: 1 से 200 तक 3 से विभाज्य संख्याओं का योग
प्रश्न: 1 से 200 के बीच 3 से विभाज्य सभी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
3 से विभाज्य संख्याएँ: 3, 6, 9, 12, ..., 198
यह AP है जहाँ a = 3, d = 3, l = 198
n ज्ञात करें:
198 = 3 + (n-1)×3
195 = 3(n-1)
n = 66
योग:
S₆₆ = 66/2 [3 + 198] = 33 × 201 = 6633
9. शाब्दिक प्रश्न
प्रश्नों के प्रकार
| प्रकार | पहचान | विधि |
|---|---|---|
| पंक्ति/स्टैक समस्या | प्रत्येक पंक्ति में समान अंतर से वस्तुएँ | a, d, n ज्ञात करके Sₙ |
| बचत समस्या | प्रति सप्ताह/माह समान वृद्धि | Sₙ सूत्र का उपयोग |
| दूरी समस्या | प्रत्येक चक्कर में समान अंतर | AP का nवाँ पद या योग |
| वेतन समस्या | वार्षिक समान वृद्धि | aₙ या Sₙ |
उदाहरण 14: बचत समस्या
प्रश्न: एक व्यक्ति पहले सप्ताह में ₹100 बचाता है और प्रत्येक सप्ताह अपनी बचत में ₹50 की वृद्धि करता है। 20 सप्ताह में उसकी कुल बचत ज्ञात कीजिए।
हल:
साप्ताहिक बचत एक AP बनाती है:
100, 150, 200, 250, ...
a = 100, d = 50, n = 20
S₂₀ = 20/2 [2×100 + (20-1)×50]
S₂₀ = 10 [200 + 950]
S₂₀ = 10 × 1150
∴ कुल बचत = ₹11,500
उदाहरण 15: लकड़ी के लट्ठे
प्रश्न: लकड़ी के लट्ठों को इस प्रकार रखा गया है कि सबसे निचली पंक्ति में 25 लट्ठे हैं, उससे ऊपर वाली में 24, उससे ऊपर में 23 इत्यादि। यदि सबसे ऊपर की पंक्ति में 10 लट्ठे हों तो कुल कितने लट्ठे हैं?
हल:
AP: 25, 24, 23, ..., 10
a = 25, d = -1, l = 10
पंक्तियों की संख्या:
10 = 25 + (n-1)×(-1)
10 = 25 - n + 1
n = 16
कुल लट्ठे:
S₁₆ = 16/2 [25 + 10] = 8 × 35 = 280
10. सूत्र सारणी
| क्र. | सूत्र का नाम | सूत्र |
|---|---|---|
| 1 | nवाँ पद | aₙ = a + (n-1)d |
| 2 | n पदों का योग (I) | Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d] |
| 3 | n पदों का योग (II) | Sₙ = n/2 [a + l] |
| 4 | सार्व अंतर | d = a₂ - a₁ = aₙ₊₁ - aₙ |
| 5 | अंत से nवाँ पद | l - (n-1)d |
| 6 | पदों की संख्या | n = (l - a)/d + 1 |
| 7 | nवाँ पद (योग से) | aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ |
| 8 | समांतर माध्य | AM = (a + b)/2 |
| 9 | प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग | n(n+1)/2 |
| 10 | प्रथम n विषम संख्याओं का योग | n² |
| 11 | प्रथम n सम संख्याओं का योग | n(n+1) |
11. MCQ प्रश्न (50+)
प्रश्न 1-10 (आधारभूत)
प्रश्न 11-30 (मध्यम स्तर)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 11. AP 1, 4, 7, ... का 15वाँ पद | 43 |
| 12. AP -5, -1, 3, 7, ... का 20वाँ पद | 71 |
| 13. a = 5, aₙ = 45, Sₙ = 400 तो n = ? | 16 |
| 14. AP में a₄ = 11, a₇ = 20 तो a = ? | 2 |
| 15. AP में a₇ = 19, d = 2 तो a₁₅ = ? | 35 |
| 16. AP 2, 5, 8, ... के प्रथम 10 पदों का योग | 155 |
| 17. AP 100, 97, 94, ... का 15वाँ पद | 58 |
| 18. 1 से 100 तक 7 से विभाज्य संख्याओं का योग | 735 |
| 19. AP में पहला पद 2, अंतिम 50, योग 442 तो n = ? | 17 |
| 20. AP 5, 9, 13, ..., 185 का योग | 4370 |
| 21. Sₙ = 3n + 2n² तो a₁₀ = ? | 41 |
| 22. AP में a = 100, d = -5 तो a₂₀ = ? | 5 |
| 23. AP के प्रथम 17 पदों का योग 170 तो 9वाँ पद = ? | 10 |
| 24. AP में तीन पदों का योग 24, गुणनफल 440 | 5, 8, 11 |
| 25. AP 3, 6, 9, ..., 78 में पदों की संख्या | 26 |
| 26. a₅ + a₉ = 72, a₇ + a₁₂ = 97 तो a = ? | 6 |
| 27. प्रथम n सम संख्याओं का योग = 420 तो n = ? | 20 |
| 28. AP में a₃ = 7, a₇ = 23 तो d = ? | 4 |
| 29. 1 + 2 + 3 + ... + n = 325 तो n = ? | 25 |
| 30. AP का 7वाँ पद = 1/9, 9वाँ पद = 1/7 तो 63वाँ पद = ? | 1 |
प्रश्न 31-50 (उच्च स्तर)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 31. AP में S₁₀ = 125, a = 2 तो d = ? | 5/2 |
| 32. 200 से 500 के बीच 4 से विभाज्य संख्याओं का योग | 26,100 |
| 33. AP 20, 19¼, 18½, ... का कौन सा पद प्रथम ऋणात्मक पद है? | 28वाँ |
| 34. यदि S₁ = 2, S₂ = 6 तो S₁₀ = ? | 110 |
| 35. AP में p वाँ पद q और q वाँ पद p हो तो (p+q) वाँ पद = ? | 0 |
| 36. AP में S₁₅ = S₂₅ तो S₄₀ = ? | 0 |
| 37. AP के प्रथम p पदों का योग = प्रथम q पदों का योग तो प्रथम (p+q) पदों का योग = ? | 0 |
| 38. AP 2, 6, 10, ... के प्रथम कितने पदों का योग 1800 होगा? | 30 |
| 39. x, y, z AP में हों और x + y + z = 15, xyz = 80 | 2, 5, 8 |
| 40. AP में aₘ = 1/n और aₙ = 1/m तो aₘₙ = ? | 1 |
| 41. 1 से 500 तक 2 और 5 दोनों से विभाज्य संख्याओं का योग | 12,750 |
| 42. AP के प्रथम n पद का योग 5n² + 3n तो nवाँ पद = ? | 10n - 2 |
| 43. AP में पहले 6 पदों का योग = 42, 11वाँ पद : 5वाँ पद = 3:1 तो पहला पद = ? | 2 |
| 44. AP a, a+d, a+2d, ... का mवाँ और nवाँ पदों का योग = ? | 2a + (m+n-2)d |
| 45. 1² - 2² + 3² - 4² + 5² - ... - 100² = ? | -5050 |
| 46. AP में S₁₄ = 1050 और a = 10 तो a₂₀ = ? | 200 |
| 47. AP में a₁₅/a₁₂ = 15/12 तो a₁/a₂ = ? | 1/2 |
| 48. AP 21, 18, 15, ... में कितने पदों का योग शून्य होगा? | 15 |
| 49. AP में a₂ = 13, a₄ = 3 तो S₁₀ = ? | -35 |
| 50. AP में aₚ = q और aᵧ = p तो aₚ₊ᵧ = ? | 0 |
⚡ Quick Revision
- AP: समान अंतर वाली श्रेणी
- nवाँ पद: aₙ = a + (n-1)d
- योग: Sₙ = n/2[2a + (n-1)d] = n/2[a + l]
- सार्व अंतर: d = a₂ - a₁
- पदों की संख्या: n = (l-a)/d + 1
- nवाँ पद (योग से): aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁
- तीन पद: a-d, a, a+d (योग = 3a)
- ∑n = n(n+1)/2
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