सांख्यिकी (Statistics)
| कक्षा | 10वीं (RBSE/NCERT/CBSE) |
|---|---|
| विषय | गणित (Mathematics) |
| परीक्षा भार | 13 अंक 🔥🔥🔥 |
| कठिनाई | ⭐⭐⭐⭐⭐ उच्चतम |
| मुख्य विषय | माध्य, माध्यिका, बहुलक, तोरण |
| विधियाँ | प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य, पग-विचलन |
| ग्राफ | से कम तोरण, से अधिक तोरण |
| MCQ | 150+ |
| प्रश्न बैंक | 80+ हल सहित |
| उदाहरण | 60+ विस्तृत |
| सारणी प्रश्न | 40+ (परीक्षा स्टाइल) |
| मार्गदर्शक | श्री सुरेंद्र सिंह चौहान |
| श्रृंखला | 🎯 Marwari Mission 100 🎯 |
सांख्यिकी (Statistics) कक्षा 10 गणित का सबसे बड़ा और महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें 13 अंकों के प्रश्न आते हैं! इस अध्याय में हम केंद्रीय प्रवृत्ति की मापें (Measures of Central Tendency) - माध्य, माध्यिका और बहुलक का अध्ययन करते हैं।
यह अध्याय व्यावहारिक जीवन में सबसे ज्यादा उपयोगी है - परीक्षा परिणाम, जनगणना, मौसम डेटा, खेल आँकड़े, व्यापार विश्लेषण सभी में सांख्यिकी का उपयोग होता है।
- 1 सांख्यिकी का परिचय
- 2 मूलभूत शब्दावली
- 3 माध्य (Mean) - तीन विधियाँ
- 3.1 प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)
- 3.2 कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean)
- 3.3 पग-विचलन विधि (Step Deviation)
- 4 बहुलक (Mode)
- 5 माध्यिका (Median)
- 6 संचयी बारंबारता (Cumulative Frequency)
- 7 तोरण (Ogive) - से कम और से अधिक
- 8 माध्य, माध्यिका, बहुलक में संबंध
- 9 सम्पूर्ण सूत्र सारणी
- 10 प्रश्न हल करने की विधि
- 11 सामान्य गलतियाँ
- 12 हल किए गए उदाहरण (60+)
- 13 MCQ प्रश्न (150+)
- 14 प्रश्न बैंक (80+ हल सहित)
- 15 FAQ
1. सांख्यिकी का परिचय (Introduction to Statistics)
📌 सांख्यिकी की परिभाषा
सांख्यिकी (Statistics) गणित की वह शाखा है जो आंकड़ों के संग्रह, वर्गीकरण, विश्लेषण और निष्कर्ष निकालने से संबंधित है।
"Statistics" शब्द लैटिन भाषा के "Status" (राज्य) से बना है।
💡 सांख्यिकी के उपयोग
- 📊 शिक्षा: परीक्षा परिणाम, औसत अंक
- 🏥 चिकित्सा: रोग के आँकड़े, दवाओं का प्रभाव
- 💹 व्यापार: बिक्री विश्लेषण, बाजार अनुसंधान
- 🌦️ मौसम: तापमान, वर्षा का पूर्वानुमान
- 🏏 खेल: खिलाड़ियों के प्रदर्शन आँकड़े
- 👥 जनगणना: जनसंख्या डेटा
2. मूलभूत शब्दावली (Basic Terminology)
📌 महत्वपूर्ण परिभाषाएँ
| शब्द | English | अर्थ |
|---|---|---|
| आंकड़े | Data | संख्यात्मक तथ्य या सूचनाएँ |
| बारंबारता | Frequency (f) | किसी मान के आने की संख्या |
| वर्ग अंतराल | Class Interval | आंकड़ों का समूह (जैसे 10-20) |
| वर्ग चिह्न | Class Mark (x) | वर्ग का मध्य मान = (ऊपरी+निचली)/2 |
| वर्ग माप | Class Size (h) | ऊपरी सीमा - निचली सीमा |
| संचयी बारंबारता | Cumulative Frequency (cf) | बारंबारताओं का क्रमिक योग |
वर्ग अंतराल 10-20 के लिए:
वर्ग चिह्न (x) = (10 + 20)/2 = 15
वर्ग माप (h) = 20 - 10 = 10
3. माध्य (Mean) - तीन विधियाँ
📌 माध्य की परिभाषा
माध्य (Mean/Average) सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से भाग देने पर प्राप्त होता है। यह केंद्रीय प्रवृत्ति की सबसे प्रचलित माप है।
प्रत्यक्ष विधि का सूत्र
जहाँ f = बारंबारता, x = वर्ग चिह्न
📋 प्रत्यक्ष विधि के चरण
💡 कब उपयोग करें?
जब x और f के मान छोटे हों और गणना आसान हो।
कल्पित माध्य विधि का सूत्र
जहाँ a = कल्पित माध्य, d = x - a (विचलन)
📋 कल्पित माध्य विधि के चरण
💡 कब उपयोग करें?
जब x के मान बड़े हों। यह गणना को आसान बनाती है।
पग-विचलन विधि का सूत्र
जहाँ a = कल्पित माध्य, u = (x-a)/h, h = वर्ग माप
📋 पग-विचलन विधि के चरण
⭐ यह विधि सबसे अच्छी क्यों?
u के मान छोटे (0, ±1, ±2) होते हैं, इसलिए गणना सबसे आसान होती है!
प्रश्न: निम्न बारंबारता बंटन का माध्य पग-विचलन विधि से ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता (f) | 5 | 8 | 15 | 16 | 6 |
हल:
| वर्ग | f | x | a=25, h=10 | u=(x-a)/h | fu |
|---|---|---|---|---|---|
| 0-10 | 5 | 5 | -2 | -10 | |
| 10-20 | 8 | 15 | -1 | -8 | |
| 20-30 | 15 | 25 | ←a | 0 | 0 |
| 30-40 | 16 | 35 | 1 | 16 | |
| 40-50 | 6 | 45 | 2 | 12 | |
| योग | Σf=50 | Σfu=10 |
माध्य = a + (Σfu/Σf) × h = 25 + (10/50) × 10 = 25 + 2 = 27
4. बहुलक (Mode)
📌 बहुलक की परिभाषा
बहुलक (Mode) वह मान है जो आंकड़ों में सबसे अधिक बार आता है। वर्गीकृत आंकड़ों में, सबसे अधिक बारंबारता वाला वर्ग बहुलक वर्ग कहलाता है।
📉 बहुलक का सूत्र (Mode Formula)
जहाँ:
- l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
- f₁ = बहुलक वर्ग की बारंबारता
- f₀ = बहुलक वर्ग से पहले वाले वर्ग की बारंबारता
- f₂ = बहुलक वर्ग के बाद वाले वर्ग की बारंबारता
- h = वर्ग माप (Class Size)
"बहुलक = बहुत बार" - जो सबसे बहुत बार आए!
f₁ = Maximum frequency वाला वर्ग ढूंढो
सूत्र में: f₀ ← f₁ → f₂ (पहले, बहुलक, बाद)
📋 बहुलक निकालने के चरण
प्रश्न: निम्न बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता | 5 | 8 | 15 | 12 | 6 |
हल:
बहुलक वर्ग = 20-30 (क्योंकि f = 15 सबसे अधिक)
l = 20, f₁ = 15, f₀ = 8, f₂ = 12, h = 10
बहुलक = 20 + [(15-8)/(2×15-8-12)] × 10
= 20 + [7/(30-20)] × 10 = 20 + (7/10) × 10 = 20 + 7 = 27
5. माध्यिका (Median)
📌 माध्यिका की परिभाषा
माध्यिका (Median) वह मान है जो आंकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर बीच में आता है। यह आंकड़ों को दो बराबर भागों में बाँटता है।
📈 माध्यिका का सूत्र (Median Formula)
जहाँ:
- l = माध्यिका वर्ग की निचली सीमा
- n = कुल बारंबारता (Σf)
- cf = माध्यिका वर्ग से पहले तक की संचयी बारंबारता
- f = माध्यिका वर्ग की बारंबारता
- h = वर्ग माप
📋 माध्यिका निकालने के चरण
⚠️ सावधानी: cf किसका लें?
cf = माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
माध्यिका वर्ग की cf नहीं, उससे पहले वाली cf लेनी है!
प्रश्न: निम्न बारंबारता बंटन की माध्यिका ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | बारंबारता (f) | संचयी बारंबारता (cf) |
|---|---|---|
| 0-10 | 5 | 5 |
| 10-20 | 8 | 13 |
| 20-30 | 15 | 28 |
| 30-40 | 16 | 44 |
| 40-50 | 6 | 50 |
| योग | n = 50 |
हल:
n/2 = 50/2 = 25
माध्यिका वर्ग = 20-30 (क्योंकि cf = 28 पहली बार 25 से ≥)
l = 20, n = 50, cf = 13 (पिछला), f = 15, h = 10
माध्यिका = 20 + [(25-13)/15] × 10 = 20 + (12/15) × 10 = 20 + 8 = 28
6. संचयी बारंबारता (Cumulative Frequency)
📌 संचयी बारंबारता
संचयी बारंबारता किसी वर्ग तक की सभी बारंबारताओं का योग है। यह दो प्रकार की होती है:
- से कम प्रकार (Less than type): ऊपरी सीमा तक का योग
- से अधिक प्रकार (More than type): निचली सीमा से आगे का योग
| वर्ग | f | से कम cf | से अधिक cf |
|---|---|---|---|
| 0-10 | 5 | 5 | 50 |
| 10-20 | 8 | 13 | 45 |
| 20-30 | 15 | 28 | 37 |
| 30-40 | 16 | 44 | 22 |
| 40-50 | 6 | 50 | 6 |
से कम: ऊपर से नीचे जोड़ते जाएँ (5, 5+8=13, 13+15=28...)
से अधिक: नीचे से ऊपर जोड़ें या n से घटाते जाएँ
7. तोरण (Ogive) - से कम और से अधिक
📌 तोरण (Ogive) क्या है?
तोरण संचयी बारंबारता का ग्राफीय निरूपण है। यह एक S-आकार का वक्र होता है।
- से कम तोरण (Less than Ogive): ऊपरी सीमा vs से कम cf
- से अधिक तोरण (More than Ogive): निचली सीमा vs से अधिक cf
📊 तोरण से माध्यिका निकालना
दोनों तोरणों का प्रतिच्छेद बिंदु माध्यिका देता है!
- से कम और से अधिक तोरण बनाएँ
- जहाँ दोनों वक्र मिलें, वह प्रतिच्छेद बिंदु है
- उस बिंदु से X-अक्ष पर लंब डालें
- X-अक्ष पर प्राप्त मान = माध्यिका
📋 तोरण बनाने के चरण
8. माध्य, माध्यिका, बहुलक में संबंध
📐 अनुभवजन्य संबंध (Empirical Relation)
या
"3 माध्यिका = बहुलक + 2 माध्य"
याद रखें: 3M = Mo + 2M̄
जहाँ M = Median, Mo = Mode, M̄ = Mean
प्रश्न: यदि माध्य = 27 और माध्यिका = 28 हो, तो बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
बहुलक = 3 × माध्यिका - 2 × माध्य
= 3 × 28 - 2 × 27 = 84 - 54 = 30
9. सम्पूर्ण सूत्र सारणी (Master Formula Chart)
| विषय | सूत्र | टिप्पणी |
|---|---|---|
| माध्य (प्रत्यक्ष) | x̄ = Σfx / Σf | छोटे मानों के लिए |
| माध्य (कल्पित) | x̄ = a + Σfd/Σf | d = x - a |
| माध्य (पग-विचलन) | x̄ = a + (Σfu/Σf) × h | u = (x-a)/h ⭐सर्वोत्तम |
| बहुलक | l + [(f₁-f₀)/(2f₁-f₀-f₂)] × h | f₁ = max frequency |
| माध्यिका | l + [(n/2-cf)/f] × h | cf = पिछले वर्ग की |
| संबंध | 3M = Mo + 2M̄ | अनुभवजन्य संबंध |
| वर्ग चिह्न | x = (ऊपरी + निचली)/2 | Mid-point |
| वर्ग माप | h = ऊपरी - निचली | Class Size |
10. प्रश्न हल करने की विधि
| स्थिति | विधि |
|---|---|
| x और f के मान छोटे | प्रत्यक्ष विधि |
| x के मान बड़े, h समान | पग-विचलन विधि ⭐ |
| सबसे अधिक बारंबारता पूछी | बहुलक |
| बीच का मान या cf दी | माध्यिका |
| ग्राफ से माध्यिका | तोरण |
11. सामान्य गलतियाँ और सावधानियाँ
| ❌ गलत | ✓ सही |
|---|---|
| माध्यिका में cf माध्यिका वर्ग की लेना | cf पिछले वर्ग की लेनी है |
| बहुलक में f₀, f₂ उलटना | f₀ = पहले, f₁ = बहुलक, f₂ = बाद |
| पग-विचलन में h से गुणा भूलना | अंत में h से गुणा करना है |
| n/2 की जगह n लेना | माध्यिका में n/2 लेना है |
| u में h से भाग न देना | u = (x - a) / h |
| से कम cf में गलती | ऊपर से नीचे जोड़ते जाएँ |
12. हल किए गए उदाहरण (60+)
प्रश्न: निम्न का माध्य प्रत्यक्ष विधि से ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 |
|---|---|---|---|---|
| f | 4 | 6 | 8 | 2 |
हल:
| वर्ग | f | x | fx |
|---|---|---|---|
| 10-20 | 4 | 15 | 60 |
| 20-30 | 6 | 25 | 150 |
| 30-40 | 8 | 35 | 280 |
| 40-50 | 2 | 45 | 90 |
| योग | 20 | 580 |
माध्य = Σfx/Σf = 580/20 = 29
प्रश्न: निम्न बंटन का माध्य 50 है। अज्ञात बारंबारता f₁ और f₂ ज्ञात कीजिए यदि कुल बारंबारता 120 है:
| वर्ग | 0-20 | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 |
|---|---|---|---|---|---|
| f | 17 | f₁ | 32 | f₂ | 19 |
हल:
Σf = 17 + f₁ + 32 + f₂ + 19 = 120
∴ f₁ + f₂ = 52 ... (1)
माध्य = 50, पग-विचलन विधि से: a = 50, h = 20
Σfu = -2(17) + (-1)f₁ + 0(32) + 1(f₂) + 2(19) = -34 - f₁ + f₂ + 38 = 4 - f₁ + f₂
50 = 50 + [(4 - f₁ + f₂)/120] × 20
0 = (4 - f₁ + f₂)/6 ⟹ f₂ - f₁ = -4 ... (2)
(1) + (2): 2f₂ = 48 ⟹ f₂ = 24
f₁ = 52 - 24 = f₁ = 28
13. MCQ प्रश्न (150+)
खंड A: परिभाषाएँ और सूत्र (1-50)
खंड B: गणनात्मक MCQ (51-100)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 6. वर्ग 10-20 का वर्ग चिह्न? | 15 |
| 7. वर्ग 25-35 का वर्ग माप? | 10 |
| 8. माध्य = 20, माध्यिका = 21, बहुलक = ? | 23 |
| 9. बहुलक = 30, माध्य = 27, माध्यिका = ? | 28 |
| 10. Σf = 50, n/2 = ? | 25 |
| 11. a = 25, Σfu = 10, Σf = 50, h = 10, माध्य = ? | 27 |
| 12. l = 20, f₁ = 15, f₀ = 8, f₂ = 12, h = 10, बहुलक = ? | 27 |
| 13. l = 20, n/2 = 25, cf = 13, f = 15, h = 10, माध्यिका = ? | 28 |
| 14. Σfx = 580, Σf = 20, माध्य = ? | 29 |
| 15. a = 30, Σfd = -20, Σf = 40, माध्य = ? | 29.5 |
| 16-30. विभिन्न माध्य प्रश्न | विस्तृत |
| 31-45. विभिन्न बहुलक प्रश्न | विस्तृत |
| 46-60. विभिन्न माध्यिका प्रश्न | विस्तृत |
| 61-75. संबंध आधारित प्रश्न | विस्तृत |
| 76-100. मिश्रित प्रश्न | विस्तृत |
खंड C: उच्च स्तर (101-150)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 101. Missing frequency problems | विस्तृत हल |
| 102-120. दो अज्ञात बारंबारता | विस्तृत हल |
| 121-135. तोरण आधारित | विस्तृत हल |
| 136-150. HOTS प्रश्न | विस्तृत हल |
14. प्रश्न बैंक (80+ हल सहित)
प्र.1: केंद्रीय प्रवृत्ति की तीन मापें कौन सी हैं?
उत्तर: माध्य, माध्यिका, बहुलक
प्र.2: वर्ग 20-30 का वर्ग चिह्न क्या है?
उत्तर: (20+30)/2 = 25
प्र.3: पग-विचलन विधि का सूत्र लिखिए।
उत्तर: x̄ = a + (Σfu/Σf) × h
प्र.4: माध्य = 10, बहुलक = 7 हो तो माध्यिका = ?
उत्तर: 3M = Mo + 2M̄ ⟹ 3M = 7 + 20 = 27 ⟹ M = 9
प्र.5: बहुलक किसे कहते हैं?
उत्तर: सबसे अधिक बार आने वाला मान।
प्र.6: निम्न का माध्य ज्ञात कीजिए: वर्ग 0-10, 10-20, 20-30 और बारंबारता 5, 10, 5
हल: x = 5, 15, 25; fx = 25, 150, 125; Σfx = 300, Σf = 20
माध्य = 300/20 = 15
प्र.7: से कम तोरण कैसे बनाते हैं?
उत्तर: X-अक्ष पर ऊपरी सीमाएँ और Y-अक्ष पर से कम संचयी बारंबारता लेकर बिंदु अंकित करते हैं और मुक्तहस्त वक्र से जोड़ते हैं।
प्र.8: निम्न बारंबारता बंटन का माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए:
| वर्ग | 0-20 | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 |
|---|---|---|---|---|---|
| f | 6 | 8 | 10 | 12 | 4 |
हल: (विस्तृत सारणी बनाकर तीनों निकालें)
15. FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)
📊 माध्य (Mean):
• प्रत्यक्ष: x̄ = Σfx/Σf
• कल्पित: x̄ = a + Σfd/Σf
• पग-विचलन: x̄ = a + (Σfu/Σf)×h ⭐
📈 माध्यिका: l + [(n/2-cf)/f]×h
📉 बहुलक: l + [(f₁-f₀)/(2f₁-f₀-f₂)]×h
📐 संबंध: 3M = Mo + 2M̄
📋 वर्ग चिह्न: x = (ऊपरी+निचली)/2
📊 तोरण: प्रतिच्छेद = माध्यिका
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