Class 10

त्रिभुज कक्षा 10 | Triangles Chapter 6 RBSE NCERT 2026 | BPT पाइथागोरस प्रमेय

📅 Saturday, 3 January 2026 📖 3-5 min read
त्रिभुज कक्षा 10 | Triangles Chapter 6 RBSE NCERT 2026

त्रिभुज (Triangles)

अध्याय 6
Triangles (त्रिभुज)
कक्षा10वीं (RBSE/NCERT)
विषयगणित (Mathematics)
परीक्षा भार12-15 अंक
कठिनाईमध्यम से कठिन
मुख्य प्रमेयBPT, पाइथागोरस
समरूपता कसौटियाँ4 (AA, SSS, SAS)
MCQ50+
मार्गदर्शकश्री सुरेंद्र सिंह चौहान
श्रृंखलाMarwari Mission 100

त्रिभुज (Triangles) कक्षा 10 गणित का सबसे महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें समरूप त्रिभुजों, BPT (थेल्स प्रमेय) और पाइथागोरस प्रमेय का विस्तृत अध्ययन किया जाता है। यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में 12-15 अंकों का होता है।

विषय सूची

1. समरूप आकृतियाँ (Similar Figures)

📌 समरूप आकृतियाँ

वे आकृतियाँ जिनका आकार समान हो परंतु माप भिन्न हो सकती है, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।

📐 समरूप vs सर्वांगसम
समरूप (Similar) ~ आकार समान, माप भिन्न सर्वांगसम (Congruent) ≅ आकार और माप दोनों समान

💡 महत्वपूर्ण

  • सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं
  • सभी समरूप आकृतियाँ सर्वांगसम नहीं होतीं
  • सभी वृत्त, वर्ग, समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं
समरूप त्रिभुजों के लिए:

यदि △ABC ~ △DEF तो:

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F
AB/DE = BC/EF = CA/FD

2. BPT - थेल्स प्रमेय

📜 प्रमेय 6.1: BPT (Basic Proportionality Theorem)

यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो वह इन दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।

📐 BPT (थेल्स प्रमेय)
A B C D E DE ∥ BC
BPT सूत्र:

यदि DE ∥ BC तो:

AD/DB = AE/EC
AD/AB = AE/AC = DE/BC

उदाहरण 1

प्रश्न: △ABC में DE ∥ BC, AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 5 cm तो EC = ?

हल: BPT से: AD/DB = AE/EC

4/6 = 5/EC → EC = 30/4 = 7.5 cm

📜 BPT का विलोम

यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करे, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

3. समरूपता की कसौटियाँ

3.1 AA समरूपता (कोण-कोण)

📜 प्रमेय 6.3

यदि दो त्रिभुजों के दो-दो कोण समान हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

3.2 SSS समरूपता (भुजा-भुजा-भुजा)

📜 प्रमेय 6.4

यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

AB/DE = BC/EF = CA/FD → △ABC ~ △DEF

3.3 SAS समरूपता (भुजा-कोण-भुजा)

📜 प्रमेय 6.5

यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं के बीच के कोण समान हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

AB/DE = AC/DF और ∠A = ∠D → △ABC ~ △DEF
कसौटी शर्त
AA दो कोण समान
SSS तीनों भुजाएँ समानुपाती
SAS दो भुजाएँ समानुपाती + बीच का कोण समान

उदाहरण 2

प्रश्न: △ABC में AB = 6, BC = 8, CA = 10 और △DEF में DE = 3, EF = 4, FD = 5। समरूप हैं?

हल: AB/DE = 6/3 = 2, BC/EF = 8/4 = 2, CA/FD = 10/5 = 2

तीनों अनुपात समान → SSS से △ABC ~ △DEF

4. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल

📜 प्रमेय 6.6

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

क्षेत्रफल का अनुपात:

यदि △ABC ~ △DEF तो:

ar(△ABC)/ar(△DEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (CA/FD)²

उदाहरण 3

प्रश्न: △ABC ~ △PQR, AB = 5 cm, PQ = 10 cm, ar(△ABC) = 25 cm² तो ar(△PQR) = ?

हल: ar(ABC)/ar(PQR) = (AB/PQ)² = (5/10)² = 1/4

25/ar(PQR) = 1/4 → ar(PQR) = 100 cm²

5. पाइथागोरस प्रमेय

📜 प्रमेय 6.8: पाइथागोरस प्रमेय

समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

📐 पाइथागोरस प्रमेय
A B C c (आधार) a (लंब) b (कर्ण) b² = a² + c²
पाइथागोरस सूत्र:
(कर्ण)² = (लंब)² + (आधार)²
AC² = AB² + BC²

उदाहरण 4: कर्ण ज्ञात करना

प्रश्न: समकोण △ की भुजाएँ 6 cm, 8 cm। कर्ण = ?

हल: कर्ण² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

कर्ण = √100 = 10 cm

उदाहरण 5: एक भुजा ज्ञात करना

प्रश्न: कर्ण = 13 cm, एक भुजा = 5 cm। दूसरी भुजा = ?

हल: 13² = 5² + x² → 169 = 25 + x² → x² = 144

x = 12 cm

उदाहरण 6: सीढ़ी की समस्या

प्रश्न: 10 m सीढ़ी दीवार पर 8 m ऊँचाई तक पहुँचती है। दीवार से दूरी = ?

हल: 10² = 8² + x² → 100 = 64 + x² → x² = 36

दूरी = 6 m

📜 पाइथागोरस का विलोम

यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो उन दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण होता है।

उदाहरण 7: समकोण की जाँच

प्रश्न: भुजाएँ 7, 24, 25 cm। समकोण △ है?

हल: 25² = 625, 7² + 24² = 49 + 576 = 625

चूँकि 25² = 7² + 24² → हाँ, समकोण △ है

6. पाइथागोरस त्रिक

📌 पाइथागोरस त्रिक

तीन प्राकृतिक संख्याएँ (a, b, c) जो a² + b² = c² को संतुष्ट करें।

त्रिक जाँच गुणज
(3, 4, 5) 9 + 16 = 25 ✓ (6,8,10), (9,12,15)...
(5, 12, 13) 25 + 144 = 169 ✓ (10,24,26)...
(8, 15, 17) 64 + 225 = 289 ✓ (16,30,34)...
(7, 24, 25) 49 + 576 = 625 ✓ (14,48,50)...
(9, 40, 41) 81 + 1600 = 1681 ✓ -
(11, 60, 61) 121 + 3600 = 3721 ✓ -
(20, 21, 29) 400 + 441 = 841 ✓ -
पाइथागोरस त्रिक सूत्र:

m > n (प्राकृतिक संख्याएँ) के लिए:

(m² - n², 2mn, m² + n²)

7. सूत्र एवं प्रमेय सारणी

क्र. प्रमेय/सूत्र कथन
1 BPT DE ∥ BC → AD/DB = AE/EC
2 BPT विलोम AD/DB = AE/EC → DE ∥ BC
3 AA समरूपता 2 कोण समान → समरूप
4 SSS समरूपता 3 भुजाएँ समानुपाती → समरूप
5 SAS समरूपता 2 भुजाएँ समानुपाती + बीच का कोण → समरूप
6 क्षेत्रफल अनुपात ar₁/ar₂ = (भुजा₁/भुजा₂)²
7 पाइथागोरस कर्ण² = लंब² + आधार²
8 पाइथागोरस विलोम a² + b² = c² → समकोण △

8. MCQ प्रश्न (50+)

प्रश्न 1-15

1. समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाएँ होती हैं:
उत्तर: (B) समानुपाती
2. पाइथागोरस प्रमेय में:
उत्तर: (B) कर्ण² = लंब² + आधार²
3. (3, 4, 5) है:
उत्तर: (C) पाइथागोरस त्रिक
4. △ABC ~ △DEF, AB/DE = 2/3 तो ar(ABC)/ar(DEF) = ?
उत्तर: (B) 4/9
5. BPT का पूरा नाम:
उत्तर: Basic Proportionality Theorem
6. भुजाएँ 6 cm, 8 cm वाले समकोण △ का कर्ण:
उत्तर: (B) 10 cm
7. सभी समबाहु त्रिभुज होते हैं:
उत्तर: (B) समरूप
8. AA समरूपता में कितने कोण समान चाहिए:
उत्तर: (B) 2
9. DE ∥ BC, AD = 4, DB = 5, AE = 8 तो EC = ?
उत्तर: (A) 10
10. समरूपता का संकेत:
उत्तर: (C) ~

प्रश्न 11-30

प्रश्नउत्तर
11. (5, 12, 13) पाइथागोरस त्रिक है?हाँ (25+144=169)
12. कर्ण 17, एक भुजा 8 तो दूसरी15 cm
13. सभी वृत्त होते हैंसमरूप
14. सभी वर्ग होते हैंसमरूप
15. △ABC में AD/AB = 3/5 तो DE/BC3/5
16. भुजाएँ 9, 40, कर्ण = ?41
17. (8, 15, 17) त्रिक जाँच64+225=289 ✓
18. ar(ABC)=64, ar(DEF)=121, भुजा अनुपात8:11
19. SSS समरूपता में भुजाएँसमानुपाती
20. 10m सीढ़ी, 6m दूर, ऊँचाई8 m
21. (7, 24, 25) पाइथागोरस त्रिक?हाँ
22. BPT विलोम क्या सिद्ध करता है?रेखा समांतर
23. (6, 8, 10) किसका गुणज?(3, 4, 5)
24. AB=4, PQ=6, ar(ABC)=32 तो ar(PQR)72
25. सर्वांगसम △ सदैवसमरूप भी
26. विकर्ण 10 cm वर्ग की भुजा5√2 cm
27. समबाहु △ भुजा 6, ऊँचाई3√3 cm
28. आयत विकर्ण 13, लंबाई 12, चौड़ाई5 cm
29. AB/DE=3/4, ar(ABC):ar(DEF)9:16
30. 15, 20, 25 भुजाएँ, समकोण △?हाँ

प्रश्न 31-50

प्रश्नउत्तर
31. समचतुर्भुज विकर्ण 24, 10, भुजा13 cm
32. DE∥BC, AD=2, DB=3, DE=4 तो BC10
33. क्षेत्रफल अनुपात 16:25, भुजा अनुपात4:5
34. AB=AC=13, BC=10, AD(शीर्षलंब)12 cm
35. (9, 12, 15) पाइथागोरस त्रिक?हाँ
36. ∠C=90°, BC=3, AC=4, AB=?5
37. परिमाप अनुपात 2:3, ar(ABC)=24 तो ar(PQR)54
38. (11, 60, 61) पाइथागोरस त्रिक?हाँ
39. AB²+AC²=BC² तो समकोण∠A = 90°
40. 8, 15 भुजाएँ, समकोण △ क्षेत्रफल60 cm²
41. वर्ग भुजा = विकर्ण का1/√2 गुना
42. D, E मध्य बिंदु तो DE/BC1/2
43. (20, 21, 29) पाइथागोरस त्रिक?हाँ
44. समरूप △ में संगत कोणसमान
45. कर्ण 26, एक भुजा 10, दूसरी24 cm
46. (12, 35, 37) पाइथागोरस त्रिक?हाँ
47. △ABC~△DEF, माध्यिका अनुपातभुजा अनुपात के समान
48. (9, 40, 41) जाँच81+1600=1681 ✓
49. कर्ण 25, एक भुजा 7, दूसरी24 cm
50. भुजा अनुपात 1:2, क्षेत्रफल अनुपात1:4

⚡ Quick Revision

  • समरूप △: संगत कोण समान, भुजाएँ समानुपाती
  • BPT: DE∥BC → AD/DB = AE/EC
  • AA: 2 कोण समान → समरूप
  • SSS: 3 भुजाएँ समानुपाती → समरूप
  • SAS: 2 भुजाएँ समानुपाती + कोण → समरूप
  • क्षेत्रफल: ar₁/ar₂ = (भुजा)²
  • पाइथागोरस: कर्ण² = लंब² + आधार²
  • त्रिक: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)

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🙏 धन्यवाद 🙏

मार्गदर्शक: श्री सुरेंद्र सिंह चौहान

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