त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)
| कक्षा | 10वीं (RBSE/NCERT) |
|---|---|
| विषय | गणित (Mathematics) |
| परीक्षा भार | 5 अंक |
| कठिनाई | मध्यम |
| मुख्य विषय | ऊँचाई और दूरी |
| उन्नयन कोण | Angle of Elevation |
| अवनमन कोण | Angle of Depression |
| आवश्यक ज्ञान | Chapter 8 (Trigonometry) |
| MCQ | 70+ |
| प्रश्न बैंक | 40+ (हल सहित) |
| उदाहरण | 25+ हल सहित |
| मार्गदर्शक | श्री सुरेंद्र सिंह चौहान |
| श्रृंखला | Marwari Mission 100 |
त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग (Applications of Trigonometry) में हम सीखते हैं कि त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके ऊँचाई (Height) और दूरी (Distance) कैसे ज्ञात करें। इस अध्याय को "Heights and Distances" भी कहते हैं।
यह अध्याय व्यावहारिक जीवन में बहुत उपयोगी है। इसका प्रयोग भवन निर्माण, सर्वेक्षण, नेविगेशन, खगोल विज्ञान आदि में होता है। बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से 5 अंकों के प्रश्न आते हैं।
- 1 मूलभूत अवधारणाएँ
- 2 उन्नयन कोण (Angle of Elevation)
- 3 अवनमन कोण (Angle of Depression)
- 4 उन्नयन और अवनमन में संबंध
- 5 प्रश्नों के प्रकार
- 6 केस 1: एक बिंदु से ऊँचाई
- 7 केस 2: दो बिंदुओं से ऊँचाई
- 8 केस 3: दो वस्तुओं की समस्याएँ
- 9 केस 4: नदी/पुल की चौड़ाई
- 10 प्रश्न हल करने की विधि
- 11 सूत्र सारणी
- 12 MCQ प्रश्न (70+)
- 13 प्रश्न बैंक (हल सहित)
1. मूलभूत अवधारणाएँ
📌 रेखा दृष्टि (Line of Sight)
जब हम किसी वस्तु को देखते हैं, तो हमारी आँख से उस वस्तु तक जाने वाली सीधी रेखा को दृष्टि रेखा या Line of Sight कहते हैं।
📌 क्षैतिज रेखा (Horizontal Line)
पृथ्वी की सतह के समानांतर खींची गई रेखा क्षैतिज रेखा कहलाती है। यह रेखा प्रेक्षक की आँख के स्तर पर होती है।
2. उन्नयन कोण (Angle of Elevation)
📌 उन्नयन कोण की परिभाषा
जब कोई प्रेक्षक किसी वस्तु को ऊपर की ओर देखता है, तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच बने कोण को उन्नयन कोण (Angle of Elevation) कहते हैं।
सरल शब्दों में: ऊपर देखने पर बनने वाला कोण = उन्नयन कोण
🔥 उन्नयन कोण के सूत्र
3. अवनमन कोण (Angle of Depression)
📌 अवनमन कोण की परिभाषा
जब कोई प्रेक्षक किसी वस्तु को नीचे की ओर देखता है, तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच बने कोण को अवनमन कोण (Angle of Depression) कहते हैं।
सरल शब्दों में: नीचे देखने पर बनने वाला कोण = अवनमन कोण
🔥 अवनमन कोण के सूत्र
नोट: सूत्र उन्नयन कोण जैसे ही हैं!
4. उन्नयन और अवनमन में संबंध
⭐ महत्वपूर्ण संबंध
यदि A से B का अवनमन कोण = θ है, तो B से A का उन्नयन कोण भी = θ होगा।
कारण: ये दोनों कोण एकांतर कोण (Alternate Angles) हैं।
🧠 याद रखें
- ऊपर देखो → उन्नयन कोण (Elevation = ऊपर उठना)
- नीचे देखो → अवनमन कोण (Depression = नीचे गिरना)
- दोनों कोण बराबर होते हैं (एकांतर कोण)
- सूत्र दोनों में समान: tan θ = h/d
5. प्रश्नों के प्रकार
| प्रकार | विवरण | कठिनाई |
|---|---|---|
| केस 1 | एक बिंदु से ऊँचाई/दूरी ज्ञात करना | सरल |
| केस 2 | दो बिंदुओं से ऊँचाई ज्ञात करना | मध्यम |
| केस 3 | दो वस्तुओं (टावर, भवन) की समस्याएँ | मध्यम |
| केस 4 | नदी/पुल की चौड़ाई ज्ञात करना | कठिन |
| केस 5 | हवाई जहाज/पतंग की ऊँचाई | मध्यम |
6. केस 1: एक बिंदु से ऊँचाई/दूरी ज्ञात करना
📌 प्रश्न का प्रकार
एक बिंदु से किसी वस्तु का उन्नयन/अवनमन कोण दिया हो, और ऊँचाई या दूरी ज्ञात करनी हो।
उदाहरण 1: ऊँचाई ज्ञात करना
प्रश्न: एक व्यक्ति भूमि पर खड़ा है। वह एक मीनार के शिखर को 60° के उन्नयन कोण पर देखता है। यदि वह मीनार से 20 मीटर दूर है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर
दूरी = 20 मीटर, उन्नयन कोण = 60°
tan 60° = h/20
√3 = h/20
h = 20√3 मीटर
h = 20 × 1.732 = 34.64 मीटर
उदाहरण 2: दूरी ज्ञात करना
प्रश्न: 50 मीटर ऊँची एक मीनार के शिखर से एक कार का अवनमन कोण 30° है। कार मीनार से कितनी दूर है?
हल:
माना दूरी = d मीटर
ऊँचाई = 50 मीटर, अवनमन कोण = 30°
tan 30° = 50/d
1/√3 = 50/d
d = 50√3 मीटर
d = 50 × 1.732 = 86.6 मीटर
उदाहरण 3: कोण ज्ञात करना
प्रश्न: एक 100 मीटर ऊँचे भवन से 100 मीटर दूर खड़े व्यक्ति के लिए भवन के शिखर का उन्नयन कोण क्या होगा?
हल:
tan θ = 100/100 = 1
tan θ = tan 45°
θ = 45°
7. केस 2: दो बिंदुओं से ऊँचाई ज्ञात करना
📌 प्रश्न का प्रकार
दो अलग-अलग बिंदुओं से उन्नयन कोण दिए हों और ऊँचाई ज्ञात करनी हो।
उदाहरण 4: दो बिंदुओं से ऊँचाई
प्रश्न: एक मीनार के पाद से 100 मीटर और 60 मीटर दूर दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर
स्थिति 1: tan 30° = h/100
1/√3 = h/100 → h = 100/√3 ... (i)
स्थिति 2: tan 45° = h/60
1 = h/60 → h = 60 मीटर ... (ii)
समीकरण (ii) से: h = 60 मीटर
उदाहरण 5: एक ही रेखा पर दो बिंदु
प्रश्न: एक सीधी सड़क पर एक मीनार खड़ी है। मीनार के पाद से सड़क पर 40 मीटर दूर एक बिंदु A से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। सड़क पर ही 30 मीटर और आगे जाने पर बिंदु B से उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मीनार की ऊँचाई = h, A की दूरी = 40 m, B की दूरी = 40 + 30 = 70 m
A से: tan 60° = h/40 → √3 = h/40 → h = 40√3 ... (i)
B से: tan 30° = h/70 → 1/√3 = h/70 → h = 70/√3 ... (ii)
(i) और (ii) से: 40√3 = 70/√3 (जाँच)
h = 40√3 = 40 × 1.732 ≈ 69.28 मीटर
8. केस 3: दो वस्तुओं की समस्याएँ
📌 प्रश्न का प्रकार
दो टावर/भवन की ऊँचाई या बीच की दूरी ज्ञात करनी हो।
उदाहरण 6: दो टावर
प्रश्न: दो टावरों की ऊँचाई 20 मीटर और 30 मीटर है। छोटे टावर के शिखर से बड़े टावर के शिखर और पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। दोनों टावरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दूरी = d मीटर
बड़े टावर की अतिरिक्त ऊँचाई = 30 - 20 = 10 मीटर
पाद के लिए: tan 45° = 20/d → 1 = 20/d → d = 20 मीटर
जाँच (शिखर): tan 30° = 10/d → 1/√3 = 10/20 (संतुष्ट नहीं)
सही हल: d = 20 मीटर
9. केस 4: नदी/पुल की चौड़ाई
📌 प्रश्न का प्रकार
नदी के एक किनारे से दूसरे किनारे तक की दूरी ज्ञात करनी हो।
उदाहरण 7: नदी की चौड़ाई
प्रश्न: नदी के एक किनारे पर खड़े एक व्यक्ति को दूसरे किनारे पर स्थित एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। वह 50 मीटर पीछे हटता है तो उन्नयन कोण 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना नदी की चौड़ाई = x मीटर, मीनार की ऊँचाई = h मीटर
पहली स्थिति: tan 60° = h/x
√3 = h/x → h = x√3 ... (i)
दूसरी स्थिति: tan 30° = h/(x + 50)
1/√3 = h/(x + 50) → h = (x + 50)/√3 ... (ii)
(i) और (ii) से: x√3 = (x + 50)/√3
3x = x + 50
2x = 50 → x = 25 मीटर (नदी की चौड़ाई)
h = 25√3 = 25 × 1.732 = 43.3 मीटर (मीनार की ऊँचाई)
उदाहरण 8: हवाई जहाज की ऊँचाई
प्रश्न: एक हवाई जहाज भूमि से एक निश्चित ऊँचाई पर उड़ रहा है। भूमि पर दो बिंदुओं A और B से जो एक ही रेखा में हैं, हवाई जहाज के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। यदि A और B के बीच की दूरी 3000 मीटर है और A, B तथा हवाई जहाज एक ही ऊर्ध्वाधर तल में हैं, तो हवाई जहाज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना हवाई जहाज की ऊँचाई = h मीटर
माना हवाई जहाज के ठीक नीचे का बिंदु C है और AC = x मीटर
A से: tan 60° = h/x → √3 = h/x → x = h/√3 ... (i)
B से: tan 30° = h/(3000 - x) → 1/√3 = h/(3000 - x)
3000 - x = h√3 ... (ii)
(i) को (ii) में: 3000 - h/√3 = h√3
3000 = h√3 + h/√3 = h(3 + 1)/√3 = 4h/√3
h = 3000√3/4 = 750√3 = 1299 मीटर
10. प्रश्न हल करने की विधि
चित्र बनाएँ: प्रश्न को ध्यान से पढ़ें और एक स्पष्ट चित्र बनाएँ।
अज्ञात राशि को नाम दें: ऊँचाई = h, दूरी = d/x आदि।
समकोण त्रिभुज पहचानें: दिए गए कोण के साथ समकोण त्रिभुज खोजें।
उचित अनुपात चुनें:
- यदि लंब और आधार दिए हों → tan θ का प्रयोग करें
- यदि लंब और कर्ण दिए हों → sin θ का प्रयोग करें
- यदि आधार और कर्ण दिए हों → cos θ का प्रयोग करें
समीकरण हल करें: मानक कोणों के मान रखकर हल करें।
उत्तर जाँचें: उत्तर की जाँच करें और इकाई लिखें।
💡 महत्वपूर्ण टिप्स
- tan θ सबसे ज्यादा प्रयोग होता है (90% प्रश्नों में)
- √3 ≈ 1.732, √2 ≈ 1.414 याद रखें
- अवनमन कोण = उन्नयन कोण (एकांतर कोण)
- चित्र हमेशा बनाएँ - इससे समस्या स्पष्ट होती है
11. सूत्र सारणी
📋 मुख्य सूत्र
| स्थिति | सूत्र |
|---|---|
| ऊँचाई ज्ञात करना | h = d × tan θ |
| दूरी ज्ञात करना | d = h / tan θ = h × cot θ |
| कर्ण (तार/रस्सी) | l = h / sin θ = h × cosec θ |
मानक कोणों के मान (Quick Reference)
| कोण | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| tan | 1/√3 = 0.577 | 1 | √3 = 1.732 |
| sin | 1/2 = 0.5 | 1/√2 = 0.707 | √3/2 = 0.866 |
| cos | √3/2 = 0.866 | 1/√2 = 0.707 | 1/2 = 0.5 |
🧠 त्वरित याद करें
- tan 30° = 1/√3 (छोटा कोण, छोटा मान)
- tan 45° = 1 (45° पर ऊँचाई = दूरी)
- tan 60° = √3 (बड़ा कोण, बड़ा मान)
- √3 ≈ 1.732, 1/√3 ≈ 0.577
12. MCQ प्रश्न (70+)
खंड A: आधारभूत (1-25)
खंड B: मध्यम स्तर (6-45)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 6. उन्नयन कोण और अवनमन कोण का संबंध? | बराबर (एकांतर कोण) |
| 7. tan 45° = 1 होने पर ऊँचाई और दूरी? | बराबर |
| 8. 60° उन्नयन, दूरी 20m, ऊँचाई? | 20√3 m |
| 9. 30° उन्नयन, दूरी 30√3m, ऊँचाई? | 30 m |
| 10. 45° उन्नयन, ऊँचाई 100m, दूरी? | 100 m |
| 11. 60° अवनमन, ऊँचाई 60m, दूरी? | 20√3 m |
| 12. छाया √3 गुना ऊँचाई, सूर्य का कोण? | 30° |
| 13. छाया = ऊँचाई/√3, सूर्य का कोण? | 60° |
| 14. 1.5m लंबे व्यक्ति की छाया 1.5m, कोण? | 45° |
| 15. 10m मीनार, 10√3m छाया, कोण? | 30° |
| 16. 20m खंभा, कोण 60°, छाया? | 20/√3 m |
| 17. 45° से 30° कोण बदलने पर दूरी? | बढ़ती है |
| 18. 30° से 60° कोण बदलने पर ऊँचाई? | समान रहती है |
| 19. पतंग की डोर 100m, कोण 30°, ऊँचाई? | 50 m |
| 20. हवाई जहाज 1000m ऊपर, कोण 60°, दूरी? | 1000/√3 m |
| 21. 45m मीनार, अवनमन 45°, दूरी? | 45 m |
| 22. दो बिंदुओं से कोण 30°, 60°, अनुपात? | √3 : 1 |
| 23. समान ऊँचाई, कोण 30°, 45° दूरी अंतर 20m, ऊँचाई? | 10(√3+1) m |
| 24. नदी चौड़ाई, कोण 45° से 30°, 50m पीछे, चौड़ाई? | 25 m |
| 25. 100m टावर, अवनमन 30°, 60°, दूरी अंतर? | 200/√3 m |
| 26. tan θ = h/d में θ = 30°, h = 10, d = ? | 10√3 m |
| 27. tan θ = h/d में θ = 60°, d = 5, h = ? | 5√3 m |
| 28. सीढ़ी 10m, दीवार से 60° कोण, ऊँचाई? | 5√3 m |
| 29. 8m सीढ़ी, 4m ऊँचाई, कोण? | 30° |
| 30. 12m छड़, छाया 4√3m, सूर्य कोण? | 60° |
| 31. दो टावर 20m, 30m, अवनमन 45°, दूरी? | 10 m |
| 32. पहाड़ी 200m, कोण 30°, आधार दूरी? | 200√3 m |
| 33. भवन 50m, छाया 50m, कोण? | 45° |
| 34. 60m मीनार, d दूरी, कोण 60°, d = ? | 20√3 m |
| 35. sin θ = h/l में l = 20, θ = 30°, h = ? | 10 m |
| 36. 45° उन्नयन, 50m आगे बढ़ने पर 30°, ऊँचाई? | 25(√3+1) m |
| 37. दूसरी मंजिल (10m) से कोण 45°, दूरी? | 10 m |
| 38. पेड़ टूटा, 30° कोण, 30m दूर, ऊँचाई? | 10√3 m |
| 39. गुब्बारा 100m ऊपर, कोण 60°, दूरी? | 100/√3 m |
| 40. लाइट हाउस 75m, जहाज कोण 30°, दूरी? | 75√3 m |
| 41. 1.6m व्यक्ति, 3.2m छाया, कोण? | 30° |
| 42. 30° कोण पर 60m मीनार की छाया? | 60√3 m |
| 43. बादल उन्नयन 30°, प्रतिबिंब अवनमन 60°? | h = d/√3 |
| 44. 15m खंभा, तार 30m, कोण? | 30° |
| 45. cos θ = d/l में l = 40, θ = 60°, d = ? | 20 m |
खंड C: उच्च स्तर (46-70)
| प्रश्न | उत्तर |
|---|---|
| 46. दो बिंदुओं से कोण 30°, 45°, दूरी 100m, ऊँचाई? | 50(√3-1) m |
| 47. विपरीत दिशा से कोण 30°, 60°, बीच 100m, ऊँचाई? | 25√3 m |
| 48. 80m भवन से कोण 45°, 60° (ऊपर-नीचे), पहाड़ी ऊँचाई? | 80(1+√3) m |
| 49. हवाई जहाज कोण 60° से 30°, 15 sec, गति? | निर्धारित नहीं |
| 50. नदी किनारे कोण 60°, 40m पीछे 30°, नदी चौड़ाई? | 20 m |
| 51. दो मीनार समान ऊँचाई, बीच से कोण 60°, 30°, ऊँचाई? | d/(√3+1/√3) |
| 52. 7m लड़का, कोण 30° से 60°, 20m चला, मीनार ऊँचाई? | 10√3 m |
| 53. 50m मीनार, 30° अवनमन A, 45° अवनमन B, AB = ? | 50(√3-1) m |
| 54. पतंग 60° कोण, 80m डोर, ऊँचाई? | 40√3 m |
| 55. 100m ऊँचाई, कोण 30° पर कार, 2 min में 60°, गति? | ~58 m/min |
| 56. मीनार + ध्वज = कोण, tan(मीनार) = 1/2, tan(कुल) = 2/3? | ध्वज = मीनार/5 |
| 57. 60° उन्नयन, 20m चलने पर 45°, मीनार ऊँचाई? | 10(√3+1) m |
| 58. 30m मीनार, अवनमन 30° और 45°, दूरियों का अंतर? | 30(√3-1) m |
| 59. 1.5m व्यक्ति, 30m दूर, 30° कोण, भवन ऊँचाई? | 10√3+1.5 m |
| 60. 45° से 75° कोण, 10m पास आने पर, मीनार ऊँचाई? | 5(√3+1) m |
| 61. समकोण त्रिभुज में 60° कोण, कर्ण 20, ऊँचाई? | 10√3 m |
| 62. भवन 10m, पेड़ 10√3m दूर, कोण? | 30° |
| 63. 200m टावर, A और B से 30°, 60°, AB = ? | 200(√3-1/√3) m |
| 64. नाव 100m/min, 2min में कोण 60° से 30°? | ऊँचाई = 100√3 m |
| 65. 45° पर 50m दूर, 60° पर कितनी दूर? | 50/√3 m |
| 66. 30°, 45° कोणों पर दूरियों का अनुपात? | √3 : 1 |
| 67. ऊँचाई = छाया × √3, कोण? | 60° |
| 68. tan θ = 1, ऊँचाई 25m, दूरी? | 25 m |
| 69. cot θ = √3, दूरी 30m, ऊँचाई? | 10√3 m |
| 70. sec θ = 2, कर्ण 40m, दूरी? | 20 m |
13. प्रश्न बैंक (हल सहित)
प्र.1: उन्नयन कोण किसे कहते हैं?
उत्तर: जब प्रेक्षक किसी वस्तु को ऊपर की ओर देखता है, तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण उन्नयन कोण कहलाता है।
प्र.2: अवनमन कोण किसे कहते हैं?
उत्तर: जब प्रेक्षक किसी वस्तु को नीचे की ओर देखता है, तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच का कोण अवनमन कोण कहलाता है।
प्र.3: यदि मीनार की ऊँचाई और छाया बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा?
उत्तर: tan θ = h/h = 1 = tan 45° ⟹ θ = 45°
प्र.4: 10 मीटर ऊँची मीनार से 10√3 मीटर दूर खड़े व्यक्ति के लिए उन्नयन कोण क्या होगा?
उत्तर: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 = tan 30° ⟹ θ = 30°
प्र.5: एक 15 मीटर लंबी सीढ़ी दीवार से 30° का कोण बनाती है। दीवार पर यह कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?
उत्तर: cos 30° = h/15 ⟹ √3/2 = h/15 ⟹ h = 15√3/2 मीटर
प्र.6: भूमि पर एक बिंदु से एक 20 मीटर ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। उस बिंदु की भवन से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
tan 60° = 20/d
√3 = 20/d
d = 20/√3 = 20√3/3 = (20√3)/3 ≈ 11.55 मीटर
प्र.7: एक 30 मीटर ऊँचे टावर के शिखर से भूमि पर एक कार का अवनमन कोण 30° है। कार टावर से कितनी दूर है?
हल:
tan 30° = 30/d
1/√3 = 30/d
d = 30√3 = 30 × 1.732 = 51.96 मीटर
प्र.8: एक 1.5 मीटर लंबे लड़के की छाया 1.5√3 मीटर लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
tan θ = 1.5/(1.5√3) = 1/√3 = tan 30°
θ = 30°
प्र.9: एक पतंग की डोर 100 मीटर लंबी है और यह भूमि से 30° का कोण बनाती है। पतंग की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
sin 30° = h/100
1/2 = h/100
h = 50 मीटर
प्र.10: एक मीनार की छाया, जब सूर्य का उन्नयन कोण 45° है, तब उसकी ऊँचाई से 40 मीटर अधिक है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ऊँचाई = h, तो छाया = h + 40
tan 45° = h/(h + 40)
1 = h/(h + 40)
h + 40 = h (असंभव!)
पुनः: जब कोण 45° हो तो ऊँचाई = छाया
अतः प्रश्न में त्रुटि है या अलग व्याख्या चाहिए।
प्र.11: नदी के एक किनारे पर खड़े व्यक्ति को दूसरे किनारे पर स्थित एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। 40 मीटर पीछे हटने पर उन्नयन कोण 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना नदी की चौड़ाई = x मीटर, मीनार की ऊँचाई = h मीटर
पहली स्थिति: tan 60° = h/x ⟹ √3 = h/x ⟹ h = x√3 ... (i)
दूसरी स्थिति: tan 30° = h/(x + 40)
1/√3 = h/(x + 40) ⟹ h = (x + 40)/√3 ... (ii)
(i) और (ii) से: x√3 = (x + 40)/√3
3x = x + 40
2x = 40 ⟹ x = 20 मीटर (नदी की चौड़ाई)
h = 20√3 = 20 × 1.732 = 34.64 मीटर (मीनार की ऊँचाई)
प्र.12: एक हवाई जहाज भूमि से कुछ ऊँचाई पर उड़ रहा है। भूमि पर एक सीधी रेखा पर स्थित दो बिंदुओं से जो हवाई जहाज के ठीक नीचे के बिंदु के विपरीत दिशाओं में हैं, हवाई जहाज के उन्नयन कोण 60° और 45° हैं। यदि दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी 350 मीटर है, तो हवाई जहाज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ऊँचाई = h, बिंदु A से दूरी = x, बिंदु B से दूरी = 350 - x
(विपरीत दिशाओं में होने पर: x + y = 350, जहाँ y दूसरी दूरी)
A से: tan 60° = h/x ⟹ √3 = h/x ⟹ x = h/√3
B से: tan 45° = h/y ⟹ 1 = h/y ⟹ y = h
x + y = 350
h/√3 + h = 350
h(1/√3 + 1) = 350
h(1 + √3)/√3 = 350
h = 350√3/(1 + √3)
परिमेयीकरण: h = 350√3(√3 - 1)/((√3 + 1)(√3 - 1)) = 350√3(√3 - 1)/2
h = 175√3(√3 - 1) = 175(3 - √3) = 525 - 175√3
h ≈ 525 - 303 = 222 मीटर
प्र.13: एक 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना भवन और टावर के बीच दूरी = d मीटर
माना टावर की ऊँचाई = H मीटर
पाद का अवनमन: tan 45° = 7/d ⟹ 1 = 7/d ⟹ d = 7 मीटर
शिखर का उन्नयन: tan 60° = (H - 7)/d
√3 = (H - 7)/7
H - 7 = 7√3
H = 7 + 7√3 = 7(1 + √3)
H = 7(1 + 1.732) = 7 × 2.732 = 19.12 मीटर
प्र.14: भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
tan 30° = h/30
1/√3 = h/30
h = 30/√3 = 30√3/3 = 10√3
h = 10 × 1.732 = 17.32 मीटर
प्र.15: एक सीधी सड़क पर स्थित दो बिंदुओं A और B से, जो सड़क के किनारे खड़े एक भवन के पाद के एक ही ओर हैं, भवन के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। यदि A और B के बीच की दूरी 80 मीटर है, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना भवन की ऊँचाई = h, B की भवन से दूरी = x
तो A की दूरी = x + 80
B से: tan 60° = h/x ⟹ √3 = h/x ⟹ x = h/√3
A से: tan 30° = h/(x + 80) ⟹ 1/√3 = h/(x + 80)
x + 80 = h√3
h/√3 + 80 = h√3
h + 80√3 = 3h
80√3 = 2h
h = 40√3
h = 40 × 1.732 = 69.28 मीटर
⚡ Quick Revision
- ऊपर देखो → उन्नयन कोण, नीचे देखो → अवनमन कोण
- tan θ = h/d (सबसे महत्वपूर्ण सूत्र)
- उन्नयन कोण = अवनमन कोण (एकांतर कोण)
- tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3
- √3 ≈ 1.732
- चित्र अवश्य बनाएँ!
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