Class 10

वृत्त कक्षा 10 | Circles Tangent Chapter 10 RBSE NCERT 2026

📅 Saturday, 3 January 2026 📖 3-5 min read
वृत्त कक्षा 10 | Circles Chapter 10 RBSE NCERT 2026 | स्पर्श रेखा Tangent

वृत्त (Circles) - कक्षा 10 गणित

⭕ अध्याय 10
Circles (Tangent & Secant)
कक्षा10वीं (RBSE/NCERT/CBSE)
विषयगणित (Mathematics)
परीक्षा भार6 अंक
कठिनाईमध्यम
मुख्य विषयस्पर्श रेखा (Tangent)
प्रमेय2 महत्वपूर्ण
स्पर्श रेखाएँबाह्य बिंदु से 2
आवश्यक ज्ञानकक्षा 9 वृत्त
MCQ80+
प्रश्न बैंक50+ (हल सहित)
उदाहरण30+ हल सहित
मार्गदर्शकश्री सुरेंद्र सिंह चौहान
श्रृंखलाMarwari Mission 100

वृत्त (Circle) एक ऐसी आकृति है जिसमें एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समूह होता है। इस अध्याय में हम स्पर्श रेखा (Tangent), छेदक रेखा (Secant), और इनसे संबंधित प्रमेयों का अध्ययन करेंगे।

यह अध्याय RBSE/NCERT बोर्ड परीक्षा में 6 अंकों का है और इससे प्रायः 1-2 प्रमेय सिद्ध करने के प्रश्न तथा 2-3 आंकिक प्रश्न आते हैं। स्पर्श रेखा और त्रिज्या की लंबवत्ता इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण concept है।

📋 विषय सूची (Table of Contents)

1. वृत्त की मूलभूत अवधारणाएँ (Basic Concepts)

📌 वृत्त (Circle) की परिभाषा

एक समतल में स्थित उन सभी बिंदुओं का समुच्चय जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर हों, वृत्त कहलाता है। वह निश्चित बिंदु केंद्र (Centre) और वह निश्चित दूरी त्रिज्या (Radius) कहलाती है।

📐 वृत्त के भाग (Parts of a Circle)
O (केंद्र) r (त्रिज्या) d = 2r (व्यास) A B जीवा (Chord) चाप (Arc) 📚 शब्दावली: ● त्रिज्या (Radius) = r ● व्यास (Diameter) = 2r ● जीवा (Chord) ● चाप (Arc) ● परिधि = 2πr ● क्षेत्रफल = πr² ● व्यास सबसे बड़ी जीवा

💡 महत्वपूर्ण शब्दावली (Key Terms)

शब्द English परिभाषा
केंद्र Centre वृत्त का मध्य बिंदु
त्रिज्या Radius केंद्र से परिधि तक की दूरी
व्यास Diameter केंद्र से होकर जाने वाली जीवा (= 2r)
जीवा Chord वृत्त पर दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड
चाप Arc वृत्त की परिधि का कोई भाग
परिधि Circumference वृत्त की बाहरी सीमा (= 2πr)

2. स्पर्श रेखा (Tangent to a Circle)

📌 स्पर्श रेखा की परिभाषा

वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, स्पर्श रेखा (Tangent) कहलाती है। जिस बिंदु पर स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है, उसे स्पर्श बिंदु (Point of Contact/Point of Tangency) कहते हैं।

📐 स्पर्श रेखा (Tangent Line)
O स्पर्श रेखा (Tangent) P (स्पर्श बिंदु) r (त्रिज्या) 90° ✓ स्पर्श रेखा वृत्त को केवल 1 बिंदु पर छूती है ✓ स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है

📝 याद रखने योग्य बातें

  • स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है
  • स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या ⊥ स्पर्श रेखा होती है
  • वृत्त पर प्रत्येक बिंदु पर केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है
  • स्पर्श रेखा कभी भी वृत्त के अंदर नहीं जाती

3. छेदक रेखा (Secant to a Circle)

📌 छेदक रेखा की परिभाषा

वह रेखा जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, छेदक रेखा (Secant) कहलाती है।

📐 छेदक रेखा (Secant Line)
O छेदक रेखा (Secant) A B जीवा AB ✓ छेदक रेखा वृत्त को 2 बिंदुओं पर काटती है A और B कटान बिंदु हैं

4. स्पर्श रेखा vs छेदक रेखा (Tangent vs Secant)

विशेषता स्पर्श रेखा (Tangent) छेदक रेखा (Secant)
कटान बिंदु केवल 1 2
वृत्त के अंदर नहीं जाती जाती है
त्रिज्या से संबंध लंबवत् (90°) कोई निश्चित संबंध नहीं
जीवा नहीं बनाती जीवा बनाती है
केंद्र से दूरी = त्रिज्या (r) < त्रिज्या (r)
📐 स्पर्श रेखा और छेदक रेखा की तुलना
O स्पर्श रेखा (1 बिंदु पर स्पर्श) O छेदक रेखा (2 बिंदुओं पर काटती) VS

5. प्रमेय 10.1: स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंबवत् होती है

📜 प्रमेय 10.1 (Theorem 10.1)

कथन: किसी वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

Statement: The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.

OP ⊥ AB (जहाँ P स्पर्श बिंदु है)
📐 प्रमेय 10.1 का चित्र
O A B P r 90° प्रमेय 10.1 OP ⊥ AB ∠OPA = ∠OPB = 90°

📝 प्रमेय 10.1 का उपपत्ति (Proof)

दिया है: वृत्त का केंद्र O है और P पर स्पर्श रेखा AB है।

सिद्ध करना है: OP ⊥ AB

उपपत्ति:

माना OP, AB पर लंब नहीं है।

माना OQ ⊥ AB जहाँ Q, AB पर है और Q ≠ P

तब OQ < OP (लंब सबसे छोटी दूरी होती है)

परंतु OP = r (त्रिज्या)

∴ OQ < r

इसका अर्थ है Q वृत्त के अंदर है।

परंतु AB स्पर्श रेखा है, जो वृत्त को केवल P पर स्पर्श करती है।

अतः Q वृत्त के अंदर नहीं हो सकता। विरोधाभास!

∴ हमारी मान्यता गलत है।

∴ OP ⊥ AB (सिद्ध)

💡 प्रमेय 10.1 का विलोम (Converse)

कथन: यदि किसी रेखा के किसी बिंदु से होकर खींची गई त्रिज्या उस रेखा पर लंब हो, तो वह रेखा उस बिंदु पर वृत्त की स्पर्श रेखा होगी।

सूत्र: यदि OP ⊥ AB और P वृत्त पर है, तो AB स्पर्श रेखा है।

6. प्रमेय 10.2: बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ

📜 प्रमेय 10.2 (Theorem 10.2)

कथन: किसी वृत्त के बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

Statement: The lengths of tangents drawn from an external point to a circle are equal.

PA = PB (जहाँ P बाह्य बिंदु है)
📐 प्रमेय 10.2 का चित्र
O P (बाह्य बिंदु) A B प्रमेय 10.2 PA = PB ∠OAP = ∠OBP = 90° ∠APO = ∠BPO

📝 प्रमेय 10.2 का उपपत्ति (Proof)

दिया है: P एक बाह्य बिंदु है, PA और PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

सिद्ध करना है: PA = PB

रचना: OA, OB और OP को मिलाइए।

उपपत्ति:

△OAP और △OBP में:

OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
∠OAP = ∠OBP = 90° (प्रमेय 10.1 से)
OP = OP (उभयनिष्ठ)

∴ △OAP ≅ △OBP (RHS सर्वांगसमता)

∴ PA = PB (CPCT)

साथ ही, ∠APO = ∠BPO (CPCT)

7. स्पर्श रेखाओं के गुणधर्म (Properties of Tangents)

🔥 महत्वपूर्ण गुणधर्म

क्र. गुणधर्म सूत्र/कथन
1 स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या ∠OPA = 90°
2 बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर PA = PB
3 केंद्र से रेखा कोणों को समद्विभाजित करती है ∠APO = ∠BPO
4 केंद्र से रेखा जीवा को समद्विभाजित करती है OC ⊥ AB और AC = CB
5 स्पर्श रेखा की लंबाई l = √(d² - r²)

🔥 स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र

यदि P बाह्य बिंदु है, O केंद्र है, r त्रिज्या है और OP = d है:

PA = PB = √(OP² - OA²) = √(d² - r²)
📐 स्पर्श रेखा की लंबाई
O P A l (स्पर्श रेखा) r d पाइथागोरस से: l = √(d² - r²)

8. विभिन्न प्रकार की समस्याएँ

8.1 बिंदु की वृत्त से स्थिति

स्थिति शर्त स्पर्श रेखाओं की संख्या
बिंदु वृत्त के अंदर OP < r 0 (शून्य)
बिंदु वृत्त पर OP = r 1 (एक)
बिंदु वृत्त के बाहर OP > r 2 (दो)
📐 बिंदु की वृत्त से स्थिति और स्पर्श रेखाएँ
अंदर: 0 स्पर्श रेखा (OP < r) वृत्त पर: 1 स्पर्श रेखा (OP = r) बाहर: 2 स्पर्श रेखाएँ (OP > r)

8.2 दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ

स्थिति शर्त उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ
एक वृत्त दूसरे के अंदर (स्पर्श नहीं) d < |r₁ - r₂| 0
आंतरिक स्पर्श d = |r₁ - r₂| 1
प्रतिच्छेदी वृत्त |r₁ - r₂| < d < r₁ + r₂ 2
बाह्य स्पर्श d = r₁ + r₂ 3
पृथक वृत्त d > r₁ + r₂ 4

9. सूत्र सारणी (Formula Chart)

📋 सभी महत्वपूर्ण सूत्र

क्र. विवरण सूत्र
1 स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या ∠OPA = 90°
2 बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ PA = PB
3 स्पर्श रेखा की लंबाई l = √(d² - r²)
4 कोणों का समद्विभाजन ∠APO = ∠BPO
5 △OAP में पाइथागोरस OP² = OA² + PA²
6 परिधि C = 2πr
7 क्षेत्रफल A = πr²
8 व्यास d = 2r

10. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: स्पर्श रेखा की लंबाई

प्रश्न: 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 13 cm दूर स्थित बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

r = 5 cm, d = OP = 13 cm

स्पर्श रेखा की लंबाई l = √(d² - r²)

l = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm

उदाहरण 2: त्रिज्या ज्ञात करना

प्रश्न: एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm है। यदि बिंदु केंद्र से 25 cm दूर है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

l = 24 cm, d = 25 cm

l² = d² - r²

24² = 25² - r²

576 = 625 - r²

r² = 625 - 576 = 49

r = 7 cm

उदाहरण 3: केंद्र से दूरी

प्रश्न: 8 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर एक बाह्य बिंदु से 15 cm लंबी स्पर्श रेखा खींची गई है। बिंदु की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

r = 8 cm, l = 15 cm

d² = r² + l²

d² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289

d = 17 cm

उदाहरण 4: प्रमेय 10.2 पर आधारित

प्रश्न: चित्र में PA और PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि PA = 4 cm और ∠APB = 60° है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

PA = PB = 4 cm (प्रमेय 10.2)

∠APO = ∠BPO = 30° (OP कोण समद्विभाजक है)

△OAP में: tan 30° = OA/PA

1/√3 = OA/4

OA = 4/√3 = 4√3/3 = (4√3)/3 cm ≈ 2.31 cm

उदाहरण 5: वृत्त के अंदर वर्ग

प्रश्न: एक वर्ग ABCD के सभी शीर्षों से होकर एक वृत्त गुजरता है। यदि वर्ग की भुजा 10 cm है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

वर्ग का विकर्ण = वृत्त का व्यास

विकर्ण = भुजा × √2 = 10√2 cm

व्यास = 10√2 cm

त्रिज्या = 10√2/2 = 5√2 cm ≈ 7.07 cm

उदाहरण 6: त्रिभुज में अंतर्वृत्त

प्रश्न: एक समकोण त्रिभुज में कर्ण 10 cm और एक भुजा 6 cm है। त्रिभुज के अंतर्वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

तीसरी भुजा = √(10² - 6²) = √64 = 8 cm

अर्धपरिमाप s = (6 + 8 + 10)/2 = 12 cm

क्षेत्रफल Δ = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm²

अंतर्वृत्त त्रिज्या r = Δ/s = 24/12 = 2 cm

उदाहरण 7: सिद्ध करना

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाली जीवा, केंद्र और बाह्य बिंदु को मिलाने वाली रेखा द्वारा समद्विभाजित होती है।

हल:

माना P बाह्य बिंदु है, A और B स्पर्श बिंदु हैं।

OP, जीवा AB को M पर काटती है।

△OAP ≅ △OBP (RHS)

∴ ∠AOP = ∠BOP (CPCT)

△OAM और △OBM में:

OA = OB (त्रिज्या), ∠AOM = ∠BOM, OM = OM

∴ △OAM ≅ △OBM (SAS)

∴ AM = BM (सिद्ध)

उदाहरण 8: चतुर्भुज में स्पर्श रेखाएँ

प्रश्न: यदि एक चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाएँ एक वृत्त को स्पर्श करती हों, तो सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC।

हल:

माना वृत्त भुजाओं को P, Q, R, S पर स्पर्श करता है।

A से: AP = AS (बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ)

B से: BP = BQ

C से: CQ = CR

D से: DR = DS

AB + CD = (AP + BP) + (CR + DR)

= (AS + BQ) + (CQ + DS)

= (AS + DS) + (BQ + CQ)

= AD + BC (सिद्ध)

11. MCQ प्रश्न (80+)

खंड A: आधारभूत (1-30)

1. वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करने वाली रेखा कहलाती है:
(A) जीवा (B) व्यास (C) स्पर्श रेखा (D) छेदक रेखा
उत्तर: (C) स्पर्श रेखा
2. वृत्त को दो बिंदुओं पर काटने वाली रेखा कहलाती है:
(A) स्पर्श रेखा (B) छेदक रेखा (C) त्रिज्या (D) व्यास
उत्तर: (B) छेदक रेखा
3. स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण होता है:
(A) 45° (B) 60° (C) 90° (D) 180°
उत्तर: (C) 90°
4. वृत्त के बाह्य बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) अनंत
उत्तर: (C) 2
5. वृत्त पर स्थित बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) अनंत
उत्तर: (B) 1

खंड B: गणनात्मक (6-50)

प्रश्नउत्तर
6. r = 3 cm, d = 5 cm, स्पर्श रेखा = ?4 cm
7. r = 5 cm, d = 13 cm, स्पर्श रेखा = ?12 cm
8. r = 8 cm, d = 17 cm, स्पर्श रेखा = ?15 cm
9. r = 6 cm, l = 8 cm, d = ?10 cm
10. r = 12 cm, l = 16 cm, d = ?20 cm
11. d = 25 cm, l = 24 cm, r = ?7 cm
12. d = 26 cm, l = 24 cm, r = ?10 cm
13. r = 7 cm, d = 25 cm, l = ?24 cm
14. PA = 6 cm तो PB = ?6 cm
15. r = 4 cm, PA = 3 cm, OP = ?5 cm
16. व्यास = 10 cm, त्रिज्या = ?5 cm
17. त्रिज्या = 7 cm, व्यास = ?14 cm
18. परिधि = 44 cm, त्रिज्या = ?7 cm
19. क्षेत्रफल = 154 cm², त्रिज्या = ?7 cm
20. r = 10 cm, d = 26 cm, l = ?24 cm
21. ∠APB = 60°, PA = PB होने पर △APB?समबाहु
22. ∠OPA = ?90°
23. ∠APO = 30° तो ∠APB = ?60°
24. OP = 10 cm, r = 6 cm, PA = ?8 cm
25. PA² + OA² = ?OP²
26. बाह्य स्पर्श में उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ?3
27. आंतरिक स्पर्श में उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ?1
28. पृथक वृत्तों में उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ?4
29. प्रतिच्छेदी वृत्तों में उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ?2
30. वृत्त के अंदर बिंदु से स्पर्श रेखाएँ?0
31. r₁ = 5, r₂ = 3, d = 8, स्पर्श?बाह्य स्पर्श
32. r₁ = 5, r₂ = 3, d = 2, स्पर्श?आंतरिक स्पर्श
33. r = 5 cm, OP = 5 cm, P कहाँ?वृत्त पर
34. r = 5 cm, OP = 3 cm, P कहाँ?वृत्त के अंदर
35. r = 5 cm, OP = 8 cm, P कहाँ?वृत्त के बाहर
36. सबसे बड़ी जीवा?व्यास
37. समकोण △ में r = 4, कर्ण = 10, भुजाएँ?6, 8
38. वर्ग की भुजा = 14, परिवृत्त त्रिज्या?7√2
39. समबाहु △ भुजा = 6, अंतर्वृत्त त्रिज्या?√3
40. r = 7, l = 24, d = ?25
41. d = 13, r = 5, l² = ?144
42. l = 20, d = 25, r = ?15
43. PA = 8, ∠OPA = 90°, OA = 6, OP = ?10
44. ∠APO = ∠BPO होता है क्योंकि?CPCT
45. AB + CD = AD + BC किसमें?स्पर्श चतुर्भुज
46. r = 9, d = 15, l = ?12
47. r = 11, d = 61, l = ?60
48. l = 35, r = 12, d = ?37
49. d = 41, l = 40, r = ?9
50. 2r = 14, l = 24, d = ?25

खंड C: उच्च स्तर (51-80)

प्रश्नउत्तर
51. △OAP ≅ △OBP किस नियम से?RHS
52. OP, ∠APB का क्या करती है?समद्विभाजन
53. PA : PB = ?1 : 1
54. OA : OB = ?1 : 1
55. ∠OAP + ∠OBP = ?180°
56. ∠AOB + ∠APB = ?180°
57. △APB समबाहु होने पर ∠APB = ?60°
58. △APB समबाहु होने पर ∠AOB = ?120°
59. PA = OA होने पर ∠APO = ?45°
60. PA = OA होने पर ∠APB = ?90°
61. त्रिभुज का अंतर्वृत्त त्रिज्या r = ?Δ/s
62. त्रिभुज का परिवृत्त त्रिज्या R = ?abc/4Δ
63. समकोण △ में अंतर्वृत्त r = ?(a+b-c)/2
64. समबाहु △ में अंतर्वृत्त r (भुजा a)?a/(2√3)
65. समबाहु △ में परिवृत्त R (भुजा a)?a/√3
66. वर्ग में अंतर्वृत्त r (भुजा a)?a/2
67. वर्ग में परिवृत्त R (भुजा a)?a√2/2
68. PA = 5, ∠APB = 90°, OA = ?5
69. r = 5, ∠APB = 60°, PA = ?5√3
70. r = 7, ∠AOB = 120°, PA = ?7√3
71. l² + r² = ?d²
72. △OAP में कौन सा कोण समकोण?∠OAP
73. OAPB चतुर्भुज में ∠A + ∠B = ?180°
74. स्पर्श बिंदु वृत्त के किस भाग पर?परिधि पर
75. केंद्र से स्पर्श रेखा की दूरी = ?त्रिज्या
76. दो समकेंद्रीय वृत्त, बड़े की स्पर्श रेखा छोटे की?जीवा
77. r = 3, R = 5, बाह्य स्पर्श में केंद्रों की दूरी?8
78. r = 3, R = 5, आंतरिक स्पर्श में केंद्रों की दूरी?2
79. PA² = PO × PM का नाम?स्पर्शज्या प्रमेय
80. स्पर्श रेखा वृत्त को कितने भागों में बाँटती है?1 (बाँटती नहीं)

12. प्रश्न बैंक (50+ हल सहित)

📚 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

प्र.1: स्पर्श रेखा की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, स्पर्श रेखा कहलाती है।

प्र.2: स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच कितने डिग्री का कोण होता है?

उत्तर: 90° (समकोण)

प्र.3: वृत्त के बाह्य बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: 2 (दो)

प्र.4: बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयों में क्या संबंध होता है?

उत्तर: दोनों बराबर होती हैं।

प्र.5: वृत्त की सबसे बड़ी जीवा कौन सी होती है?

उत्तर: व्यास

प्र.6: यदि PA = 5 cm है, तो PB = ?

उत्तर: PB = 5 cm (PA = PB)

प्र.7: स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र लिखिए।

उत्तर: l = √(d² - r²)

📚 लघु उत्तरीय प्रश्न (2-3 अंक)

प्र.8: 6 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 10 cm दूर स्थित बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: l = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm

प्र.9: यदि स्पर्श रेखा की लंबाई 15 cm और केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी 17 cm है, तो त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल: r² = 17² - 15² = 289 - 225 = 64, r = 8 cm

प्र.10: 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर 24 cm लंबी स्पर्श रेखा खींची गई है। बाह्य बिंदु की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: d² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625, d = 25 cm

प्र.11: दो समकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

हल: जीवा की आधी लंबाई = √(5² - 3²) = √16 = 4 cm

जीवा की लंबाई = 2 × 4 = 8 cm

प्र.12: PA और PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠APB = 80° है, तो ∠AOB ज्ञात कीजिए।

हल: ∠AOB + ∠APB = 180° (OAPB चक्रीय)

∠AOB = 180° - 80° = 100°

प्र.13: 5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 13 cm दूर बिंदु P से PA और PB स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। AB की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: PA = √(13² - 5²) = √144 = 12 cm

△OAP में: sin∠APO = 5/13

AB = 2 × PA × sin∠APO = 2 × 12 × 5/13 = 120/13 cm

📚 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4-5 अंक)

प्र.14: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

उत्तर: [प्रमेय 10.1 का उपपत्ति ऊपर दिया गया है]

प्र.15: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

उत्तर: [प्रमेय 10.2 का उपपत्ति ऊपर दिया गया है]

प्र.16: एक चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के परिगत है। सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC।

हल:

माना वृत्त चारों भुजाओं को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करता है।

AP = AS, BP = BQ, CQ = CR, DR = DS (बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ)

AB + CD = (AP + BP) + (CR + DR)

= (AS + BQ) + (CQ + DS)

= (AS + DS) + (BQ + CQ)

= AD + BC

प्र.17: दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। उनकी त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। उनके केंद्रों की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल: बाह्य स्पर्श में: d = r₁ + r₂ = 5 + 3 = 8 cm

प्र.18: एक वृत्त एक त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 13 cm, 14 cm और 15 cm हैं, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

s = (13 + 14 + 15)/2 = 21 cm

Δ = √(21 × 8 × 7 × 6) = √7056 = 84 cm²

r = Δ/s = 84/21 = 4 cm

प्र.19: PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को A और B पर स्पर्श करती हैं। यदि PA = 12 cm और ∠APB = 60° है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

∠APO = 30° (∵ OP कोण समद्विभाजक)

△OAP में: tan 30° = OA/PA

1/√3 = OA/12

OA = 12/√3 = 4√3 = 4√3 cm ≈ 6.93 cm

प्र.20: सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।

हल:

OAPB चतुर्भुज में:

∠OAP = ∠OBP = 90°

∠AOB + ∠APB + 90° + 90° = 360°

∠AOB + ∠APB = 180°

अतः ∠APB और ∠AOB संपूरक हैं।

13. FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

Q1: स्पर्श रेखा और छेदक रेखा में क्या अंतर है?
उत्तर: स्पर्श रेखा वृत्त को केवल 1 बिंदु पर स्पर्श करती है, जबकि छेदक रेखा वृत्त को 2 बिंदुओं पर काटती है।
Q2: क्या वृत्त के अंदर से स्पर्श रेखा खींची जा सकती है?
उत्तर: नहीं, वृत्त के अंदर स्थित बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
Q3: PA = PB क्यों होता है?
उत्तर: क्योंकि △OAP ≅ △OBP (RHS सर्वांगसमता से), इसलिए PA = PB (CPCT)।
Q4: स्पर्श रेखा की लंबाई कैसे निकालते हैं?
उत्तर: सूत्र: l = √(d² - r²) जहाँ d = केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी, r = त्रिज्या
Q5: बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से कितने अंक के प्रश्न आते हैं?
उत्तर: RBSE/NCERT में इस अध्याय से 6 अंकों के प्रश्न आते हैं - प्रायः 1-2 प्रमेय और 2-3 आंकिक प्रश्न।

⚡ Quick Revision (त्वरित पुनरावृत्ति)

  • स्पर्श रेखा = वृत्त को 1 बिंदु पर स्पर्श
  • छेदक रेखा = वृत्त को 2 बिंदुओं पर काटे
  • प्रमेय 10.1: स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या (∠OPA = 90°)
  • प्रमेय 10.2: PA = PB (बाह्य बिंदु से)
  • स्पर्श रेखा की लंबाई: l = √(d² - r²)
  • बाह्य बिंदु से: 2 स्पर्श रेखाएँ
  • वृत्त पर बिंदु से: 1 स्पर्श रेखा
  • अंदर के बिंदु से: 0 स्पर्श रेखा

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🙏 धन्यवाद 🙏

मार्गदर्शक: श्री सुरेंद्र सिंह चौहान

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