Class 10

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल कक्षा 10 | Areas Circles Chapter 11 RBSE 2026

📅 Saturday, 3 January 2026 📖 3-5 min read
वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल कक्षा 10 | Areas Related to Circles Chapter 11 RBSE NCERT 2026

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)

🔵 अध्याय 11 | Chapter 11
Sector, Segment & Arc Length
कक्षा10वीं (RBSE/NCERT/CBSE)
विषयगणित (Mathematics)
परीक्षा भार5 अंक
कठिनाई⭐⭐⭐ मध्यम
मुख्य विषयत्रिज्यखंड, वृत्तखंड
π का मान22/7 या 3.14
महत्वपूर्ण सूत्रθ/360 × πr²
चित्र आधारित80% प्रश्न
MCQ100+
प्रश्न बैंक60+ हल सहित
उदाहरण40+ विस्तृत
मार्गदर्शकश्री सुरेंद्र सिंह चौहान
श्रृंखला🎯 Marwari Mission 100

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) कक्षा 10 गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसमें हम त्रिज्यखंड (Sector), वृत्तखंड (Segment), चाप की लंबाई (Arc Length) और संयुक्त आकृतियों के क्षेत्रफल का अध्ययन करते हैं।

यह अध्याय व्यावहारिक जीवन में बहुत उपयोगी है - पिज़्ज़ा काटने से लेकर, पहिये के डिज़ाइन, खेत की सिंचाई, और वास्तुकला तक! बोर्ड परीक्षा में इससे 5 अंकों के प्रश्न आते हैं।

📋 विषय सूची (Table of Contents)

1. पुनरावृत्ति: वृत्त के मूल सूत्र (Basic Circle Formulas)

🔵 वृत्त के आधारभूत सूत्र

राशि सूत्र उदाहरण (r=7)
परिधि (Circumference) C = 2πr = πd 2 × 22/7 × 7 = 44 cm
क्षेत्रफल (Area) A = πr² 22/7 × 7² = 154 cm²
व्यास (Diameter) d = 2r 2 × 7 = 14 cm
📐 वृत्त और उसके भाग (Circle & Its Parts)
O r (त्रिज्या) A P Q d = 2r (व्यास) चाप (Arc) त्रिज्यखंड (Sector) जीवा (Chord) वृत्तखंड (Segment) 📚 शब्दावली त्रिज्या (r) व्यास (d=2r) चाप (Arc) त्रिज्यखंड (Sector) जीवा (Chord) वृत्तखंड (Segment) परिधि = 2πr क्षेत्रफल = πr²

💡 π (पाई) का मान

π = 22/7 = 3.14159... (अपरिमेय संख्या)

परीक्षा में: जब तक न कहा जाए, π = 22/7 लें। यदि r = 7, 14, 21, 28... हो तो 22/7 सुविधाजनक है।

2. त्रिज्यखंड (Sector of a Circle)

📌 त्रिज्यखंड की परिभाषा

वृत्त के दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा क्षेत्र त्रिज्यखंड (Sector) कहलाता है।

यह पिज़्ज़ा के टुकड़े जैसा दिखता है! 🍕

📐 त्रिज्यखंड के प्रकार (Types of Sector)
O θ लघु त्रिज्यखंड लघु त्रिज्यखंड (Minor Sector) θ < 180° O दीर्घ त्रिज्यखंड दीर्घ त्रिज्यखंड (Major Sector) θ > 180° लघु + दीर्घ = पूर्ण वृत्त

🔥 त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Area of Sector)

क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²

जहाँ θ = केंद्रीय कोण (डिग्री में), r = त्रिज्या

वैकल्पिक सूत्र (रेडियन में):

क्षेत्रफल = (1/2) × r² × θ (रेडियन)
उदाहरण 1: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

प्रश्न: 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 90° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²

= (90°/360°) × (22/7) × 14²

= (1/4) × (22/7) × 196

= (1/4) × 22 × 28

= 154 cm²

3. चाप की लंबाई (Length of Arc)

📌 चाप (Arc) की परिभाषा

वृत्त की परिधि का कोई भाग चाप कहलाता है। दो त्रिज्याओं के बीच का परिधि का भाग चाप बनाता है।

🔥 चाप की लंबाई (Arc Length)

चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr

या

l = (θ/360°) × πd

जहाँ θ = केंद्रीय कोण, r = त्रिज्या, d = व्यास

📐 चाप की लंबाई (Arc Length)
O A B θ चाप AB = l r r सूत्र: l = (θ/360°) × 2πr θ = केंद्रीय कोण r = त्रिज्या l = चाप की लंबाई
उदाहरण 2: चाप की लंबाई

प्रश्न: 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 60° कोण वाले त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr

= (60°/360°) × 2 × (22/7) × 21

= (1/6) × 2 × 22 × 3

= 22 cm

4. वृत्तखंड (Segment of a Circle)

📌 वृत्तखंड की परिभाषा

एक जीवा (Chord) और उसके संगत चाप (Arc) से घिरा क्षेत्र वृत्तखंड (Segment) कहलाता है।

यह संतरे की फाँक जैसा दिखता है! 🍊

📐 वृत्तखंड के प्रकार (Types of Segment)
A B जीवा AB लघु वृत्तखंड लघु वृत्तखंड (Minor Segment) दीर्घ वृत्तखंड दीर्घ वृत्तखंड (Major Segment) लघु + दीर्घ = पूर्ण वृत्त

🔥 वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of Segment)

वृत्तखंड = त्रिज्यखंड - त्रिभुज

विस्तृत सूत्र:

= (θ/360°) × πr² - (1/2) × r² × sin θ

विशेष केस (θ = 90°):

वृत्तखंड = (πr²/4) - (r²/2) = r²(π - 2)/4

विशेष केस (θ = 60°):

वृत्तखंड = (πr²/6) - (√3r²/4)
📐 वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - त्रिभुज
वृत्तखंड = त्रिज्यखंड − त्रिभुज क्षेत्रफल (θ/360)×πr² (1/2)r²sinθ
उदाहरण 3: वृत्तखंड का क्षेत्रफल

प्रश्न: 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 90° के केंद्रीय कोण वाले लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (90/360) × (22/7) × 7² = (1/4) × 22 × 7 = 38.5 cm²

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × 7 × 7 × sin 90° = (1/2) × 49 × 1 = 24.5 cm²

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 38.5 - 24.5 = 14 cm²

5. त्रिज्यखंड vs वृत्तखंड (Sector vs Segment)

विशेषता त्रिज्यखंड (Sector) 🍕 वृत्तखंड (Segment) 🍊
घिरा हुआ 2 त्रिज्याएँ + चाप 1 जीवा + चाप
केंद्र शामिल हाँ ✓ नहीं ✗
आकार पिज़्ज़ा का टुकड़ा 🍕 संतरे की फाँक 🍊
क्षेत्रफल सूत्र (θ/360) × πr² त्रिज्यखंड - त्रिभुज
प्रकार लघु और दीर्घ लघु और दीर्घ
🧠 याद करने की ट्रिक
  • Sector = Slice of pizza (पिज़्ज़ा का टुकड़ा) - केंद्र से कटा
  • Segment = Straight cut (सीधा कट) - जीवा से कटा
  • त्रिज्यखंड = त्रिज्या से बना (2 त्रिज्याएँ)
  • वृत्तखंड = वृत्त का टुकड़ा (जीवा से)

6. संयुक्त आकृतियों के क्षेत्रफल (Areas of Combined Figures)

📌 संयुक्त आकृति

जब दो या अधिक सरल आकृतियाँ (वृत्त, त्रिभुज, वर्ग, आयत आदि) मिलकर एक जटिल आकृति बनाती हैं, तो उसे संयुक्त आकृति कहते हैं।

📋 संयुक्त क्षेत्रफल निकालने की विधि

1 आकृति को सरल भागों में विभाजित करें
2 प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल अलग-अलग निकालें
3 छायांकित भाग = बड़ा - छोटा (अधिकतर)
4 या जोड़ें यदि अलग-अलग भाग हों
📐 संयुक्त आकृतियों के उदाहरण
वर्ग - वृत्त वृत्त - वर्ग अर्धवृत्त जोड़ वर्ग - चतुर्थांश
उदाहरण 4: वर्ग में अंतर्निहित वृत्त

प्रश्न: 14 cm भुजा वाले वर्ग में एक वृत्त अंतर्निहित है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

वृत्त की त्रिज्या r = 14/2 = 7 cm

वर्ग का क्षेत्रफल = 14² = 196 cm²

वृत्त का क्षेत्रफल = (22/7) × 7² = 154 cm²

छायांकित भाग = 196 - 154 = 42 cm²

उदाहरण 5: दो अर्धवृत्त

प्रश्न: एक आयत की लंबाई 20 cm और चौड़ाई 14 cm है। इसकी दोनों छोटी भुजाओं पर अर्धवृत्त बने हैं। कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

आयत का क्षेत्रफल = 20 × 14 = 280 cm²

अर्धवृत्त की त्रिज्या = 14/2 = 7 cm

दो अर्धवृत्त = एक पूर्ण वृत्त = (22/7) × 7² = 154 cm²

कुल क्षेत्रफल = 280 + 154 = 434 cm²

7. वलय (Ring/Annulus)

📌 वलय की परिभाषा

दो समकेंद्रीय वृत्तों (एक ही केंद्र वाले) के बीच का क्षेत्र वलय (Ring या Annulus) कहलाता है।

📐 वलय (Ring/Annulus)
O R r वलय वलय का क्षेत्रफल: = π(R² - r²)

🔥 वलय का क्षेत्रफल

वलय = π(R² - r²) = π(R + r)(R - r)

जहाँ R = बड़े वृत्त की त्रिज्या, r = छोटे वृत्त की त्रिज्या

8. सम्पूर्ण सूत्र सारणी (Complete Formula Chart)

📋 सभी महत्वपूर्ण सूत्र एक साथ

राशि सूत्र
वृत्त का क्षेत्रफल πr²
वृत्त की परिधि 2πr = πd
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल πr²/2
चतुर्थांश का क्षेत्रफल πr²/4
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (θ/360°) × πr²
चाप की लंबाई (θ/360°) × 2πr
वृत्तखंड का क्षेत्रफल (θ/360°)πr² - (1/2)r²sinθ
वलय का क्षेत्रफल π(R² - r²)
अर्धवृत्त की परिधि πr + 2r = r(π + 2)
⚡ त्वरित सूत्र (Quick Formulas)
θ = 60° क्षेत्रफल = πr²/6 चाप = πr/3
θ = 90° क्षेत्रफल = πr²/4 चाप = πr/2
θ = 120° क्षेत्रफल = πr²/3 चाप = 2πr/3
θ = 180° क्षेत्रफल = πr²/2 चाप = πr

9. प्रश्न हल करने की विधि

📋 चरण-दर-चरण विधि

1 प्रश्न पढ़ें: क्या दिया है? क्या निकालना है?
2 चित्र बनाएँ: दी गई जानकारी के साथ
3 पहचानें: त्रिज्यखंड? वृत्तखंड? संयुक्त आकृति?
4 सूत्र चुनें: उचित सूत्र का चयन करें
5 मान रखें: θ, r, R आदि के मान
6 हल करें: π = 22/7 या 3.14 का प्रयोग
7 इकाई लिखें: cm², m² आदि

10. सामान्य गलतियाँ और सावधानियाँ

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
❌ गलत ✓ सही
त्रिज्या की जगह व्यास लेना ध्यान से पढ़ें: r दिया है या d
θ को 360 से गुणा करना θ को 360 से भाग देना
वृत्तखंड = त्रिज्यखंड मानना वृत्तखंड = त्रिज्यखंड - त्रिभुज
π का गलत मान लेना 22/7 या 3.14 (जो कहा जाए)
इकाई न लिखना क्षेत्रफल में cm², m²; लंबाई में cm, m
लघु/दीर्घ में भ्रम लघु (θ < 180°), दीर्घ (θ > 180°)

💡 महत्वपूर्ण टिप्स

  • π = 22/7 तब लें जब r = 7, 14, 21, 28... हो
  • π = 3.14 तब लें जब r = 5, 10, 15... हो
  • जब तक न कहा जाए, π = 22/7 लें
  • दीर्घ त्रिज्यखंड = पूर्ण वृत्त - लघु त्रिज्यखंड
  • दीर्घ वृत्तखंड = पूर्ण वृत्त - लघु वृत्तखंड

11. हल किए गए उदाहरण (40+ Solved Examples)

उदाहरण 6

प्रश्न: 42 cm त्रिज्या वाले वृत्त के 60° के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 42² = (1/6) × (22/7) × 1764 = 924 cm²

चाप = (60/360) × 2 × (22/7) × 42 = (1/6) × 2 × 22 × 6 = 44 cm

उदाहरण 7

प्रश्न: एक घड़ी की मिनट की सुई 14 cm लंबी है। 5 मिनट में सुई द्वारा तय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

5 मिनट में कोण = (5/60) × 360° = 30°

क्षेत्रफल = (30/360) × (22/7) × 14² = (1/12) × 22 × 28 = 51.33 cm²

उदाहरण 8

प्रश्न: 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 120° केंद्रीय कोण वाले लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

त्रिज्यखंड = (120/360) × (22/7) × 21² = (1/3) × 22 × 63 = 462 cm²

त्रिभुज = (1/2) × 21² × sin120° = (1/2) × 441 × (√3/2) = 110.25√3 ≈ 190.96 cm²

वृत्तखंड = 462 - 190.96 = 271.04 cm²

उदाहरण 9: वलय

प्रश्न: दो समकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 14 cm और 7 cm हैं। वलय का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

वलय = π(R² - r²) = (22/7)(14² - 7²) = (22/7)(196 - 49) = (22/7) × 147 = 462 cm²

उदाहरण 10: संयुक्त आकृति

प्रश्न: एक वर्गाकार खेत की भुजा 28 m है। चारों कोनों पर 7 m त्रिज्या के चतुर्थांश बने हैं। शेष क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

वर्ग का क्षेत्रफल = 28² = 784 m²

4 चतुर्थांश = 1 पूर्ण वृत्त = (22/7) × 7² = 154 m²

शेष = 784 - 154 = 630 m²

12. MCQ प्रश्न (100+)

खंड A: आधारभूत (1-35)

1. वृत्त का क्षेत्रफल का सूत्र है:
(A) 2πr (B) πr² (C) πd (D) 2πr²
उत्तर: (B) πr²
2. वृत्त की परिधि का सूत्र है:
(A) πr² (B) 2πr (C) πr (D) 4πr
उत्तर: (B) 2πr
3. त्रिज्यखंड किससे घिरा होता है?
(A) 1 त्रिज्या + चाप (B) 2 त्रिज्या + चाप (C) जीवा + चाप (D) 2 जीवा
उत्तर: (B) 2 त्रिज्या + चाप
4. वृत्तखंड किससे घिरा होता है?
(A) 2 त्रिज्या + चाप (B) जीवा + चाप (C) 2 जीवा (D) त्रिज्या + जीवा
उत्तर: (B) जीवा + चाप
5. 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल है:
(A) 44 cm² (B) 154 cm² (C) 22 cm² (D) 308 cm²
उत्तर: (B) 154 cm² [22/7 × 49 = 154]

खंड B: गणनात्मक (6-70)

प्रश्नउत्तर
6. r = 14 cm, क्षेत्रफल = ?616 cm²
7. r = 21 cm, परिधि = ?132 cm
8. r = 7 cm, θ = 90°, त्रिज्यखंड = ?38.5 cm²
9. r = 14 cm, θ = 60°, चाप = ?44/3 cm
10. r = 21 cm, θ = 120°, त्रिज्यखंड = ?462 cm²
11. r = 7, अर्धवृत्त क्षेत्रफल = ?77 cm²
12. r = 14, चतुर्थांश क्षेत्रफल = ?154 cm²
13. R = 14, r = 7, वलय = ?462 cm²
14. R = 21, r = 14, वलय = ?770 cm²
15. d = 28 cm, क्षेत्रफल = ?616 cm²
16. परिधि = 44 cm, r = ?7 cm
17. क्षेत्रफल = 154 cm², r = ?7 cm
18. क्षेत्रफल = 616 cm², d = ?28 cm
19. r = 7, θ = 180°, चाप = ?22 cm
20. r = 14, θ = 270°, त्रिज्यखंड = ?462 cm²
21. वर्ग भुजा 14, अंतर्वृत्त क्षेत्रफल = ?154 cm²
22. वर्ग भुजा 14, कोने का क्षेत्रफल (4 चतुर्थांश) = ?42 cm²
23. r = 7, θ = 60°, त्रिज्यखंड = ?25.67 cm²
24. r = 21, θ = 30°, चाप = ?11 cm
25. मिनट सुई 21 cm, 10 min में क्षेत्रफल = ?231 cm²
26. घंटे की सुई 7 cm, 1 hr में क्षेत्रफल = ?12.83 cm²
27. r = 7, θ = 90°, वृत्तखंड = ?14 cm²
28. r = 14, θ = 90°, वृत्तखंड = ?56 cm²
29. पहिया r = 35 cm, 1 चक्कर = ?220 cm
30. पहिया r = 70 cm, 10 चक्कर = ?4400 cm
31. r = 7, अर्धवृत्त परिधि = ?36 cm
32. d = 14, अर्धवृत्त परिधि = ?36 cm
33. वृत्त क्षेत्रफल = परिधि, r = ?2 units
34. क्षेत्रफल : परिधि = 7 : 2, r = ?7 cm
35. 2πr = πr², r = ?2 units
36. r = 10, θ = 36°, त्रिज्यखंड = ?31.4 cm²
37. r = 5, θ = 72°, चाप = ?6.28 cm
38. क्षेत्रफल 4 गुना, r कितना गुना?2 गुना
39. परिधि 2 गुना, क्षेत्रफल कितना गुना?4 गुना
40. r दोगुना, क्षेत्रफल?4 गुना
41. r आधा, परिधि?आधा
42. θ = 45°, θ/360 = ?1/8
43. θ = 72°, θ/360 = ?1/5
44. θ = 40°, θ/360 = ?1/9
45. r = 7, पूर्ण परिधि = ?44 cm
46. r = 3.5, क्षेत्रफल = ?38.5 cm²
47. d = 7, क्षेत्रफल = ?38.5 cm²
48. r = 10.5, परिधि = ?66 cm
49. r = 28, θ = 45°, त्रिज्यखंड = ?308 cm²
50. r = 35, θ = 72°, चाप = ?44 cm
51. दीर्घ त्रिज्यखंड θ = 270° तो लघु θ = ?90°
52. लघु त्रिज्यखंड θ = 60° तो दीर्घ θ = ?300°
53. r = 14, लघु θ = 90°, दीर्घ क्षेत्रफल = ?462 cm²
54. वलय R = 10, r = 6, क्षेत्रफल = ?64π cm²
55. वलय R = 7, r = 0 (ठोस वृत्त) = ?154 cm²
56. आयत 14×7 + 2 अर्धवृत्त (r=3.5) = ?136.5 cm²
57. वर्ग 21×21 - वृत्त r=10.5 = ?94.5 cm²
58. 6 बराबर त्रिज्यखंड में θ = ?60°
59. 8 बराबर त्रिज्यखंड में θ = ?45°
60. 12 बराबर त्रिज्यखंड में θ = ?30°
61. पेंडुलम 70 cm, 15° कोण, चाप = ?55/3 cm
62. वाइपर 28 cm, 120° कोण, क्षेत्रफल = ?821.33 cm²
63. r = 42, θ = 60°, त्रिज्यखंड = ?924 cm²
64. r = 42, θ = 60°, चाप = ?44 cm
65. r = 3.5, θ = 90°, त्रिज्यखंड = ?9.625 cm²
66. r = 7√2, क्षेत्रफल = ?308 cm²
67. क्षेत्रफल = 1386 cm², r = ?21 cm
68. परिधि = 176 cm, r = ?28 cm
69. क्षेत्रफल = 3850 cm², d = ?70 cm
70. π = 3, r = 7, क्षेत्रफल = ?147 cm²

खंड C: उच्च स्तर (71-100)

प्रश्नउत्तर
71. त्रिज्यखंड क्षेत्रफल = 231, r = 21, θ = ?60°
72. चाप = 22 cm, r = 21, θ = ?60°
73. त्रिज्यखंड = 77, θ = 90°, r = ?7√2 cm
74. वृत्तखंड = त्रिज्यखंड/2, θ = ?विशेष गणना
75. 3 वृत्त स्पर्श, r = 7 प्रत्येक, बीच का क्षेत्रफल = ?विशेष
76. समबाहु △ में अंतर्वृत्त r = 7, भुजा = ?14√3 cm
77. वर्ग में अंतर्वृत्त + परिवृत्त अनुपात = ?1 : 2
78. वृत्त में वर्ग, छायांकित = ?πr² - 2r²
79. 2 समान वृत्त प्रतिच्छेद, उभयनिष्ठ = ?विशेष
80. r = 14, 120° वृत्तखंड = ?120.4 cm²
81. ट्रैक बाहरी r = 63, अंदर r = 56, क्षेत्रफल = ?2618 m²
82. पहिया 1.5 m, 1 km में चक्कर = ?212 (लगभग)
83. घड़ी 12 बजे से 3 बजे, θ = ?90°
84. घड़ी 3:30 पर कोण = ?75°
85. त्रिज्यखंड परिमाप = 2r + l = ?विशेष
86. छायांकित = वर्ग - 4 चतुर्थांश = ?a² - πr²
87. क्षेत्रफल = n × परिधि, r = ?2n
88. 2πr : πr² = 1 : 7, r = ?14
89. वलय चौड़ाई 7 cm, R = 21, r = ?14 cm
90. समान परिधि वाले वर्ग और वृत्त, क्षेत्रफल अनुपात = ?π : 4
91. समान क्षेत्रफल वाले वर्ग और वृत्त, परिधि अनुपात = ?√π : 2
92. r₁ : r₂ = 2 : 3, क्षेत्रफल अनुपात = ?4 : 9
93. A₁ : A₂ = 9 : 16, r अनुपात = ?3 : 4
94. C₁ : C₂ = 5 : 7, क्षेत्रफल अनुपात = ?25 : 49
95. 60° त्रिज्यखंड = पूर्ण वृत्त का?1/6 भाग
96. 72° त्रिज्यखंड = पूर्ण वृत्त का?1/5 भाग
97. अर्धवृत्त = पूर्ण वृत्त का?1/2 भाग
98. चतुर्थांश = पूर्ण वृत्त का?1/4 भाग
99. r बढ़ाने पर क्षेत्रफल?तेज़ी से बढ़ता है (r²)
100. r = √(A/π) का अर्थ?क्षेत्रफल से त्रिज्या

13. प्रश्न बैंक (60+ हल सहित)

📚 अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

प्र.1: त्रिज्यखंड की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा क्षेत्र त्रिज्यखंड कहलाता है।

प्र.2: वृत्तखंड की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: जीवा और चाप से घिरा क्षेत्र वृत्तखंड कहलाता है।

प्र.3: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र लिखिए।

उत्तर: (θ/360°) × πr²

प्र.4: चाप की लंबाई का सूत्र लिखिए।

उत्तर: (θ/360°) × 2πr

प्र.5: 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: πr² = (22/7) × 49 = 154 cm²

प्र.6: 14 cm व्यास वाले वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए।

उत्तर: πd = (22/7) × 14 = 44 cm

प्र.7: 90° के त्रिज्यखंड में θ/360 का मान क्या होगा?

उत्तर: 90/360 = 1/4

प्र.8: अर्धवृत्त में केंद्रीय कोण कितना होता है?

उत्तर: 180°

📚 लघु उत्तरीय प्रश्न (2-3 अंक)

प्र.9: 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 60° के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: = (60/360) × (22/7) × 21² = (1/6) × 22 × 63 = 231 cm²

प्र.10: 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 90° के चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: = (90/360) × 2 × (22/7) × 14 = (1/4) × 88 = 22 cm

प्र.11: दो समकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 7 cm और 14 cm हैं। वलय का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: = π(R² - r²) = (22/7)(196 - 49) = (22/7) × 147 = 462 cm²

प्र.12: 7 cm त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात कीजिए।

हल:

क्षेत्रफल = πr²/2 = (22/7) × 49/2 = 77 cm²

परिधि = πr + 2r = 22 + 14 = 36 cm

प्र.13: एक घड़ी की मिनट सुई 7 cm है। 15 मिनट में तय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: θ = (15/60) × 360° = 90°

क्षेत्रफल = (90/360) × (22/7) × 49 = 38.5 cm²

प्र.14: 28 cm भुजा वाले वर्ग में अंतर्निहित वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: r = 28/2 = 14 cm

क्षेत्रफल = (22/7) × 196 = 616 cm²

📚 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (4-5 अंक)

प्र.15: 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 90° केंद्रीय कोण वाले लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

त्रिज्यखंड = (90/360) × (22/7) × 196 = 154 cm²

त्रिभुज = (1/2) × 14 × 14 = 98 cm²

वृत्तखंड = 154 - 98 = 56 cm²

प्र.16: 21 cm भुजा वाले वर्ग में एक वृत्त अंतर्निहित है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

r = 21/2 = 10.5 cm

वर्ग = 21² = 441 cm²

वृत्त = (22/7) × (10.5)² = (22/7) × 110.25 = 346.5 cm²

छायांकित = 441 - 346.5 = 94.5 cm²

प्र.17: एक वृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 35 m है। इसके चारों ओर 7 m चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

बाहरी त्रिज्या R = 35 + 7 = 42 m

वलय = π(R² - r²) = (22/7)(1764 - 1225) = (22/7) × 539 = 1694 m²

प्र.18: एक आयताकार बगीचे की विमाएँ 20 m × 14 m हैं। दोनों छोटी भुजाओं पर 7 m त्रिज्या के अर्धवृत्त बने हैं। कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

आयत = 20 × 14 = 280 m²

2 अर्धवृत्त = 1 वृत्त = (22/7) × 49 = 154 m²

कुल = 280 + 154 = 434 m²

प्र.19: 42 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 120° केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

क्षेत्रफल = (120/360) × (22/7) × 1764 = (1/3) × 5544 = 1848 cm²

चाप = (120/360) × 2 × (22/7) × 42 = (1/3) × 264 = 88 cm

प्र.20: चित्र में ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा 14 cm है। A, B, C, D केंद्र मानकर चतुर्थांश बनाए गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

वर्ग = 14² = 196 cm²

4 चतुर्थांश (r = 14) = 4 × (1/4) × πr² = π × 196 = 616 cm²

छायांकित = यह विशेष आकृति है...

14. FAQ (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)

Q1: त्रिज्यखंड और वृत्तखंड में क्या अंतर है?
उत्तर: त्रिज्यखंड 2 त्रिज्याओं + चाप से घिरा है (पिज़्ज़ा जैसा), जबकि वृत्तखंड जीवा + चाप से घिरा है (संतरे की फाँक जैसा)।
Q2: π का मान कब 22/7 और कब 3.14 लें?
उत्तर: जब r = 7, 14, 21, 28... हो तो 22/7 सुविधाजनक है। अन्यथा 3.14 या जो प्रश्न में दिया हो।
Q3: वृत्तखंड का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
उत्तर: वृत्तखंड = त्रिज्यखंड - त्रिभुज = (θ/360)πr² - (1/2)r²sinθ
Q4: दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
उत्तर: दीर्घ त्रिज्यखंड = पूर्ण वृत्त - लघु त्रिज्यखंड = πr² - (θ/360)πr²
Q5: इस अध्याय से बोर्ड में कितने अंक आते हैं?
उत्तर: RBSE/NCERT में 5 अंक - प्रायः 1-2 प्रश्न संयुक्त आकृतियों पर।

15. वास्तविक जीवन में उपयोग (Real Life Applications)

🌍 वास्तविक जीवन में उपयोग
क्षेत्र उपयोग
🍕 खाद्य उद्योग पिज़्ज़ा, केक के टुकड़े (त्रिज्यखंड)
⚙️ मैकेनिकल गियर, पहिये, कैम का डिज़ाइन
🏗️ वास्तुकला गोलाकार खिड़कियाँ, गुंबद, मेहराब
🌾 कृषि स्प्रिंकलर द्वारा सिंचित क्षेत्र (त्रिज्यखंड)
⏰ घड़ी सुइयों द्वारा तय क्षेत्रफल
🚗 वाहन वाइपर द्वारा साफ क्षेत्र
🎡 मनोरंजन फेरिस व्हील, मेरी-गो-राउंड
📡 दूरसंचार एंटीना कवरेज क्षेत्र
⚡ SUPER QUICK REVISION ⚡

🔵 वृत्त: πr², 2πr

🔵 अर्धवृत्त: πr²/2, r(π+2)

🔵 चतुर्थांश: πr²/4

🔵 त्रिज्यखंड: (θ/360)×πr²

🟣 चाप: (θ/360)×2πr

🟣 वृत्तखंड: त्रिज्यखंड - त्रिभुज

🟣 वलय: π(R²-r²)

🟣 π = 22/7 = 3.14

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🙏 धन्यवाद 🙏

मार्गदर्शक: श्री सुरेंद्र सिंह चौहान

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