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CBSE Class 12 Maths All Formulas & Definitions PDF 2026 | कक्षा 12 गणित — सभी सूत्र और महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

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कक्षा 12 गणित — परिभाषाएँ, सूत्र एवं टिप्स | NCERTClasses.com
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कक्षा 12 गणित — परिभाषाएँ, सूत्र एवं परीक्षा टिप्स

CBSE 2026 | 13 अध्याय | 80 अंक | स्रोत: NCERTClasses.com

यह लेख CBSE कक्षा 12 गणित के सभी 13 अध्यायों की मुख्य परिभाषाएँ, महत्त्वपूर्ण सूत्र तथा परीक्षा टिप्स प्रस्तुत करता है। Calculus (अध्याय 5–9) से लगभग 44 अंक आते हैं — यही सबसे बड़ा focus area है।

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1
सम्बन्ध एवं फलन (Relations and Functions)
~4 अंक
परिभाषाएँ
रिक्त सम्बन्ध (Empty Relation)
वह सम्बन्ध जिसमें कोई भी अवयव सम्बन्धित न हो। R = φ
सार्वत्रिक सम्बन्ध (Universal Relation)
वह सम्बन्ध जिसमें A का प्रत्येक अवयव A के प्रत्येक अवयव से सम्बन्धित हो। R = A × A
तुल्यता सम्बन्ध (Equivalence Relation)
वह सम्बन्ध जो एक साथ स्वतुल्य (Reflexive), सममित (Symmetric) और संक्रामक (Transitive) हो।
एकैकी फलन (One-one / Injective)
f(a) = f(b) ⟹ a = b अर्थात् भिन्न inputs के भिन्न outputs।
आच्छादक फलन (Onto / Surjective)
सहक्षेत्र (Codomain) का प्रत्येक अवयव किसी न किसी domain अवयव का प्रतिबिम्ब हो।
द्विअर्थी फलन (Bijective)
एक साथ एकैकी और आच्छादक दोनों हो।
महत्त्वपूर्ण सूत्र
विषयसूत्र / तथ्य
Composition(g∘f)(x) = g(f(x))
Invertible functionf⁻¹ exists ⟺ f is bijective
Binary operation: Associative(a*b)*c = a*(b*c)
Binary operation: Commutativea*b = b*a
Identity elementa*e = e*a = a
💡 परीक्षा टिप्स
  • Equivalence relation सिद्ध करते समय तीनों गुण (Reflexive, Symmetric, Transitive) अलग-अलग verify करें।
  • f⁻¹ निकालने से पहले function का bijective होना सिद्ध करें।
  • Composition में क्रम महत्त्वपूर्ण है: g∘f ≠ f∘g प्रायः।
2
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions)
~4 अंक
मुख्य परासें (Principal Ranges)
फलनप्रान्त (Domain)मुख्य परास (Range)
sin⁻¹x[-1, 1][-π/2, π/2]
cos⁻¹x[-1, 1][0, π]
tan⁻¹xR(-π/2, π/2)
cot⁻¹xR(0, π)
sec⁻¹xR−(-1,1)[0,π] − {π/2}
cosec⁻¹xR−(-1,1)[-π/2,π/2] − {0}
महत्त्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ
सर्वसमिकाशर्त
sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2x ∈ [-1, 1]
tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2x ∈ R
sec⁻¹x + cosec⁻¹x = π/2|x| ≥ 1
sin⁻¹(−x) = −sin⁻¹xx ∈ [-1,1]
cos⁻¹(−x) = π − cos⁻¹xx ∈ [-1,1]
tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹[(x+y)/(1−xy)]xy < 1
tan⁻¹x − tan⁻¹y = tan⁻¹[(x−y)/(1+xy)]xy > −1
2tan⁻¹x = sin⁻¹(2x/1+x²) = cos⁻¹(1−x²/1+x²)|x| ≤ 1
💡 परीक्षा टिप्स
  • sin⁻¹(sin θ) = θ केवल तब जब θ ∈ [−π/2, π/2] — अन्यथा range में equivalent मान निकालें।
  • tan⁻¹x + tan⁻¹y के सूत्र में शर्त (xy < 1 या > 1) ध्यान से देखें।
  • Simplification में substitution (x = tanθ, sinθ आदि) बहुत उपयोगी।
3
आव्यूह — Matrices
~5 अंक
परिभाषाएँ
आव्यूह (Matrix)
संख्याओं का आयताकार विन्यास। m×n आव्यूह में m पंक्तियाँ और n स्तम्भ होते हैं।
वर्ग आव्यूह (Square Matrix)
m = n हो, अर्थात् पंक्तियों और स्तम्भों की संख्या बराबर।
समरूप आव्यूह (Symmetric)
Aᵀ = A
विषम-समरूप (Skew-Symmetric)
Aᵀ = −A (विकर्ण अवयव शून्य होते हैं)
महत्त्वपूर्ण सूत्र
विषयसूत्र
Transpose गुण(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
Symmetric decompositionA = (A+Aᵀ)/2 + (A−Aᵀ)/2
आव्यूह गुणन(AB)C = A(BC) [Associative]
तत्समक आव्यूहAI = IA = A
Scalar multiplicationk(AB) = (kA)B = A(kB)
⚠️ महत्त्वपूर्ण: Matrix multiplication क्रमविनिमेय (Commutative) नहीं होता — AB ≠ BA सामान्यतः।
💡 परीक्षा टिप्स
  • प्रत्येक वर्ग आव्यूह को एक Symmetric और एक Skew-Symmetric आव्यूह के योग के रूप में लिखा जा सकता है।
  • AB = AC से B = C नहीं निकलता (Cancellation law लागू नहीं)।
4
सारणिक — Determinants
~8 अंक
परिभाषाएँ
सारणिक (Determinant)
प्रत्येक वर्ग आव्यूह A के साथ सम्बन्धित एक अद्वितीय वास्तविक संख्या |A| या det(A)।
उपसारणिक (Minor) Mᵢⱼ
i-वीं पंक्ति और j-वें स्तम्भ को हटाने के बाद शेष आव्यूह का सारणिक।
सहखण्ड (Cofactor) Cᵢⱼ
Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) × Mᵢⱼ
संलग्न आव्यूह (Adjoint)
adj(A) = Cofactor matrix का transpose।
महत्त्वपूर्ण सूत्र
विषयसूत्र
InverseA⁻¹ = adj(A) / |A| (|A| ≠ 0)
गुण|AB| = |A| · |B|
Scalar|kA| = kⁿ |A| (n×n matrix)
Transpose|Aᵀ| = |A|
A·adj(A)A · adj(A) = |A| · I
Cramer's Rule (2×2)x = D₁/D, y = D₂/D
(AB)⁻¹(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
Singular matrix|A| = 0 ⟹ A का inverse नहीं
💡 परीक्षा टिप्स
  • Cofactor में (−1)^(i+j) का चिह्न याद रखें: + − + / − + − / + − +
  • समीकरण-निकाय: पहले |A| निकालें — शून्य है तो Cramer's Rule काम नहीं करेगा।
  • |2A| = 2³|A| = 8|A| (3×3 के लिए) — n की घात लगती है, 2 की नहीं।
5
सांतत्य एवं अवकलनीयता (Continuity and Differentiability)
~8 अंक
परिभाषाएँ
सांतत्य (Continuity) x = a पर
f बिंदु a पर continuous है यदि: lim(x→a) f(x) = f(a) अर्थात् LHL = RHL = f(a)
अवकलनीयता (Differentiability) x = a पर
f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) − f(a)] / h का अस्तित्व हो।
नोट: अवकलनीयता ⟹ सांतत्य, किन्तु सांतत्य ⟹ अवकलनीयता नहीं। उदाहरण: |x| बिंदु 0 पर continuous है किन्तु differentiable नहीं।
अवकलन सूत्र
फलनअवकलज (Derivative)
xⁿnxⁿ⁻¹
eˣeˣ
aˣaˣ · ln a
ln x1/x
sin xcos x
cos x−sin x
tan xsec²x
cot x−cosec²x
sec xsec x · tan x
cosec x−cosec x · cot x
sin⁻¹x1/√(1−x²)
cos⁻¹x−1/√(1−x²)
tan⁻¹x1/(1+x²)
नियम
नियमसूत्र
गुणनफल नियम (Product Rule)d/dx[uv] = u'v + uv'
भागफल नियम (Quotient Rule)d/dx[u/v] = (u'v − uv') / v²
श्रृंखला नियम (Chain Rule)dy/dx = dy/du · du/dx
Parametricdy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
Implicitदोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करो
Logarithmicy = f(x)^g(x) → ln y = g(x)·ln f(x) लेकर अवकलन
💡 परीक्षा टिप्स
  • Assertion-Reason में Continuity ≠ Differentiability — यह CBSE का favourite trap है।
  • Second derivative: d²y/dx² = d/dx(dy/dx)।
  • Logarithmic differentiation: y = xˣ जैसे प्रश्नों में अनिवार्य।
  • d/dx[sin⁻¹(2x√(1−x²))] = 2/√(1−x²) — substitution x=sinθ से निकालें।
6
अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives)
~7 अंक
परिभाषाएँ
वर्धमान फलन (Increasing)
x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≤ f(x₂) | f'(x) ≥ 0 for all x in interval।
ह्रासमान फलन (Decreasing)
x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≥ f(x₂) | f'(x) ≤ 0 for all x in interval।
स्थानीय उच्चतम/निम्नतम (Local Max/Min)
Critical point वह बिंदु जहाँ f'(x) = 0 या f'(x) अपरिभाषित हो।
महत्त्वपूर्ण सूत्र
विषयसूत्र
स्पर्श रेखा (Tangent) का समीकरणy − y₁ = m(x − x₁), m = dy/dx at (x₁,y₁)
अभिलम्ब (Normal) का समीकरणy − y₁ = (−1/m)(x − x₁)
प्रथम अवकलज परीक्षणf'(x): + to − → Max; − to + → Min
द्वितीय अवकलज परीक्षणf''(x) < 0 → Max; f''(x) > 0 → Min
सन्निकटन (Approximation)f(x+δx) ≈ f(x) + f'(x)·δx
💡 परीक्षा टिप्स
  • Maximum/Minimum की practical problems में: variable एक कर दो, फिर अवकलन करो।
  • f''(x) = 0 पर: निष्कर्ष नहीं निकलता — पहला अवकलज परीक्षण use करें।
  • Monotonic functions के लिए interval दें, केवल point नहीं।
7
समाकलन — Integrals (सबसे महत्त्वपूर्ण)
18 अंक 🔥
⚠️ परीक्षा में 18 अंक: यह अकेला अध्याय पूरे पेपर का 22.5% है। हर सूत्र और विधि याद रखें।
मानक समाकलन (Standard Integrals)
∫ f(x)dx= F(x) + C
∫ xⁿ dxxⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
∫ 1/x dxln|x| + C
∫ eˣ dxeˣ + C
∫ aˣ dxaˣ/ln a + C
∫ sin x dx−cos x + C
∫ cos x dxsin x + C
∫ tan x dxln|sec x| + C
∫ cot x dxln|sin x| + C
∫ sec²x dxtan x + C
∫ cosec²x dx−cot x + C
∫ sec x · tan x dxsec x + C
∫ 1/√(1−x²) dxsin⁻¹x + C
∫ 1/(1+x²) dxtan⁻¹x + C
∫ 1/√(x²−a²) dxln|x+√(x²−a²)| + C
∫ 1/(x²−a²) dx1/2a · ln|(x−a)/(x+a)| + C
∫ √(a²−x²) dxx/2·√(a²−x²) + a²/2·sin⁻¹(x/a) + C
समाकलन की विधियाँ
1. प्रतिस्थापन विधि (Substitution)
∫f(g(x))·g'(x)dx — g(x) = t रखो, g'(x)dx = dt
2. आंशिक भिन्न (Partial Fractions)
Rational function P(x)/Q(x) को partial fractions में तोड़ो, फिर integrate करो।
3. खण्डशः समाकलन (Integration by Parts)
∫u·v dx = u·∫v dx − ∫[u' · ∫v dx] dx
ILATE क्रम: I = Inverse Trig, L = Log, A = Algebraic, T = Trig, E = Exponential
4. विशेष सूत्र
∫eˣ[f(x) + f'(x)]dx = eˣ·f(x) + C
निश्चित समाकल के गुणधर्म (Definite Integral Properties)
गुणधर्मसूत्र
मूलभूत प्रमेय∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)
क्रम परिवर्तन∫ₐᵇ f(x)dx = −∫ᵦₐ f(x)dx
योजक गुण∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx + ∫ᶜᵦ f(x)dx
King's Property∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(a+b−x)dx
∫₀ᵃ f(x)dx= ∫₀ᵃ f(a−x)dx
सम फलन (Even)∫₋ₐᵃ f(x)dx = 2∫₀ᵃ f(x)dx
विषम फलन (Odd)∫₋ₐᵃ f(x)dx = 0
∫₀²ᵃ f(x)dx= 2∫₀ᵃ f(x)dx यदि f(2a−x) = f(x)
💡 परीक्षा टिप्स
  • +C भूलना = 1 अंक कटना — अनिश्चित समाकलन में हमेशा C लिखें।
  • IBP में ILATE: पहले आने वाले को u (पहला फलन) मानो।
  • King's Property: निश्चित समाकलन सरल करने की सबसे powerful technique।
  • ∫eˣ[f(x) + f'(x)]dx = eˣf(x) + C — यह सूत्र सीधे apply करें।
  • Partial fractions: denominator का factor करो — (linear)(quadratic) आदि।
8
समाकलन के अनुप्रयोग (Application of Integrals)
~5 अंक
क्षेत्रफल सूत्र
स्थितिसूत्र
x-अक्ष और वक्र y=f(x) के बीचA = ∫ₐᵇ |f(x)| dx
y-अक्ष और वक्र x=g(y) के बीचA = ∫ᶜᵈ |g(y)| dy
दो वक्रों के बीचA = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx (f(x) ≥ g(x))
वृत्त x²+y²=r²A = πr² (पूर्ण)
परवलय y²=4axएक चतुर्थांश: ∫₀ᵃ 2√(ax) dx
दीर्घवृत्त x²/a²+y²/b²=1A = πab
💡 परीक्षा टिप्स
  • पहले rough sketch बनाएँ — intersection points निकालें।
  • Upper curve − Lower curve: जो वक्र ऊपर हो उसे पहले लिखें।
  • Symmetric figure: एक भाग निकालकर 2 गुना करें।
9
अवकल समीकरण (Differential Equations)
~8 अंक
परिभाषाएँ
कोटि (Order)
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलज की घात = कोटि।
घात (Degree)
समीकरण polynomial form में होने पर उच्चतम अवकलज की घात = degree।
व्यापक हल (General Solution)
Arbitrary constant C वाला हल।
विशिष्ट हल (Particular Solution)
Initial condition से C का मान निर्धारित करने के बाद का हल।
हल करने की विधियाँ
प्रकारपहचानविधि
चर-पृथक्करणdy/dx = f(x)·g(y)dy/g(y) = f(x)dx, फिर integrate
समघात (Homogeneous)dy/dx = F(y/x)y = vx रखो, फिर चर-पृथक्करण
रैखिक (Linear)dy/dx + Py = QIF = e^∫P dx; y·IF = ∫Q·IF dx + C
Bernoullidy/dx + Py = Qyⁿz = y^(1−n) रखकर Linear बनाओ
💡 परीक्षा टिप्स
  • Linear DE में IF सही निकालना सबसे महत्त्वपूर्ण।
  • Homogeneous DE: y/x = v रखने के बाद dy/dx = v + x·dv/dx लिखना न भूलें।
  • हल लिखते समय IF को स्पष्ट दिखाएँ — steps-wise marking होती है।
10
सदिश बीजगणित (Vector Algebra)
~6 अंक
परिभाषाएँ
सदिश (Vector)
वह राशि जिसमें परिमाण और दिशा दोनों हों।
एकांक सदिश (Unit Vector)
|a⃗| = 1। â = a⃗/|a⃗|
स्थिति सदिश
किसी बिंदु P(x,y,z) का: r⃗ = xi + yj + zk
समान सदिश (Equal Vectors)
समान परिमाण और समान दिशा।
महत्त्वपूर्ण सूत्र
विषयसूत्र
परिमाण|a⃗| = √(a₁²+a₂²+a₃²)
अदिश गुणनफल (Dot Product)a⃗·b⃗ = |a||b|cosθ = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃
सदिश गुणनफल (Cross Product)|a⃗×b⃗| = |a||b|sinθ
लम्बवत् (Perpendicular)a⃗·b⃗ = 0
समान्तर (Parallel)a⃗×b⃗ = 0⃗
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल|a⃗×b⃗|
त्रिभुज का क्षेत्रफल½|a⃗×b⃗|
Projection of a⃗ on b⃗(a⃗·b⃗)/|b⃗|
Section formula (m:n)r⃗ = (m·b⃗ + n·a⃗)/(m+n)
💡 परीक्षा टिप्स
  • a⃗·b⃗ = 0 ⟹ लम्बवत् (perpendicular); a⃗×b⃗ = 0⃗ ⟹ समान्तर (parallel)।
  • Cross product से i, j, k के determinant का उपयोग करें।
  • a⃗×b⃗ = −b⃗×a⃗ (क्रमविनिमेय नहीं)।
11
त्रिविमीय ज्यामिति (Three Dimensional Geometry)
~8 अंक
दिक्-कोसाइन एवं दिक्-अनुपात
विषयसूत्र
दिक्-कोसाइन (DC)l = cosα, m = cosβ, n = cosγ
DC का गुणl² + m² + n² = 1
DR से DCl = a/√(a²+b²+c²), m = b/..., n = c/...
सरल रेखा के समीकरण
रूपसमीकरण
सममित रूप(x−x₁)/l = (y−y₁)/m = (z−z₁)/n
सदिश रूपr⃗ = a⃗ + λb⃗
दो बिंदुओं से होकर(x−x₁)/(x₂−x₁) = (y−y₁)/(y₂−y₁) = (z−z₁)/(z₂−z₁)
समतल के समीकरण
रूपसमीकरण
सामान्य रूपax + by + cz + d = 0
सदिश रूपr⃗ · n⃗ = d
अन्तःखंड रूपx/a + y/b + z/c = 1
बिंदु से समतल की दूरीd = |ax₁+by₁+cz₁+D| / √(a²+b²+c²)
दो समतलों के बीच कोणcosθ = |n⃗₁·n⃗₂| / (|n⃗₁|·|n⃗₂|)
रेखा और समतल के बीच कोणsinθ = |b⃗·n⃗| / (|b⃗|·|n⃗|)
विषमतल रेखाओं की दूरीd = |(a⃗₂−a⃗₁)·(b⃗₁×b⃗₂)| / |b⃗₁×b⃗₂|
💡 परीक्षा टिप्स
  • l²+m²+n²=1 (दिक्-कोसाइन); a²+b²+c² ≠ 1 (दिक्-अनुपात)।
  • दो रेखाओं के बीच कोण: DR का dot product।
  • Coplanar रेखाओं की जाँच: determinant = 0।
  • Skew lines — Shortest distance formula में cross product।
12
रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming)
~5 अंक
परिभाषाएँ
उद्देश्य फलन (Objective Function)
वह रेखीय फलन Z = ax + by जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना है।
व्यवरोध (Constraints)
चरों पर लगाई गई रैखिक असमिकाएँ।
साध्य क्षेत्र (Feasible Region)
सभी constraints को एक साथ संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का समुच्चय।
कोने के बिंदु (Corner Points)
साध्य क्षेत्र के शीर्ष बिंदु।
मूलभूत प्रमेय
यदि इष्टतम (Optimal) मान का अस्तित्व है, तो वह साध्य क्षेत्र के किसी कोने के बिंदु पर प्राप्त होता है।
चरणकरने योग्य
1Constraints को सीधी रेखाओं के रूप में graph में खींचें।
2साध्य क्षेत्र (Feasible Region) पहचानें।
3सभी corner points के coordinates निकालें।
4Z = ax + by का मान प्रत्येक corner point पर निकालें।
5Maximum/Minimum मान ही इष्टतम हल है।
💡 परीक्षा टिप्स
  • Graph neat और accurate बनाएँ — axes label करें।
  • Corner points table बनाकर Z का मान लिखें।
  • Unbounded region में: Maximum या Minimum का अस्तित्व जाँचें।
13
प्रायिकता (Probability)
~8 अंक
परिभाषाएँ
सशर्त प्रायिकता (Conditional Probability)
P(A|B) = P(A∩B) / P(B), P(B) ≠ 0। घटना B के घटित होने की शर्त पर A की प्रायिकता।
स्वतंत्र घटनाएँ (Independent Events)
P(A∩B) = P(A) · P(B)। अर्थात् P(A|B) = P(A)।
पूर्ण प्रायिकता का नियम
P(B) = ΣP(Aᵢ)·P(B|Aᵢ) जहाँ A₁,A₂,...,Aₙ partition बनाते हों।
बेयस प्रमेय (Bayes' Theorem)
P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ) / ΣP(Aⱼ)·P(B|Aⱼ)
महत्त्वपूर्ण सूत्र
विषयसूत्र
Conditional ProbabilityP(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Multiplication RuleP(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)
Independent EventsP(A∩B) = P(A)·P(B)
Addition RuleP(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)
ComplementaryP(A') = 1 − P(A)
Binomial Distribution: P(X=r)ⁿCᵣ · pʳ · qⁿ⁻ʳ जहाँ q = 1−p
Mean (Binomial)μ = np
Variance (Binomial)σ² = npq
Standard Deviationσ = √(npq)
💡 परीक्षा टिप्स
  • Bayes' Theorem: Tree Diagram बनाएँ — सभी branches की probability लिखें।
  • Partition A₁, A₂,...,Aₙ: mutually exclusive और exhaustive होने चाहिए।
  • Binomial Distribution: n trials, प्रत्येक में success की प्रायिकता p, failure की q = 1−p।
  • P(A|B) ≠ P(B|A) — दिशा महत्त्वपूर्ण है।
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