कक्षा 10 गणित अर्धवार्षिक मॉडल पेपर 2026-27 (80 अंक) हल सहित | RBSE

कक्षा 10 गणित (विषय कोड 09) — अर्धवार्षिक मॉडल पेपर 2026-27

लेखक: NCERTClasses टीम

सामान्य निर्देश

1. सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। प्रश्न-क्रमांक के सामने अंक कोष्ठक में दिए गए हैं।
2. खण्ड-अ में 20 वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रत्येक 1 अंक), खण्ड-ब में 8 प्रश्न (2 अंक), खण्ड-स में 6 प्रश्न (3 अंक), खण्ड-द में 4 प्रश्न (4 अंक) तथा खण्ड-य में 2 प्रश्न (5 अंक) हैं।
3. खण्ड-द तथा खण्ड-य में आंतरिक विकल्प हैं (अथवा), केवल एक विकल्प हल करें।
4. प्रश्न के साथ कोष्ठक में इकाई का नाम केवल अभ्यास हेतु दिया गया है।
5. सभी गणनाएँ स्पष्ट रूप से लिखें; कैलकुलेटर का प्रयोग वर्जित है।

खण्ड-अ (वस्तुनिष्ठ प्रश्न) — प्रश्न 1 से 20, प्रत्येक 1 अंक

1. यदि दो संख्याओं का म.स. 12 तथा उनका गुणनफल 1800 हो, तो उनका ल.स. है: [वास्तविक संख्याएँ] [1]
(अ) 120(ब) 150(स) 180(द) 21600

2. यदि बहुपद 2x² − 7x + 3 के शून्यक α, β हैं, तो α + β + αβ का मान है: [बहुपद] [1]
(अ) 2(ब) 4(स) 5(द) 7/2

3. समीकरण-युग्म 2x + 3y = 7 तथा 4x + 6y = k के अनंत हल होंगे, यदि k का मान है: [रैखिक समीकरण-युग्म] [1]
(अ) 7(ब) 14(स) 21(द) 28

4. समीकरण x² − 3x + k = 0 के मूल वास्तविक एवं बराबर हों, तो k = [द्विघात समीकरण] [1]
(अ) 4/9(ब) 3/2(स) 9/4(द) 9

5. A.P. 7, 10, 13, … का 15वाँ पद है: [समांतर श्रेढ़ी] [1]
(अ) 45(ब) 46(स) 49(द) 52

6. यदि △ABC ∼ △DEF तथा AB : DE = 3 : 5, तो क्षेत्रफल का अनुपात ar(△ABC) : ar(△DEF) है: [त्रिभुज] [1]
(अ) 3 : 5(ब) 5 : 3(स) 9 : 25(द) 25 : 9

7. वृत्त की त्रिज्या 5 cm है। केंद्र से 13 cm दूर स्थित बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है: [वृत्त] [1]
(अ) 8 cm(ब) 10 cm(स) 12 cm(द) 13 cm

8. बिंदुओं (2, 3) तथा (−1, 7) के बीच की दूरी है: [निर्देशांक ज्यामिति] [1]
(अ) 3(ब) 4(स) 5(द) 7

9. यदि 5 tan θ = 4, तो (5 sin θ − 3 cos θ)/(5 sin θ + 2 cos θ) का मान है: [त्रिकोणमिति का परिचय] [1]
(अ) 1/6(ब) 1/5(स) 5/6(द) 6

10. त्रिज्या 7 cm वाले वृत्त के 90° कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (π = 22/7) है: [वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल] [1]
(अ) 19.25 cm²(ब) 38.5 cm²(स) 77 cm²(द) 154 cm²

11. त्रिज्या 3.5 cm तथा ऊँचाई 12 cm वाले शंकु का आयतन (π = 22/7) है: [पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन] [1]
(अ) 77 cm³(ब) 154 cm³(स) 308 cm³(द) 462 cm³

12. सूत्र l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h किसकी गणना के लिए प्रयुक्त होता है? [सांख्यिकी] [1]
(अ) माध्य(ब) माध्यिका(स) बहुलक(द) परिसर

13. एक पासे को एक बार फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता है: [प्रायिकता] [1]
(अ) 1/6(ब) 1/3(स) 1/2(द) 2/3

14. एक त्रिघात बहुपद के अधिकतम ______ शून्यक हो सकते हैं। [बहुपद] [1]

15. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 4 : 9 है, तो उनकी संगत ऊँचाइयों का अनुपात ______ है। [त्रिभुज] [1]

16. वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर ______ होती है। [वृत्त] [1]

17. बिंदुओं (−2, 6) तथा (8, −2) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ______ है। [निर्देशांक ज्यामिति] [1]

18. यदि किसी घटना E के घटित होने की प्रायिकता P(E) = 0.35 है, तो P(E नहीं) = ______। [प्रायिकता] [1]

19. अभिकथन (A) तथा कारण (R) वाला प्रश्न: [समांतर श्रेढ़ी] [1]
अभिकथन (A): A.P. −3, −1/2, 2, … का 11वाँ पद 22 है।
कारण (R): A.P. का n वाँ पद aₙ = a + (n − 1)d होता है।
(अ) A और R दोनों सत्य हैं तथा R, A की सही व्याख्या है। (ब) A और R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है। (स) A सत्य है, परंतु R असत्य है। (द) A असत्य है, परंतु R सत्य है।

20. केस आधारित प्रश्न: रोहन एक ऊर्ध्वाधर झंडे के खंभे के आधार से 15 m दूर खड़ा है। वह खंभे के शीर्ष को 30° के उन्नयन कोण पर देखता है। (आँख की ऊँचाई उपेक्षणीय मानें।) खंभे की ऊँचाई है: [त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग] [1]
(अ) 5√3 m(ब) 15√3 m(स) 15 m(द) 7.5 m

खण्ड-ब — प्रश्न 21 से 28, प्रत्येक 2 अंक

21. बहुपद 6x² − 7x − 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों के योग और गुणांकों के संबंध की जाँच कीजिए। [बहुपद] [2]

22. △ABC में D भुजा AB पर तथा E भुजा AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि DE ∥ BC है। यदि AD = 3 cm, DB = 5 cm तथा AE = 4.5 cm हो, तो EC ज्ञात कीजिए। [त्रिभुज] [2]

23. y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदुओं P(2, −3) तथा Q(10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई हो। [निर्देशांक ज्यामिति] [2]

24. मान ज्ञात कीजिए: 2 tan² 45° + cos² 30° − sin² 60° [त्रिकोणमिति का परिचय] [2]

25. यदि sin(A + B) = 1 तथा cos(A − B) = √3/2, 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B ज्ञात कीजिए। [त्रिकोणमिति का परिचय] [2]

26. निम्न बारंबारता बंटन का बहुलक वर्ग तथा माध्यिका वर्ग लिखिए: [सांख्यिकी] [2]

27. किसी बंटन का माध्य 22 तथा माध्यिका 21 है। उसका बहुलक ज्ञात कीजिए। [सांख्यिकी] [2]

28. एक थैले में 3 लाल, 5 काली तथा 2 सफेद गेंदें हैं। थैले से यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गेंद (i) काली है, (ii) सफेद नहीं है। [प्रायिकता] [2]

खण्ड-स — प्रश्न 29 से 34, प्रत्येक 3 अंक

29. अभाज्य गुणनखंड विधि से 120 तथा 144 का म.स. और ल.स. ज्ञात कीजिए तथा सत्यापित कीजिए कि म.स. × ल.स. = दोनों संख्याओं का गुणनफल। [वास्तविक संख्याएँ] [3]

30. दो क्रमागत धन पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। उन पूर्णांकों को ज्ञात कीजिए। [द्विघात समीकरण] [3]

31. A.P. 24, 21, 18, … के कितने पदों का योग 78 होगा? दोनों उत्तरों की व्याख्या कीजिए। [समांतर श्रेढ़ी] [3]

32. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो A(−1, 7) तथा B(4, −3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। [निर्देशांक ज्यामिति] [3]

33. सिद्ध कीजिए: (cosec θ − cot θ)² = (1 − cos θ)/(1 + cos θ) [त्रिकोणमिति का परिचय] [3]

34. निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए: [सांख्यिकी] [3]

खण्ड-द — प्रश्न 35 से 38, प्रत्येक 4 अंक (आंतरिक विकल्प सहित)

35. एक भिन्न का अंश तथा हर दोनों में 2 जोड़ने पर वह 9/11 हो जाती है तथा दोनों में 3 जोड़ने पर 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए। [रैखिक समीकरण-युग्म] [4]

अथवा

एक नाव धारा के प्रतिकूल 30 km तथा धारा के अनुकूल 44 km जाने में 10 घंटे लेती है। यदि वह धारा के प्रतिकूल 40 km तथा अनुकूल 55 km जाए तो 13 घंटे लगते हैं। धारा की चाल तथा स्थिर जल में नाव की चाल ज्ञात कीजिए।

36. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। [वृत्त] [4]

अथवा

केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA तथा PB खींची गई हैं (A, B स्पर्श बिंदु हैं)। सिद्ध कीजिए कि ∠APB + ∠AOB = 180°।

37. 60 m ऊँचे भवन के शीर्ष से एक ऊर्ध्वाधर मीनार के शीर्ष तथा पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° तथा 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (भवन व मीनार समतल भूमि पर हैं।) [त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग] [4]

अथवा

एक मीनार के पाद से एक ही सरल रेखा में, उसी ओर 4 m तथा 9 m की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।

38. त्रिज्या 12 cm वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14, √3 = 1.73 लें) [वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल] [4]

अथवा

14 cm भुजा वाले वर्ग के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर 7 cm त्रिज्या के चार चतुर्थांश (वृत्त के चौथाई भाग) वर्ग के भीतर खींचे गए हैं। वर्ग के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो इन चतुर्थांशों से ढका नहीं है। (π = 22/7)

खण्ड-य — प्रश्न 39 व 40, प्रत्येक 5 अंक (आंतरिक विकल्प सहित)

39. निम्न बंटन का माध्य (पद-विचलन विधि से) ज्ञात कीजिए: [सांख्यिकी] [5]

अथवा

निम्न बंटन की माध्यिका ज्ञात कीजिए: (वही सारणी)

40. एक ठोस धातु के गोले की त्रिज्या 6 cm है। उसे पिघलाकर प्रत्येक 3 cm त्रिज्या तथा 4 cm ऊँचाई वाले शंकु बनाए जाते हैं। (i) कितने शंकु बनेंगे? (ii) एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल π के पदों में ज्ञात कीजिए। [पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन] [5]

अथवा

एक खिलौना 3.5 cm त्रिज्या वाले शंकु के आकार का है जो उसी त्रिज्या के अर्धगोले पर खड़ा है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 cm है। खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

अंक-विभाजन सारणी

उत्तर-कुंजी एवं अंक-योजना

खण्ड-अ (प्रत्येक 1 अंक)

1. (ब) 150 — ल.स. = 1800 ÷ 12 = 150
2. (स) 5 — α+β = 7/2, αβ = 3/2, योग = 5
3. (ब) 14 — 2/4 = 3/6 = 7/k ⇒ k = 14
4. (स) 9/4 — D = 9 − 4k = 0
5. (स) 49 — 7 + 14×3 = 49
6. (स) 9 : 25 — क्षेत्रफलों का अनुपात = भुजाओं के अनुपात का वर्ग
7. (स) 12 cm — √(13² − 5²) = 12
8. (स) 5 — √(9 + 16) = 5
9. (अ) 1/6 — अंश व हर को cos θ से भाग देने पर (4 − 3)/(4 + 2)
10. (ब) 38.5 cm² — (90/360)×(22/7)×49
11. (ब) 154 cm³ — (1/3)×(22/7)×(3.5)²×12
12. (स) बहुलक
13. (स) 1/2 — अनुकूल परिणाम 2, 3, 5 ⇒ 3/6
14. 3
15. 4 : 9
16. लंब (90° पर)
17. (3, 2)
18. 0.65
19. (अ) — a = −3, d = 5/2, a₁₁ = −3 + 10×5/2 = 22; R सही सूत्र है
20. (अ) 5√3 m — h = 15 tan 30° = 15/√3 = 5√3

खण्ड-ब (प्रत्येक 2 अंक)

21. 6x² − 7x − 3 = (3x + 1)(2x − 3) ⇒ शून्यक −1/3 तथा 3/2 (1 अंक)। योग = −1/3 + 3/2 = 7/6 = −(−7)/6 ✓; गुणनफल = −1/2 = −3/6 ✓ (1 अंक)।

22. BPT से AD/DB = AE/EC (1 अंक) ⇒ 3/5 = 4.5/EC ⇒ EC = 7.5 cm (1 अंक)।

23. (10 − 2)² + (y + 3)² = 10² (1 अंक) ⇒ (y + 3)² = 36 ⇒ y = 3 अथवा y = −9 (1 अंक)।

24. 2(1) + (√3/2)² − (√3/2)² = 2 + 3/4 − 3/4 = 2 (मान 1 + सरलीकरण 1)।

25. sin(A+B) = 1 ⇒ A + B = 90°; cos(A−B) = √3/2 ⇒ A − B = 30° (1 अंक) ⇒ A = 60°, B = 30° (1 अंक)।

26. सर्वाधिक बारंबारता 12 ⇒ बहुलक वर्ग 20–30 (1 अंक)। N = 35, N/2 = 17.5; संचयी बारंबारता 4, 11, 23 ⇒ माध्यिका वर्ग 20–30 (1 अंक)।

27. बहुलक = 3 × माध्यिका − 2 × माध्य = 63 − 44 = 19 (सूत्र 1 + मान 1)।

28. कुल गेंदें 10। (i) P(काली) = 5/10 = 1/2 (1 अंक) (ii) P(सफेद नहीं) = 8/10 = 4/5 (1 अंक)।

खण्ड-स (प्रत्येक 3 अंक)

29. 120 = 2³ × 3 × 5; 144 = 2⁴ × 3² (1 अंक)। म.स. = 2³ × 3 = 24; ल.स. = 2⁴ × 3² × 5 = 720 (1 अंक)। 24 × 720 = 17280 = 120 × 144 ✓ (1 अंक)।

30. पूर्णांक x, x + 1: x(x + 1) = 306 ⇒ x² + x − 306 = 0 (1 अंक) ⇒ (x + 18)(x − 17) = 0 (1 अंक) ⇒ x = 17 (धन)। पूर्णांक 17 व 18 (1 अंक)।

31. a = 24, d = −3; Sₙ = n/2[48 − 3(n − 1)] = 78 ⇒ n² − 17n + 52 = 0 (1 अंक) ⇒ (n − 4)(n − 13) = 0 ⇒ n = 4 अथवा 13 (1 अंक)। व्याख्या: पहले 4 पदों (24, 21, 18, 15) का योग 78 है; 5वें से 13वें पदों (12, 9, 6, 3, 0, −3, −6, −9, −12) का योग शून्य है, इसलिए 13 पदों का योग भी 78 (1 अंक)।

32. x = (2×4 + 3×(−1))/5 = 1 (1.5 अंक); y = (2×(−3) + 3×7)/5 = 3 (1.5 अंक)। बिंदु (1, 3)।

33. बायाँ पक्ष = (1/sin θ − cos θ/sin θ)² = (1 − cos θ)²/sin²θ (1 अंक) = (1 − cos θ)²/[(1 − cos θ)(1 + cos θ)] (1 अंक) = (1 − cos θ)/(1 + cos θ) = दायाँ पक्ष (1 अंक)।

34. N = 45; बहुलक वर्ग 30–40 (सर्वाधिक बारंबारता 15), l = 30, f₁ = 15, f₀ = 9, f₂ = 6, h = 10 (1 अंक)। बहुलक = 30 + (15 − 9)/(30 − 9 − 6) × 10 (1 अंक) = 30 + 4 = 34 (1 अंक)।

खण्ड-द (प्रत्येक 4 अंक)

35 (i). भिन्न x/y: (x + 2)/(y + 2) = 9/11 ⇒ 11x − 9y = −4; (x + 3)/(y + 3) = 5/6 ⇒ 6x − 5y = −3 (2 अंक)। हल करने पर x = 7, y = 9 (1 अंक)। भिन्न = 7/9 (जाँच: 9/11, 10/12 ✓) (1 अंक)।
अथवा स्थिर जल में चाल x, धारा की चाल y: 30/(x−y) + 44/(x+y) = 10; 40/(x−y) + 55/(x+y) = 13। u = 1/(x−y), v = 1/(x+y) रखने पर 30u + 44v = 10, 40u + 55v = 13 (1.5 अंक) ⇒ v = 1/11, u = 1/5 (1 अंक) ⇒ x + y = 11, x − y = 5 ⇒ नाव की चाल 8 km/h, धारा की चाल 3 km/h (1.5 अंक)।

36 (i). दिया है: केंद्र O, स्पर्श रेखा XY, स्पर्श बिंदु P। सिद्ध करना है OP ⊥ XY (1 अंक)। XY पर Q कोई अन्य बिंदु लें; Q वृत्त के बाहर है, अतः OQ > OP (1 अंक)। यह प्रत्येक Q के लिए सत्य है, अतः OP सबसे छोटी दूरी है (1 अंक)। बिंदु से रेखा तक सबसे छोटी दूरी लंब होती है, अतः OP ⊥ XY (1 अंक)।
अथवा OA ⊥ PA, OB ⊥ PB ⇒ ∠OAP = ∠OBP = 90° (1 अंक)। चतुर्भुज OAPB के कोणों का योग 360° (1 अंक) ⇒ ∠APB + ∠AOB = 360° − 90° − 90° (1 अंक) = 180° (1 अंक)।

37 (i). भवन AB = 60 m, मीनार CD; D से AB पर लंब DE। अवनमन कोण ⇒ ∠BCA = 60°, ∠BDE = 30° (1 अंक)। △ABC में AC = 60/tan 60° = 20√3 m (1 अंक)। DE = AC = 20√3, BE = DE tan 30° = 20 m (1 अंक)। मीनार की ऊँचाई CD = AE = 60 − 20 = 40 m (1 अंक)।
अथवा मीनार की ऊँचाई h, कोण θ तथा (90° − θ): tan θ = h/4 तथा tan(90° − θ) = cot θ = h/9 (2 अंक)। गुणा करने पर 1 = h²/36 (1 अंक) ⇒ h² = 36 ⇒ h = 6 m (1 अंक)।

38 (i). त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (60/360) × 3.14 × 12² = 75.36 cm² (1.5 अंक)। △ का क्षेत्रफल = (√3/4) × 12² = 62.28 cm² (1.5 अंक)। लघु वृत्तखंड = 75.36 − 62.28 = 13.08 cm² (1 अंक)।
अथवा वर्ग का क्षेत्रफल = 14² = 196 cm² (1 अंक)। चार चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल = 4 × (1/4) × (22/7) × 7² = 154 cm² (2 अंक)। शेष क्षेत्रफल = 196 − 154 = 42 cm² (1 अंक)।

खण्ड-य (प्रत्येक 5 अंक)

39 (i). वर्ग-चिह्न x = 10, 30, 50, 70, 90, 110; माना a = 50, h = 20, u = (x − 50)/20 = −2, −1, 0, 1, 2, 3 (1 अंक)। fu = −10, −8, 0, 12, 14, 9 ⇒ Σfu = 17, Σf = 50 (2 अंक)। माध्य = a + h × Σfu/Σf = 50 + 20 × 17/50 (1 अंक) = 56.8 (1 अंक)।
अथवा संचयी बारंबारता 5, 13, 28, 40, 47, 50 (1 अंक); N/2 = 25 ⇒ माध्यिका वर्ग 40–60 (1 अंक); l = 40, cf = 13, f = 15, h = 20 (1 अंक)। माध्यिका = 40 + (25 − 13)/15 × 20 (1 अंक) = 56 (1 अंक)।

40 (i). गोले का आयतन = (4/3)π(6)³ = 288π cm³ (1 अंक)। एक शंकु का आयतन = (1/3)π(3)²(4) = 12π cm³ (1 अंक)। शंकुओं की संख्या = 288π/12π = 24 (1 अंक)। तिर्यक ऊँचाई l = √(3² + 4²) = 5 cm (1 अंक); वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = π × 3 × 5 = 15π cm² (1 अंक)।
अथवा शंकु की ऊँचाई = 15.5 − 3.5 = 12 cm (1 अंक); l = √(12² + 3.5²) = √156.25 = 12.5 cm (1 अंक)। TSA = πrl + 2πr² (1 अंक) = (22/7)(3.5)(12.5) + 2(22/7)(3.5)² = 137.5 + 77 (1 अंक) = 214.5 cm² (1 अंक)।