कक्षा 12 गणित (कोड 15) – अर्धवार्षिक मॉडल पेपर 2026-27
लेखक: NCERTClasses टीम | पूर्णांक: 80 (सत्रांक 20 अलग)
यह अभ्यास हेतु मॉडल पेपर है, बोर्ड का आधिकारिक प्रश्नपत्र नहीं। पैटर्न राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड के सत्र 2026-27 के सिलेबस पर आधारित। बोर्ड ने प्रश्न-प्रकार का विभाजन प्रकाशित नहीं किया है; यहाँ इकाईवार अंक सिलेबस के अनुसार हैं तथा प्रश्न-प्रकार (20×1 + 8×2 + 6×3 + 4×4 + 2×5) अभ्यास हेतु तय किया गया है।
सामान्य निर्देश
- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। जहाँ 'अथवा' दिया है, वहाँ केवल एक विकल्प हल करें; विकल्प उसी अध्याय से हैं।
- प्रश्नपत्र में पाँच खंड हैं: क (20 प्रश्न × 1), ख (8 × 2), ग (6 × 3), घ (4 × 4), ङ (2 × 5)। अंक प्रश्न के सामने कोष्ठक में दिए हैं।
- कोई भी प्रश्न आकृति पर निर्भर नहीं है; आलेख/क्षेत्र स्वयं बनाएँ। प्रत्येक प्रश्न के साथ छोटे टैग में इकाई दी गई है (जैसे इ-3 = कलन)।
- सभी चरण स्पष्ट लिखिए; कैलकुलेटर का प्रयोग वर्जित है।
खंड-क : वस्तुनिष्ठ प्रश्न (प्रश्न 1–20, प्रत्येक 1 अंक)
प्रश्न 1. समुच्चय A = {1, 2, 3} पर संबंध R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2)} है:
(क) स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक (ख) स्वतुल्य तथा संक्रामक, परंतु सममित नहीं (ग) सममित तथा संक्रामक, परंतु स्वतुल्य नहीं (घ) केवल स्वतुल्य [1]इ-1
(क) स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक (ख) स्वतुल्य तथा संक्रामक, परंतु सममित नहीं (ग) सममित तथा संक्रामक, परंतु स्वतुल्य नहीं (घ) केवल स्वतुल्य [1]इ-1
प्रश्न 2. sin⁻¹(sin 2π3) का मान है:
(क) 2π3 (ख) π3 (ग) −π3 (घ) π6 [1]इ-1
(क) 2π3 (ख) π3 (ग) −π3 (घ) π6 [1]इ-1
प्रश्न 3. tan⁻¹1 + tan⁻¹2 + tan⁻¹3 का मान है:
(क) π2 (ख) π4 (ग) π (घ) 3π4 [1]इ-1
(क) π2 (ख) π4 (ग) π (घ) 3π4 [1]इ-1
प्रश्न 4. फलन sin⁻¹(2x) का प्रांत है:
(क) [−1, 1] (ख) [−12, 12] (ग) [−2, 2] (घ) [0, 12] [1]इ-1
(क) [−1, 1] (ख) [−12, 12] (ग) [−2, 2] (घ) [0, 12] [1]इ-1
प्रश्न 5. यदि आव्यूह 0 2a 0 विषम सममित है, तो a का मान है:
(क) 2 (ख) −2 (ग) 0 (घ) 1 [1]इ-2
(क) 2 (ख) −2 (ग) 0 (घ) 1 [1]इ-2
प्रश्न 6. यदि 2×2 आव्यूह A = [aij] में aij = 2i − j हो, तो A के सभी अवयवों का योग है:
(क) 4 (ख) 5 (ग) 6 (घ) 7 [1]इ-2
(क) 4 (ख) 5 (ग) 6 (घ) 7 [1]इ-2
प्रश्न 7. A = 1 23 4, B = 0 11 0 हो, तो AB के विकर्ण अवयवों का योग है:
(क) 4 (ख) 5 (ग) 6 (घ) 7 [1]इ-2
(क) 4 (ख) 5 (ग) 6 (घ) 7 [1]इ-2
प्रश्न 8. वृत्त के क्षेत्रफल के त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर, जब r = 5 सेमी है:
(क) 5π (ख) 10π (ग) 25π (घ) 100π [1]इ-3
(क) 5π (ख) 10π (ग) 25π (घ) 100π [1]इ-3
प्रश्न 9. फलन f(x) = x³ − 3x ह्रासमान है अंतराल में:
(क) (−∞, −1) (ख) (−1, 1) (ग) (1, ∞) (घ) (−∞, ∞) [1]इ-3
(क) (−∞, −1) (ख) (−1, 1) (ग) (1, ∞) (घ) (−∞, ∞) [1]इ-3
प्रश्न 10. x > 0 के लिए x + 1x का न्यूनतम मान है:
(क) 1 (ख) 2 (ग) 0 (घ) 12 [1]इ-3
(क) 1 (ख) 2 (ग) 0 (घ) 12 [1]इ-3
प्रश्न 11. ∫ dxx² + 16 =
(क) 14 tan⁻¹(x4) + C (ख) 4 tan⁻¹(x4) + C (ग) tan⁻¹(x4) + C (घ) 116 tan⁻¹(x4) + C [1]इ-3
(क) 14 tan⁻¹(x4) + C (ख) 4 tan⁻¹(x4) + C (ग) tan⁻¹(x4) + C (घ) 116 tan⁻¹(x4) + C [1]इ-3
प्रश्न 12. ∫−π/2π/2 sin³x dx का मान है:
(क) 23 (ख) 0 (ग) 43 (घ) 1 [1]इ-3
(क) 23 (ख) 0 (ग) 43 (घ) 1 [1]इ-3
प्रश्न 13. ∫ eˣ(sin x + cos x) dx =
(क) eˣ cos x + C (ख) eˣ sin x + C (ग) eˣ(sin x − cos x) + C (घ) 2eˣ sin x + C [1]इ-3
(क) eˣ cos x + C (ख) eˣ sin x + C (ग) eˣ(sin x − cos x) + C (घ) 2eˣ sin x + C [1]इ-3
प्रश्न 14. अवकल समीकरण (d²y/dx²)³ + (dy/dx)⁴ + y = 0 की कोटि तथा घात क्रमशः हैं:
(क) 2, 3 (ख) 3, 2 (ग) 2, 4 (घ) 1, 4 [1]इ-3
(क) 2, 3 (ख) 3, 2 (ग) 2, 4 (घ) 1, 4 [1]इ-3
प्रश्न 15. दो सदिशों a, b के लिए a·b = 3, |a| = 2, |b| = 3 हो, तो उनके बीच का कोण है:
(क) π6 (ख) π4 (ग) π3 (घ) π2 [1]इ-4
(क) π6 (ख) π4 (ग) π3 (घ) π2 [1]इ-4
प्रश्न 16. रेखा r = (î + 2ĵ − k̂) + λ(2î − ĵ + 3k̂) का कार्तीय रूप है:
(क) x−12 = y−2−1 = z+13 (ख) x+12 = y+2−1 = z−13 (ग) x−11 = y−22 = z+1−1 (घ) x−21 = y−1−2 = z+33 [1]इ-4
(क) x−12 = y−2−1 = z+13 (ख) x+12 = y+2−1 = z−13 (ग) x−11 = y−22 = z+1−1 (घ) x−21 = y−1−2 = z+33 [1]इ-4
प्रश्न 17. दिक्-अनुपात (1, 2, 2) तथा (2, −2, 1) वाली रेखाओं के बीच का कोण है:
(क) 0 (ख) π4 (ग) π3 (घ) π2 [1]इ-4
(क) 0 (ख) π4 (ग) π3 (घ) π2 [1]इ-4
प्रश्न 18. निम्नलिखित में से कौन-सा किसी रेखा की दिक्-कोज्याओं का समुच्चय हो सकता है?
(क) 12, 12, 12 (ख) 13, 23, 23 (ग) 13, 13, 13 (घ) 23, 23, 23 [1]इ-4
(क) 12, 12, 12 (ख) 13, 23, 23 (ग) 13, 13, 13 (घ) 23, 23, 23 [1]इ-4
प्रश्न 19. अभिकथन (A): f(x) = |x| बिंदु x = 0 पर संतत है, परंतु अवकलनीय नहीं।
कारण (R): x = 0 पर f का बायाँ अवकलज −1 तथा दायाँ अवकलज 1 है।
(क) A तथा R दोनों सत्य हैं तथा R, A की सही व्याख्या है (ख) A तथा R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है (ग) A सत्य है, परंतु R असत्य है (घ) A असत्य है, परंतु R सत्य है [1]इ-3
कारण (R): x = 0 पर f का बायाँ अवकलज −1 तथा दायाँ अवकलज 1 है।
(क) A तथा R दोनों सत्य हैं तथा R, A की सही व्याख्या है (ख) A तथा R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है (ग) A सत्य है, परंतु R असत्य है (घ) A असत्य है, परंतु R सत्य है [1]इ-3
प्रश्न 20. अभिकथन (A): कोटि 3 के किसी विषम सममित आव्यूह A का सारणिक शून्य होता है।
कारण (R): |A′| = |A| तथा कोटि 3 के लिए |−A| = −|A| होता है।
(क) A तथा R दोनों सत्य हैं तथा R, A की सही व्याख्या है (ख) A तथा R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है (ग) A सत्य है, परंतु R असत्य है (घ) A असत्य है, परंतु R सत्य है [1]इ-2
कारण (R): |A′| = |A| तथा कोटि 3 के लिए |−A| = −|A| होता है।
(क) A तथा R दोनों सत्य हैं तथा R, A की सही व्याख्या है (ख) A तथा R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है (ग) A सत्य है, परंतु R असत्य है (घ) A असत्य है, परंतु R सत्य है [1]इ-2
खंड-ख : अति-लघूत्तरात्मक प्रश्न (प्रश्न 21–28, प्रत्येक 2 अंक)
प्रश्न 21. फलन f: R → R, f(x) = 2x + 3 एकैकी तथा आच्छादक है, सिद्ध कीजिए।
अथवा
सिद्ध कीजिए कि f: R → R, f(x) = x² न तो एकैकी है और न ही आच्छादक। [2]इ-1प्रश्न 22. cos(sin⁻¹35 + sin⁻¹513) का मान ज्ञात कीजिए।
अथवा
सिद्ध कीजिए: tan⁻¹12 + tan⁻¹13 = π4। [2]इ-1प्रश्न 23. यदि A = 3 1−1 2 हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² − 5A + 7I = O।
अथवा
x तथा y के मान ज्ञात कीजिए, यदि x+y 25 x−y = 7 25 1। [2]इ-2प्रश्न 24. एक गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या 2 सेमी/से की दर से बढ़ रही है। जब त्रिज्या 5 सेमी है, तब आयतन किस दर से बढ़ रहा है?
अथवा
फलन f(x) = x² − 4x + 6 के वर्धमान तथा ह्रासमान अंतराल ज्ञात कीजिए। [2]इ-3प्रश्न 25. अवकल समीकरण dydx = ex+y का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
अथवा
सत्यापित कीजिए कि y = a sin x + b cos x अवकल समीकरण d²ydx² + y = 0 का हल है। [2]इ-3प्रश्न 26. λ का मान ज्ञात कीजिए, यदि सदिश 2î + λĵ + k̂ तथा î − 2ĵ + 3k̂ परस्पर लंब हैं।
अथवा
सदिश a = î + 3ĵ + 7k̂ का सदिश b = 7î − ĵ + 8k̂ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए। [2]इ-4प्रश्न 27. बिंदुओं (−2, 4, −5) तथा (1, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा की दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
अथवा
दो रेखाओं, जिनके दिक्-अनुपात 2, 3, 6 तथा 1, 2, 2 हैं, के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए। [2]इ-4प्रश्न 28. यदि घटनाएँ A तथा B स्वतंत्र हैं, P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, तो P(A∩B) तथा P(A∪B) ज्ञात कीजिए।
अथवा
यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 तथा P(A∩B) = 0.2 हो, तो P(A|B) तथा P(B|A) ज्ञात कीजिए। [2]इ-6खंड-ग : लघूत्तरात्मक प्रश्न (प्रश्न 29–34, प्रत्येक 3 अंक)
प्रश्न 29. यदि x = a(θ + sin θ), y = a(1 − cos θ) हो, तो dydx ज्ञात कीजिए तथा θ = π2 पर इसका मान लिखिए।
अथवा
यदि y = 3cos(log x) + 4sin(log x) हो, तो सिद्ध कीजिए कि x²y″ + xy′ + y = 0। [3]इ-3प्रश्न 30. अवकल समीकरण xdydx + 2y = x² (x ≠ 0) को हल कीजिए।
अथवा
अवकल समीकरण y dx + (x − y²) dy = 0 को हल कीजिए। [3]इ-3प्रश्न 31. शीर्षों A(1, 1, 2), B(2, 3, 5), C(1, 5, 5) वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
अथवा
यदि a + b + c = 0, |a| = 3, |b| = 5, |c| = 7 हो, तो a तथा b के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। [3]इ-4प्रश्न 32. रेखाओं r = (î + ĵ) + λ(2î − ĵ + k̂) तथा r = (2î + ĵ − k̂) + μ(3î − 5ĵ + 2k̂) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
अथवा
रेखाओं x−31 = y−5−2 = z−71 तथा x−22 = y−43 = z−61 के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। [3]इ-4प्रश्न 33. दो पासे एक साथ फेंके गए। यदि कम से कम एक पासे पर 5 आया हो, तो योग 8 होने की सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
अथवा
52 पत्तों की भलीभाँति फेंटी गई गड्डी से दो पत्ते बिना प्रतिस्थापन के क्रमशः निकाले गए। दोनों पत्तों के बादशाह होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। [3]इ-6प्रश्न 34. थैला I में 3 लाल व 4 काली गेंदें तथा थैला II में 5 लाल व 6 काली गेंदें हैं। एक थैला यादृच्छया चुनकर उसमें से एक गेंद निकाली गई, जो लाल है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह गेंद थैला II से निकाली गई है।
अथवा
एक कारख़ाने में मशीनें A तथा B क्रमशः 70% तथा 30% वस्तुएँ बनाती हैं और उनकी 1% तथा 4% वस्तुएँ दोषपूर्ण हैं। एक वस्तु दोषपूर्ण पाई गई; उसके मशीन B द्वारा बनी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। [3]इ-6खंड-घ : दीर्घउत्तरीय प्रश्न (प्रश्न 35–38, प्रत्येक 4 अंक)
प्रश्न 35. आव्यूह A = 2 1 31 −1 23 2 1 का सारणिक, सहखंडज (adj A) तथा A⁻¹ ज्ञात कीजिए। इसकी सहायता से हल कीजिए: 2x + y + 3z = 7, x − y + 2z = 6, 3x + 2y + z = 3।
अथवा
गुणधर्मों का उपयोग कर सिद्ध कीजिए: 1 1 1a b ca² b² c² = (a − b)(b − c)(c − a)। [4]इ-2प्रश्न 36. y = (sin x)ˣ + xsin x का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।
अथवा
यदि f(x) = {1 − cos 4xx², x < 0; a, x = 0; √x√(16+√x) − 4, x > 0} बिंदु x = 0 पर संतत है, तो a का मान ज्ञात कीजिए। [4]इ-3प्रश्न 37. समाकलन ज्ञात कीजिए: ∫ 2x + 3x² + 4x + 13 dx।
अथवा
समाकलन ज्ञात कीजिए: ∫ √(x² + 2x + 5) dx। [4]इ-3प्रश्न 38. परवलय y² = 4x तथा रेखा y = x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
अथवा
समाकलन द्वारा दीर्घवृत्त x²9 + y²4 = 1 का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [4]इ-3खंड-ङ : निबंधात्मक प्रश्न (प्रश्न 39–40, प्रत्येक 5 अंक)
प्रश्न 39. समाकलन ज्ञात कीजिए: ∫ dx(x + 1)(x² + 1)।
अथवा
मान ज्ञात कीजिए: ∫0π x sin x1 + cos²x dx। [5]इ-3प्रश्न 40. आलेखीय विधि से हल कीजिए: Z = 4x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए, जबकि 2x + y ≤ 10, x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0।
अथवा
आलेखीय विधि से हल कीजिए: Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए, जबकि x + y ≥ 5, x + 3y ≥ 9, x ≥ 0, y ≥ 0। [5]इ-5अंक-विभाजन सारणी
| इकाई | अध्याय | अंक | प्रश्न संख्या |
|---|---|---|---|
| इकाई-1 सम्बन्ध तथा फलन | सम्बन्ध और फलन | 3 | 1, 21 |
| प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन | 5 | 2, 3, 4, 22 | |
| इकाई-2 बीजगणित | आव्यूह | 5 | 5, 6, 7, 23 |
| सारणिक | 5 | 20, 35 | |
| इकाई-3 कलन | सांतत्य तथा अवकलनीयता | 8 | 19, 29, 36 |
| अवकलजों के अनुप्रयोग | 5 | 8, 9, 10, 24 | |
| समाकल | 12 | 11, 12, 13, 37, 39 | |
| समाकलनों के अनुप्रयोग | 4 | 38 | |
| अवकल समीकरण | 6 | 14, 25, 30 | |
| इकाई-4 सदिश तथा त्रि-विमीय ज्यामिति | सदिश | 6 | 15, 26, 31 |
| त्रि-विमीय ज्यामिति | 8 | 16, 17, 18, 27, 32 | |
| इकाई-5 रैखिक प्रोग्रामन | रैखिक प्रोग्रामन | 5 | 40 |
| इकाई-6 प्रायिकता | प्रायिकता | 8 | 28, 33, 34 |
| कुल (इकाई 8 + 10 + 35 + 14 + 5 + 8) | 80 | ||
उत्तर-कुंजी एवं अंक-योजना
खंड-क (प्रत्येक 1 अंक)
1. (ख); 2. (ख); 3. (ग); 4. (ख); 5. (ख); 6. (ग); 7. (ख); 8. (ख); 9. (ख); 10. (ख); 11. (क); 12. (ख) (विषम फलन); 13. (ख); 14. (क); 15. (ग); 16. (क); 17. (घ); 18. (ख); 19. (क); 20. (क)।
खंड-ख से खंड-ङ
प्रश्न 21 (2): f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ + 3 = 2x₂ + 3 ⇒ x₁ = x₂, अतः एकैकी (1)। y ∈ R के लिए x = y−32 ∈ R तथा f(x) = y, अतः आच्छादक (1)।
अथवा: f(−1) = f(1) = 1 परंतु −1 ≠ 1, अतः एकैकी नहीं (1); −1 ∈ R का कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं, क्योंकि x² ≥ 0, अतः आच्छादक नहीं (1)।
अथवा: f(−1) = f(1) = 1 परंतु −1 ≠ 1, अतः एकैकी नहीं (1); −1 ∈ R का कोई पूर्व-प्रतिबिंब नहीं, क्योंकि x² ≥ 0, अतः आच्छादक नहीं (1)।
प्रश्न 22 (2): cos(sin⁻¹35) = 45, cos(sin⁻¹513) = 1213 (1)। cos(A+B) = 45·1213 − 35·513 = 3365 (1)।
अथवा: xy < 1 के लिए tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹x+y1−xy (1)। यहाँ 1/2 + 1/31 − 1/6 = 1, अतः tan⁻¹1 = π4 (1)।
अथवा: xy < 1 के लिए tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹x+y1−xy (1)। यहाँ 1/2 + 1/31 − 1/6 = 1, अतः tan⁻¹1 = π4 (1)।
प्रश्न 23 (2): A² = 8 5−5 3 (1)। A² − 5A + 7I = 8−15+7 5−5−5+5 3−10+7 = O (1)।
अथवा: अवयवों की समानता से x + y = 7, x − y = 1 (1); अतः x = 4, y = 3 (1)।
अथवा: अवयवों की समानता से x + y = 7, x − y = 1 (1); अतः x = 4, y = 3 (1)।
प्रश्न 24 (2): V = 43πr³ ⇒ dVdt = 4πr²drdt (1) = 4π(25)(2) = 200π सेमी³/से (1)।
अथवा: f′(x) = 2x − 4 (1); f′ > 0 ⇔ x > 2: वर्धमान (2, ∞), ह्रासमान (−∞, 2) (1)।
अथवा: f′(x) = 2x − 4 (1); f′ > 0 ⇔ x > 2: वर्धमान (2, ∞), ह्रासमान (−∞, 2) (1)।
प्रश्न 25 (2): चरों को पृथक करने पर e−ydy = eˣdx (1); समाकलन: −e−y = eˣ + c, अर्थात् eˣ + e−y = C (1)।
अथवा: y′ = a cos x − b sin x, y″ = −a sin x − b cos x = −y (1); अतः y″ + y = 0 सिद्ध (1)।
अथवा: y′ = a cos x − b sin x, y″ = −a sin x − b cos x = −y (1); अतः y″ + y = 0 सिद्ध (1)।
प्रश्न 26 (2): लंब होने पर a·b = 0 ⇒ 2 − 2λ + 3 = 0 (1) ⇒ λ = 52 (1)।
अथवा: a·b = 7 − 3 + 56 = 60, |b| = √114 (1); प्रक्षेप = 60√114 (1)।
अथवा: a·b = 7 − 3 + 56 = 60, |b| = √114 (1); प्रक्षेप = 60√114 (1)।
प्रश्न 27 (2): दिक्-अनुपात: 1+2, 2−4, 3+5 = 3, −2, 8 (1); √(9+4+64) = √77, अतः दिक्-कोज्याएँ 3√77, −2√77, 8√77 (1)।
अथवा: cos θ = |2+6+12|√49·√9 (1) = 2021 (1)।
अथवा: cos θ = |2+6+12|√49·√9 (1) = 2021 (1)।
प्रश्न 28 (2): P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.12 (1); P(A∪B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58 (1)।
अथवा: P(A|B) = 0.20.5 = 0.4 (1); P(B|A) = 0.20.8 = 0.25 (1)।
अथवा: P(A|B) = 0.20.5 = 0.4 (1); P(B|A) = 0.20.8 = 0.25 (1)।
प्रश्न 29 (3): dxdθ = a(1 + cos θ), dydθ = a sin θ (1); dydx = sin θ1 + cos θ = tanθ2 (1); θ = π2 पर मान = tanπ4 = 1 (1)।
अथवा: xy′ = −3 sin(log x) + 4 cos(log x) (1); पुनः अवकलन: y′ + xy″ = −3cos(log x) − 4sin(log x)x = −yx (1); x से गुणा: x²y″ + xy′ + y = 0 (1)।
अथवा: xy′ = −3 sin(log x) + 4 cos(log x) (1); पुनः अवकलन: y′ + xy″ = −3cos(log x) − 4sin(log x)x = −yx (1); x से गुणा: x²y″ + xy′ + y = 0 (1)।
प्रश्न 30 (3): dydx + 2xy = x (1); समाकलन गुणक = e∫(2/x)dx = x² (1); yx² = ∫x³dx = x⁴4 + C ⇒ y = x²4 + Cx² (1)।
अथवा: dxdy + xy = y (1); समाकलन गुणक = y (1); xy = ∫y²dy ⇒ xy = y³3 + C (1)।
अथवा: dxdy + xy = y (1); समाकलन गुणक = y (1); xy = ∫y²dy ⇒ xy = y³3 + C (1)।
प्रश्न 31 (3): AB = î + 2ĵ + 3k̂, AC = 4ĵ + 3k̂ (1); AB × AC = −6î − 3ĵ + 4k̂ (1); |AB × AC| = √61, क्षेत्रफल = √612 वर्ग इकाई (1)।
अथवा: a + b = −c ⇒ |a + b|² = 49 (1); 9 + 25 + 2a·b = 49 ⇒ a·b = 152 (1); cos θ = 15/215 = 12 ⇒ θ = 60° (π3) (1)।
अथवा: a + b = −c ⇒ |a + b|² = 49 (1); 9 + 25 + 2a·b = 49 ⇒ a·b = 152 (1); cos θ = 15/215 = 12 ⇒ θ = 60° (π3) (1)।
प्रश्न 32 (3): a₂ − a₁ = î − k̂ (½); b₁ × b₂ = 3î − ĵ − 7k̂ (1), इसका परिमाण √59 (½); d = |(a₂−a₁)·(b₁×b₂)||b₁×b₂| = |3 + 7|√59 = 10√59 इकाई (1)।
अथवा: बिंदु (3,5,7), (2,4,6): अंतर (−1,−1,−1) (½); b₁ = (1,−2,1), b₂ = (2,3,1): b₁×b₂ = (−5, 1, 7) (1), परिमाण 5√3 (½); अदिश गुणनफल = 5 − 1 − 7 = −3, d = 35√3 = √35 इकाई (1)।
अथवा: बिंदु (3,5,7), (2,4,6): अंतर (−1,−1,−1) (½); b₁ = (1,−2,1), b₂ = (2,3,1): b₁×b₂ = (−5, 1, 7) (1), परिमाण 5√3 (½); अदिश गुणनफल = 5 − 1 − 7 = −3, d = 35√3 = √35 इकाई (1)।
प्रश्न 33 (3): F = "कम से कम एक 5": 11 परिणाम (1); E∩F = {(5,3), (3,5)}: 2 परिणाम (1); P(E|F) = 211 (1)।
अथवा: P(पहला बादशाह) = 452 (1); P(दूसरा बादशाह | पहला बादशाह) = 351 (1); गुणनफल = 1221 (1)।
अथवा: P(पहला बादशाह) = 452 (1); P(दूसरा बादशाह | पहला बादशाह) = 351 (1); गुणनफल = 1221 (1)।
प्रश्न 34 (3): P(I) = P(II) = 12; P(लाल|I) = 37, P(लाल|II) = 511 (1); बेज़ प्रमेय: P(II|लाल) = ½·5/11½·3/7 + ½·5/11 (1) = 3568 (1)।
अथवा: P(D) = 0.7×0.01 + 0.3×0.04 = 0.019 (1); P(B|D) = 0.3×0.040.019 (1) = 1219 (1)।
अथवा: P(D) = 0.7×0.01 + 0.3×0.04 = 0.019 (1); P(B|D) = 0.3×0.040.019 (1) = 1219 (1)।
प्रश्न 35 (4): |A| = 2(−1−4) − 1(1−6) + 3(2+3) = 10 ≠ 0 (1)। सहखंड: C₁₁=−5, C₁₂=5, C₁₃=5, C₂₁=5, C₂₂=−7, C₂₃=−1, C₃₁=5, C₃₂=−1, C₃₃=−3; adj A = −5 5 55 −7 −15 −1 −3 (1); A⁻¹ = 110 adj A (½)। AX = B ⇒ X = A⁻¹B = 110(10, −10, 20) ⇒ x = 1, y = −1, z = 2 (1½)।
अथवा: C₂ → C₂ − C₁, C₃ → C₃ − C₁ (1): पहली पंक्ति (1, 0, 0) बनती है (1); प्रथम पंक्ति से प्रसार: (b−a)(c−a)[(c+a) − (b+a)] = (b−a)(c−a)(c−b) (1) = (a−b)(b−c)(c−a) (1)।
अथवा: C₂ → C₂ − C₁, C₃ → C₃ − C₁ (1): पहली पंक्ति (1, 0, 0) बनती है (1); प्रथम पंक्ति से प्रसार: (b−a)(c−a)[(c+a) − (b+a)] = (b−a)(c−a)(c−b) (1) = (a−b)(b−c)(c−a) (1)।
प्रश्न 36 (4): u = (sin x)ˣ: log u = x log sin x ⇒ u′ = (sin x)ˣ[x cot x + log sin x] (2)। v = xsin x: log v = sin x · log x ⇒ v′ = xsin x[sin xx + cos x · log x] (1½)। dy/dx = u′ + v′ (½)।
अथवा: LHL = lim 2sin²2xx² = 8 (1½); RHL: अंश-हर को √(16+√x)+4 से गुणा करने पर √(16+√x) + 4 → 8 (1½); f(0) = a; संततता से a = 8 (1)।
अथवा: LHL = lim 2sin²2xx² = 8 (1½); RHL: अंश-हर को √(16+√x)+4 से गुणा करने पर √(16+√x) + 4 → 8 (1½); f(0) = a; संततता से a = 8 (1)।
प्रश्न 37 (4): 2x + 3 = (2x + 4) − 1 (1); ∫2x+4x²+4x+13dx = log(x²+4x+13) (1); ∫dx(x+2)²+3² = 13tan⁻¹x+23 (1); उत्तर: log(x²+4x+13) − 13 tan⁻¹x+23 + C (1)।
अथवा: x² + 2x + 5 = (x+1)² + 2² (1); सूत्र ∫√(t²+a²)dt = t2√(t²+a²) + a²2log|t+√(t²+a²)| (1); t = x+1, a = 2 (1); 12(x+1)√(x²+2x+5) + 2 log|x+1+√(x²+2x+5)| + C (1)।
अथवा: x² + 2x + 5 = (x+1)² + 2² (1); सूत्र ∫√(t²+a²)dt = t2√(t²+a²) + a²2log|t+√(t²+a²)| (1); t = x+1, a = 2 (1); 12(x+1)√(x²+2x+5) + 2 log|x+1+√(x²+2x+5)| + C (1)।
प्रश्न 38 (4): x² = 4x ⇒ प्रतिच्छेद बिंदु (0,0) तथा (4,4) (1); क्षेत्रफल = ∫₀⁴(2√x − x)dx (1) = [ 43x3/2 − x²2 ]₀⁴ (1) = 323 − 8 = 83 वर्ग इकाई (1)।
अथवा: y = 23√(9−x²) (1); क्षेत्रफल = 4∫₀³23√(9−x²)dx (1); ∫₀³√(9−x²)dx = [ x2√(9−x²) + 92sin⁻¹x3 ]₀³ = 9π4 (1); क्षेत्रफल = 4·23·9π4 = 6π वर्ग इकाई (1)।
अथवा: y = 23√(9−x²) (1); क्षेत्रफल = 4∫₀³23√(9−x²)dx (1); ∫₀³√(9−x²)dx = [ x2√(9−x²) + 92sin⁻¹x3 ]₀³ = 9π4 (1); क्षेत्रफल = 4·23·9π4 = 6π वर्ग इकाई (1)।
प्रश्न 39 (5): 1(x+1)(x²+1) = Ax+1 + Bx + Cx²+1 (1); 1 = A(x²+1) + (Bx+C)(x+1) से A = 12, B = −12, C = 12 (2); समाकलन: 12log|x+1| − 14log(x²+1) + 12tan⁻¹x + C (2)।
अथवा: I = ∫₀^π (π−x) sin x1+cos²x dx (1) ⇒ 2I = π∫₀^π sin x1+cos²x dx (1); t = cos x, dt = −sin x dx (1): 2I = π∫−11dt1+t² (1) = π[tan⁻¹t]−11 = π·π2 ⇒ I = π²4 (1)।
अथवा: I = ∫₀^π (π−x) sin x1+cos²x dx (1) ⇒ 2I = π∫₀^π sin x1+cos²x dx (1); t = cos x, dt = −sin x dx (1): 2I = π∫−11dt1+t² (1) = π[tan⁻¹t]−11 = π·π2 ⇒ I = π²4 (1)।
प्रश्न 40 (5): सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध (bounded) है (1½); कोनीय बिंदु: (0,0), (5,0), (4,2), (0,4) [(4,2) रेखाओं 2x+y=10 व x+2y=8 का प्रतिच्छेद] (1½); Z के मान क्रमशः 0, 20, 22, 12 (1); अधिकतम Z = 22 बिंदु (4, 2) पर (1)।
अथवा: सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है (1½); कोनीय बिंदु: (0,5), (3,2), (9,0) (1½); Z = 10, 7, 9 (1); न्यूनतम का सत्यापन: x + 2y < 7 का सुसंगत क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं, अतः न्यूनतम Z = 7 बिंदु (3, 2) पर (1)।
अथवा: सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध (unbounded) है (1½); कोनीय बिंदु: (0,5), (3,2), (9,0) (1½); Z = 10, 7, 9 (1); न्यूनतम का सत्यापन: x + 2y < 7 का सुसंगत क्षेत्र से कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं, अतः न्यूनतम Z = 7 बिंदु (3, 2) पर (1)।
टिप्पणी: वैकल्पिक सही विधि से हल करने पर भी पूर्ण अंक दें; खंड-ग/घ/ङ में अंतिम उत्तर सही होने पर भी चरणों के अंक पृथक् रूप से दिए जाएँ।
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