📚 RBSE/NCERT कक्षा 10 गणित
अध्याय 2: बहुपद
Chapter 2: Polynomials
📖 परीक्षा भार: 4 अंक
⏱️ पढ़ने का समय: 45 मिनट
📝 30+ MCQs
4
मुख्य टॉपिक्स
8
महत्वपूर्ण सूत्र
30+
MCQ प्रश्न
100%
Syllabus Coverage
📋 विषय सूची (Table of Contents)
📘 1. बहुपद का परिचय (Introduction to Polynomials)
📌 परिभाषा (Definition)
बहुपद (Polynomial) वह बीजीय व्यंजक है जिसमें चर (variable) की घातें (powers) केवल पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3...) होती हैं।
A Polynomial is an algebraic expression where the powers of the variable are only whole numbers.
📐 व्यापक रूप (General Form)
p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀
जहाँ: aₙ, aₙ₋₁, ..., a₁, a₀ = गुणांक (coefficients), x = चर, n = घात (degree)
📗 2. बहुपदों के प्रकार (Types of Polynomials)
🔢 घात के आधार पर (Based on Degree)
📊 पदों की संख्या के आधार पर
एकपदी (Monomial)
एक पद वाला बहुपद
5x², 3x, 7
द्विपदी (Binomial)
दो पद वाला बहुपद
x + 3, 2x² - 5
त्रिपदी (Trinomial)
तीन पद वाला बहुपद
x² + 2x + 1
📙 3. बहुपद के शून्यक (Zeroes of a Polynomial)
📌 शून्यक की परिभाषा
बहुपद p(x) का शून्यक (Zero) वह मान है जिसके लिए p(x) = 0 होता है।
अर्थात्, यदि p(k) = 0, तो k बहुपद p(x) का शून्यक है।
⚠️ महत्वपूर्ण नियम
n घात वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक हो सकते हैं।
A polynomial of degree n can have at most n zeroes.
🔗 4. शून्यकों और गुणांकों में संबंध
द्विघात बहुपद: ax² + bx + c (शून्यक: α, β)
शून्यकों का योग
α + β = -b/a
शून्यकों का गुणनफल
αβ = c/a
त्रिघात बहुपद: ax³ + bx² + cx + d (शून्यक: α, β, γ)
शून्यकों का योग
α + β + γ = -b/a
दो-दो का गुणनफल का योग
αβ + βγ + γα = c/a
तीनों का गुणनफल
αβγ = -d/a
📝 शून्यकों से बहुपद बनाना
द्विघात बहुपद का सूत्र:
p(x) = x² - (α + β)x + αβ
= x² - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल)
➗ 5. विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm)
📐 विभाजन एल्गोरिथ्म सूत्र
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
p(x) = भाज्य (Dividend)
g(x) = भाजक (Divisor)
q(x) = भागफल (Quotient)
r(x) = शेषफल (Remainder)
⚠️ महत्वपूर्ण शर्त
शेषफल r(x) = 0 या r(x) की घात < g(x) की घात
📋 6. सूत्र सारणी (Formula Table)
✍️ 7. हल सहित उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1
प्रश्न: द्विघात बहुपद x² - 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
p(x) = x² - 7x + 10
= x² - 5x - 2x + 10
= x(x - 5) - 2(x - 5)
= (x - 5)(x - 2)
p(x) = 0 रखने पर: (x - 5)(x - 2) = 0
p(x) = x² - 7x + 10
= x² - 5x - 2x + 10
= x(x - 5) - 2(x - 5)
= (x - 5)(x - 2)
p(x) = 0 रखने पर: (x - 5)(x - 2) = 0
∴ शून्यक: x = 5, x = 2
सत्यापन: योग = 5 + 2 = 7 = -(-7)/1 ✓ | गुणनफल = 5 × 2 = 10 = 10/1 ✓
उदाहरण 2
प्रश्न: एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग -3 और गुणनफल 2 है।
हल:
दिया है: α + β = -3, αβ = 2
सूत्र: p(x) = x² - (α + β)x + αβ
= x² - (-3)x + 2
दिया है: α + β = -3, αβ = 2
सूत्र: p(x) = x² - (α + β)x + αβ
= x² - (-3)x + 2
p(x) = x² + 3x + 2
उदाहरण 3
प्रश्न: यदि बहुपद x² - 5x + 6 के शून्यक α और β हैं, तो α² + β² का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
α + β = -(-5)/1 = 5, αβ = 6/1 = 6
सूत्र: α² + β² = (α + β)² - 2αβ
= (5)² - 2(6)
= 25 - 12
α + β = -(-5)/1 = 5, αβ = 6/1 = 6
सूत्र: α² + β² = (α + β)² - 2αβ
= (5)² - 2(6)
= 25 - 12
α² + β² = 13
📝 8. MCQ प्रश्न (30+ Objective Questions)
⚡ Quick Revision Notes
बहुपद: चर की घातें पूर्ण संख्याएँ
n घात: अधिकतम n शून्यक
योग: α + β = -b/a
गुणनफल: αβ = c/a
विभाजन: p(x) = g(x)·q(x) + r(x)
α² + β²: (α+β)² - 2αβ
📚 संबंधित अध्याय:
🙏 धन्यवाद 🙏
मार्गदर्शक
श्री सुरेंद्र सिंह चौहान
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