Class 12 Maths Calculus 2027 | 50 Solved Questions in Hindi | RBSE CBSE

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Class 12 Maths Calculus 2027: 50 Solved Questions | कक्षा 12 कैलकुलस के 50 हल सहित प्रश्न

NCERT आधारित अभ्यास: Continuity, Derivatives, Integrals, Applications और Differential Equations। हर प्रश्न का चरणबद्ध हल।

RBSE / CBSE Concepts50 Worked SolutionsFree Revision

संपादकीय नोट: ये मौलिक अभ्यास प्रश्न हैं, आधिकारिक 2027 बोर्ड प्रश्नपत्र या निश्चित परीक्षा प्रश्न नहीं। नवीनतम पाठ्यक्रम, अध्याय-भार और परीक्षा प्रारूप बोर्ड की आधिकारिक वेबसाइट से जाँचें। सभी सूत्रों में C मनमाना समाकलन स्थिरांक है। त्रिकोणमितीय अवकलन व समाकलन में कोण रेडियन में हैं।
संपादकीय सूचना (अक्टूबर 2026): यह 50 मौलिक अभ्यास प्रश्नों का संग्रह है, आधिकारिक बोर्ड प्रश्नपत्र या निश्चित संभावित प्रश्नों की सूची नहीं। RBSE/CBSE के अंकभार तथा अध्याय-सीमा की अंतिम पुष्टि आधिकारिक सत्र 2026–27 पाठ्यक्रम से करें। वेबसाइट पर उपलब्ध अलग-अलग संक्षिप्त ब्लूप्रिंट में कुछ अंक-विभाजन असंगत हैं; यहाँ किसी अपुष्ट विभाजन को अंतिम नहीं बताया गया है।

विषय सूची

  1. Continuity and Differentiability — सांतत्य एवं अवकलनीयता
  2. Applications of Derivatives — अवकलज के अनुप्रयोग
  3. Integrals — समाकलन
  4. Applications of Integrals — समाकलन के अनुप्रयोग
  5. Differential Equations — अवकल समीकरण
  6. प्रश्न हल करने की रणनीति और सामान्य गलतियाँ
  7. अध्ययन स्रोत

Calculus Concept Map

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1. Continuity and Differentiability — सांतत्य एवं अवकलनीयता

इस खंड में 10 अभ्यास प्रश्न हैं। पहले स्वयं हल करें, फिर विधि और उत्तर मिलाएँ।

प्रश्न 1. जाँचें: f(x)=x²+3x, x=2 पर सतत है?
हल: बहुपद हर वास्तविक संख्या पर सतत है। f(2)=4+6=10 और lim(x→2)f(x)=10। अतः सतत।
प्रश्न 2. f(x)=|x|, x=0 पर अवकलनीय है?
हल: बायाँ अवकलज −1 तथा दायाँ अवकलज +1 है। दोनों असमान हैं; अतः अवकलनीय नहीं, यद्यपि सतत है।

जाँच: दायाँ अवकलज lim(h→0⁺)|h|/h=1; बायाँ अवकलज lim(h→0⁻)|h|/h=−1। अतः x=0 पर अवकलनीय नहीं।

प्रश्न 3. d/dx (x³−5x²+7)
हल: घात नियम से 3x²−10x।
प्रश्न 4. d/dx (sin x cos x)
हल: गुणन नियम: cos²x−sin²x = cos 2x।
प्रश्न 5. d/dx [ln(x²+1)]
हल: श्रृंखला नियम: (1/(x²+1))×2x = 2x/(x²+1)।
प्रश्न 6. d/dx (e^(3x))
हल: श्रृंखला नियम: e^(3x)×3 = 3e^(3x)।
प्रश्न 7. d/dx (tan⁻¹ x)
हल: मानक सूत्र: 1/(1+x²)।
प्रश्न 8. यदि y=xˣ, x>0, तो dy/dx
हल: ln y=x ln x; (1/y)y′=ln x+1; इसलिए y′=xˣ(ln x+1)।

जाँच: xˣ = e^(x ln x), इसलिए chain rule से वही उत्तर प्राप्त होता है; वास्तविक मानों के लिए x>0 आवश्यक है।

प्रश्न 9. x²+y²=25 के लिए dy/dx
हल: अप्रत्यक्ष अवकलन: 2x+2yy′=0 ⇒ y′=−x/y (y≠0)।
प्रश्न 10. यदि x=t² और y=t³, t≠0, तो dy/dx
हल: dy/dt=3t², dx/dt=2t; dy/dx=(3t²)/(2t)=3t/2।

2. Applications of Derivatives — अवकलज के अनुप्रयोग

इस खंड में 10 अभ्यास प्रश्न हैं। पहले स्वयं हल करें, फिर विधि और उत्तर मिलाएँ।

प्रश्न 11. f(x)=x²−4x+1 के स्थिर बिंदु
हल: f′(x)=2x−4=0 ⇒ x=2; f″=2>0, अतः न्यूनतम मान f(2)=−3।

दूसरी विधि: f(x)=(x−2)²−3, इसलिए न्यूनतम मान −3 है।

प्रश्न 12. y=x² पर x=1 में स्पर्शरेखा
हल: dy/dx=2x ⇒ ढाल 2; y−1=2(x−1) ⇒ y=2x−1।
प्रश्न 13. y=x² पर x=1 में अभिलंब
हल: स्पर्शरेखा की ढाल 2; अभिलंब −1/2; y−1=−(x−1)/2।
प्रश्न 14. f(x)=x³−3x के वृद्धि-अंतराल
हल: f′=3(x²−1)>0 जब x<−1 या x>1; अतः (−∞,−1) और (1,∞)।
प्रश्न 15. f(x)=x³−3x के ह्रास-अंतराल
हल: f′=3(x²−1)<0 जब −1<x<1; अतः (−1,1)।
प्रश्न 16. x²+y²=25 पर (3,4) में स्पर्शरेखा की ढाल
हल: 2x+2yy′=0 ⇒ y′=−x/y=−3/4।
प्रश्न 17. त्रिज्या r वाले वृत्त का क्षेत्रफल बदलने की दर dA/dr
हल: A=πr² ⇒ dA/dr=2πr।
प्रश्न 18. f(x)=x², x=2 पर रैखिक सन्निकटन से (2.01)²
हल: f(2)=4; f′(2)=4; Δx=0.01 ⇒ 4+4(0.01)=4.04 (वास्तविक 4.0401)।
प्रश्न 19. परिमाप 20 वाले आयत का अधिकतम क्षेत्रफल
हल: लंबाई x, चौड़ाई 10−x; A=x(10−x); A′=10−2x=0 ⇒ x=5; अधिकतम क्षेत्रफल 25।

जाँच: A=25−(x−5)² ≤25, अतः अधिकतम 25 वर्ग इकाई; आयत वास्तव में वर्ग होगा।

प्रश्न 20. f(x)=x³−6x²+9x का स्थानीय अधिकतम
हल: f′=3(x−1)(x−3); x=1 पर + से − परिवर्तन; f(1)=4, स्थानीय अधिकतम 4।

3. Integrals — समाकलन

इस खंड में 10 अभ्यास प्रश्न हैं। पहले स्वयं हल करें, फिर विधि और उत्तर मिलाएँ।

प्रश्न 21. ∫x³ dx
हल: घात नियम: x⁴/4+C।
प्रश्न 22. ∫(3x²−4x+5) dx
हल: पदवार समाकलन: x³−2x²+5x+C।
प्रश्न 23. ∫cos x dx
हल: sin x+C।
प्रश्न 24. ∫sin x dx
हल: −cos x+C।
प्रश्न 25. ∫e^(2x) dx
हल: प्रतिस्थापन u=2x: e^(2x)/2+C।
प्रश्न 26. ∫1/(1+x²) dx
हल: tan⁻¹x+C।
प्रश्न 27. ∫2x/(x²+1) dx
हल: u=x²+1, du=2x dx ⇒ ln(x²+1)+C।

Domain: x²+1 सदैव धनात्मक है, इसलिए ln(x²+1) में modulus आवश्यक नहीं।

प्रश्न 28. ∫x e^(x²) dx
हल: u=x² ⇒ du=2x dx; उत्तर (1/2)e^(x²)+C।
प्रश्न 29. ∫₀¹ 2x dx
हल: [x²]₀¹=1−0=1।
प्रश्न 30. ∫₀^π sin x dx
हल: [−cos x]₀^π=−cos π+cos 0=2।

4. Applications of Integrals — समाकलन के अनुप्रयोग

इस खंड में 10 अभ्यास प्रश्न हैं। पहले स्वयं हल करें, फिर विधि और उत्तर मिलाएँ।

प्रश्न 31. y=x, x=0 से x=2 के नीचे क्षेत्रफल
हल: ∫₀² x dx=[x²/2]₀²=2 वर्ग इकाई।
प्रश्न 32. y=x², x=0 से x=1 के नीचे क्षेत्रफल
हल: ∫₀¹ x² dx=[x³/3]₀¹=1/3 वर्ग इकाई।
प्रश्न 33. y=4 और x-अक्ष के बीच x=1 से 3 का क्षेत्रफल
हल: ∫₁³4 dx=4(3−1)=8 वर्ग इकाई।
प्रश्न 34. y=x तथा y=x² के बीच क्षेत्रफल
हल: प्रतिच्छेद x=0,1; ∫₀¹(x−x²)dx=1/2−1/3=1/6।

क्यों? 0 से 1 पर x≥x²; इसलिए ऊपर का फलन − नीचे का फलन समाकलित किया जाता है।

प्रश्न 35. y=2x तथा y=x² के बीच क्षेत्रफल
हल: प्रतिच्छेद x=0,2; ∫₀²(2x−x²)dx=[x²−x³/3]₀²=4/3।
प्रश्न 36. y=4−x² और x-अक्ष के बीच कुल क्षेत्रफल
हल: शून्य x=−2,2; ∫₋₂²(4−x²)dx=32/3 वर्ग इकाई।
प्रश्न 37. y=|x| के नीचे −1 से 1 क्षेत्रफल
हल: सममिति से 2∫₀¹x dx=1 वर्ग इकाई।
प्रश्न 38. y=sin x तथा x-अक्ष के बीच 0 से π क्षेत्रफल
हल: sin x≥0; ∫₀^π sin x dx=2 वर्ग इकाई।
प्रश्न 39. y=x² और y=2−x² के बीच क्षेत्रफल
हल: प्रतिच्छेद x=±1; ∫₋₁¹(2−2x²)dx=8/3 वर्ग इकाई।
प्रश्न 40. y=x−1 तथा x-अक्ष के बीच x=0 से 2 का कुल क्षेत्रफल
हल: x=1 पर चिह्न बदलता है; ∫₀¹(1−x)dx+∫₁²(x−1)dx=1/2+1/2=1।

सावधानी: ∫₀²(x−1)dx=0 signed integral है, लेकिन ज्यामितीय कुल क्षेत्रफल 1 है।

5. Differential Equations — अवकल समीकरण

इस खंड में 10 अभ्यास प्रश्न हैं। पहले स्वयं हल करें, फिर विधि और उत्तर मिलाएँ।

प्रश्न 41. dy/dx=3x² का सामान्य हल
हल: दोनों पक्ष समाकलित: y=∫3x² dx=x³+C।
प्रश्न 42. dy/dx=2x, y(0)=3
हल: y=x²+C; y(0)=3 ⇒ C=3; y=x²+3।
प्रश्न 43. dy/dx=y का सामान्य हल
हल: चर पृथक्करण: dy/y=dx ⇒ ln|y|=x+C; y=Ceˣ (शून्य हल सहित)।

सावधानी: y से भाग देने पर शून्य हल छूट सकता है; अंतिम परिवार y=Ceˣ में C=0 उसे भी शामिल करता है।

प्रश्न 44. dy/dx=xy का सामान्य हल
हल: dy/y=x dx ⇒ ln|y|=x²/2+C; y=Ce^(x²/2)।
प्रश्न 45. dy/dx=x/y, y≠0
हल: y dy=x dx ⇒ y²/2=x²/2+C ⇒ y²−x²=C₁।

जाँच: 2y(dy/dx)−2x=0 ⇒ dy/dx=x/y, जहाँ y≠0।

प्रश्न 46. dy/dx+2y=0, y(0)=5
हल: dy/y=−2dx ⇒ y=Ce^(−2x); C=5; y=5e^(−2x)।
प्रश्न 47. dy/dx=cos x, y(0)=1
हल: y=sin x+C; x=0 पर C=1; y=sin x+1।
प्रश्न 48. dy/dx=1+x² का सामान्य हल
हल: y=∫(1+x²)dx=x+x³/3+C।
प्रश्न 49. dy/dx=(1+y²), y(0)=0
हल: dy/(1+y²)=dx ⇒ tan⁻¹y=x+C; C=0; y=tan x (मूल बिंदु के निकट मान्य अंतराल)।

परिभाषा-क्षेत्र: प्रारंभिक शर्त के आसपास अधिकतम अंतराल −π/2 < x < π/2 है।

प्रश्न 50. d²y/dx²=6x, y(0)=1, y′(0)=2
हल: पहला समाकलन y′=3x²+C₁; C₁=2। दूसरा y=x³+2x+C₂; C₂=1। इसलिए y=x³+2x+1।

उन्नत अभ्यास: यह द्वितीय-कोटि अवकल समीकरण है। इसे अतिरिक्त अवधारणात्मक अभ्यास समझें; इसे RBSE/CBSE के निर्धारित प्रथम-कोटि अध्याय का अनिवार्य प्रश्न न मानें।

6. बोर्ड परीक्षा में समाधान लिखने की सही विधि

  1. दिए गए फलन का क्षेत्र (domain) और आवश्यक शर्तें देखें।
  2. उपयुक्त नियम पहचानें: chain, product, substitution, integration by parts या separation।
  3. मध्यवर्ती चरण दिखाएँ; केवल अंतिम उत्तर लिखकर न रुकें।
  4. अनिश्चित समाकलन में +C अवश्य लिखें।
  5. क्षेत्रफल हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है; जहाँ ग्राफ अक्ष काटे, समाकलन विभाजित करें।
  6. अवकल समीकरण में प्रारंभिक शर्त देकर स्थिरांक ज्ञात करें।

पाँच सामान्य गलतियाँ

1. d/dx sin x = cos x, जबकि ∫sin x dx = −cos x+C। 2. ln|x| और ln(x²+1) के domain को न भूलें। 3. |x| का x=0 पर अवकलज नहीं है। 4. समाकलन में ऊपरी और निचली सीमा उलटने से चिह्न बदलता है। 5. सभी स्थिर बिंदु अधिकतम या न्यूनतम नहीं होते; चिह्न-परीक्षण जरूरी है।

7-दिवसीय अभ्यास योजना

दिनकार्य
1प्रश्न 1–10 और अवकलन सूत्र
2प्रश्न 11–20, स्पर्शरेखा एवं extrema
3प्रश्न 21–30, समाकलन सूत्र
4प्रश्न 31–40, क्षेत्रफल के चित्र
5प्रश्न 41–50, अवकल समीकरण
6सभी गलत प्रश्न पुनः हल करें
7बिना समाधान देखे मिश्रित मॉक टेस्ट

आधिकारिक अध्ययन स्रोत एवं संबंधित सामग्री

शिक्षक की सलाह: इस संग्रह को अवधारणात्मक अभ्यास के लिए उपयोग करें। NCERT के विविध प्रश्न, उदाहरण और बोर्ड के आधिकारिक मॉडल पेपर भी हल करें।

NCERTClasses.com — संबंधित अध्ययन लिंक (प्रकाशित लेख)पुराने सत्र के लेख अवधारणा-अभ्यास के लिए हैं; 2027 के अधिकृत परीक्षा-पैटर्न का प्रमाण नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

क्या ये 50 प्रश्न RBSE और CBSE दोनों के लिए हैं?

ये NCERT-आधारित अवधारणात्मक प्रश्न हैं। दोनों बोर्डों के विद्यार्थियों को उपयोगी हो सकते हैं, पर प्रश्नों का वास्तविक चयन तथा अंक-विभाजन बोर्ड के नवीनतम पाठ्यक्रम और मॉडल पेपर से तय करें।

निश्चित समाकलन में +C क्यों नहीं लिखते?

क्योंकि निश्चित समाकलन सीमाओं के बीच एक संख्यात्मक मान देता है; प्रतिअवकलज में जोड़ा गया स्थिरांक घटाने पर निरस्त हो जाता है।

क्षेत्रफल निकालते समय ऋणात्मक उत्तर आए तो?

ज्यामितीय क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं होता। फलन का चिह्न बदलने वाले बिंदुओं पर अंतराल विभाजित करके |f(x)| अथवा ऊपर-नीचे फलनों का अंतर समाकलित करें।

अवकलनीयता और सातत्य में क्या संबंध है?

किसी बिंदु पर अवकलनीय फलन उस बिंदु पर सतत अवश्य होता है, पर सतत फलन हमेशा अवकलनीय नहीं होता; जैसे |x|, x=0 पर।

उत्तर स्वयं कैसे सत्यापित करें?

अवकलज वाले उत्तरों को मूल फलन पर पुनः लागू करें; अनिश्चित समाकलन के उत्तर का अवकलन लेकर integrand मिलाएँ; अवकल समीकरण का हल मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। अधिकतम/न्यूनतम में derivative sign या second derivative test जाँचें।

अध्ययन क्रम: पहले 1–20 प्रश्न बिना उत्तर देखें, फिर 21–30 में integration techniques, 31–40 में sketch एवं sign analysis और 41–49 में substitution द्वारा जाँच करें। प्रश्न 50 अतिरिक्त अभ्यास है।
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