11-12 Science

RBSE Class 11 Maths Answer Key 2026 PDF | कक्षा 11 गणित उत्तर कुंजी

📅 Thursday, 5 March 2026 📖 पढ़ रहे हैं...
📘 RBSE Class 11 Maths 2026 – Model Paper & Answer Key

अगर आप RBSE Class 11 Maths Exam 2026 की तैयारी कर रहे हैं तो नीचे दिए गए लिंक से Model Paper PDF तथा उसका Solved Answer Key अवश्य देखें।

इन दोनों लेखों की सहायता से आप RBSE कक्षा 11 गणित परीक्षा 2026 के प्रश्नों को समझ सकते हैं और परीक्षा में बेहतर अंक प्राप्त करने के लिए अभ्यास कर सकते हैं।

Answer Key (पूर्ण) — RBSE Class 11 Maths 2025-26 | ncertclasses.com
🔑 पूर्ण उत्तर कुंजी / COMPLETE ANSWER KEY

माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान, अजमेर

पाठ्यक्रम सत्र 2025–2026

गणित | Mathematics | विषय कोड – 15 | कक्षा – 11
निर्धारित पुस्तक: गणित (NCERT, कक्षा XI) | पूर्णांक: 100 | समय: 3:15 घंटे 📥 Model Paper + All Subjects: ncertclasses.com
शिक्षकों के लिए: वैकल्पिक सही विधि पर पूर्ण अंक दें। प्रत्येक सही Step पर आंशिक अंक। Arithmetic Error पर केवल 1 अंक काटें। Σ(xᵢ−x̄)=0 की जाँच accuracy check है।
खंडप्रश्नप्रकारअंक/प्रश्नकुल
(अ)1–20MCQ120
(ब)21–35अति लघु230
(स)36–45लघु440
(द)46–47दीर्घ510
कुल100
खंड (अ) — MCQ उत्तर | 1×2020 अंक
सही विकल्प Q 1–20
Q1
(b)
{2,3}
Q2
(a)
2
Q3
(b)
Range=[0,∞)
Q4
(a)
(√6+√2)/4
Q5
(a)
1−2sin²θ
Q6
(c)
5
Q7
(c)
i
Q8
(b)
x < 5
Q9
(b)
336
Q10
(b)
20
Q11
(b)
3
Q12
(b)
4
Q13
(a)
5
Q14
(a)
√13
Q15
(c)
4
Q16
(c)
3x²
Q17
(b)
8
Q18
(a)
Median
Q19
(c)
1/4
Q20
(c)
0.7
Q1: A∩B={2,3} ✓  |  Q2: 5+7−10=2 ✓  |  Q3: x²≥0 → Range=[0,∞) ✓  |  Q4: sin(45°+30°)=(√6+√2)/4 ✓  |  Q5: cos2θ=1−2sin²θ ✓  |  Q6: √(9+16)=5 ✓  |  Q7: i¹⁰¹=i^(4×25+1)=i ✓  |  Q8: 2x<10→x<5 ✓  |  Q9: 8×7×6=336 ✓  |  Q10: ⁶C₃=20 ✓  |  Q12: y=0→3x=12→x=4 ✓  |  Q14: √(4+9)=√13 ✓  |  Q15: (x+2)(x−2)/(x−2)→x+2=4 ✓  |  Q17: (4+7+8+10+11)/5=8 ✓  |  Q19: (½)²=1/4 ✓  |  Q20: 0.4+0.3−0=0.7 ✓
खंड (ब) — अति लघु उत्तरीय | 2 अंक प्रत्येक30 अंक
21वेन आरेख से A∪B, A∩B और A−B2
पूर्ण उत्तर
वेन आरेख से: A = {1,3,5,7},  B = {3,4,6,7}
A ∪ B = {1,3,4,5,6,7} — A या B में जो भी हो
A ∩ B = {3,7} — A और B दोनों में
A − B = {1,5} — A में हो पर B में नहीं
1 अंक — A∪B
½ — A∩B
½ — A−B
22f(x) = 2x+3 के लिए f(0), f(−1), f(2)2
पूर्ण उत्तर
f(0) = 2(0)+3 = 0+3 = 3
f(−1) = 2(−1)+3 = −2+3 = 1
f(2) = 2(2)+3 = 4+3 = 7
23210° → रेडियन | 5π/3 → डिग्री2
पूर्ण उत्तर
① 210° को रेडियन में:
रेडियन = डिग्री × (π/180) = 210 × π/180 = 7π/6
210° = 7π/6 रेडियन
② 5π/3 को डिग्री में:
डिग्री = रेडियन × (180/π) = (5π/3) × (180/π) = 5×60
5π/3 = 300°
24z₁=2+3i, z₂=−1+2i, z₃=3−2i → z₁+z₂ और |z₃|2
पूर्ण उत्तर
① z₁ + z₂:
= (2+3i)+(−1+2i) = (2−1)+(3+2)i
z₁+z₂ = 1+5i
② |z₃| = |3−2i|:
|z| = √(Re²+Im²) = √(3²+(−2)²) = √(9+4) = √13
|z₃| = √13 ≈ 3.61
Re Im 1 2 3 -1 1 2 3 -2 z₁(2+3i) z₂(-1+2i) z₃(3-2i) z₁+z₂=1+5i
आर्गड तल — तीनों सम्मिश्र संख्याएँ plotted
253x−5 ≤ x+3 हल करें + संख्या रेखा2
पूर्ण उत्तर
3x − 5 ≤ x + 3
3x − x ≤ 3 + 5  →  2x ≤ 8  →  x ≤ 4
हल: x ∈ (−∞, 4]
0 2 4 6 x ≤ 4 ●
बंद बिंदु x=4, बाईं ओर शेड = x ≤ 4
265 अक्षरों से 3-अक्षरीय शब्द (पुनरावृत्ति नहीं)2
पूर्ण उत्तर
क्रम महत्त्वपूर्ण → क्रमचय (Permutation)
सूत्र: ⁿPᵣ = n!/(n−r)!
⁵P₃ = 5!/(5−3)! = 5!/2! = 5×4×3×2!/2! = 5×4×3
⁵P₃ = 60 शब्द
5 × 4 × 3 = पहले के लिए 5, दूसरे के लिए 4, तीसरे के लिए 3 विकल्प
27(a+b)⁵ का तीसरा पद T₃2
पूर्ण उत्तर
व्यापक पद: T_{r+1} = ⁿCᵣ · aⁿ⁻ʳ · bʳ
तीसरा पद T₃ → r+1=3 → r=2, n=5
T₃ = ⁵C₂ · a^(5−2) · b² = ⁵C₂ · a³ · b²
⁵C₂ = 5!/(2!3!) = (5×4)/2 = 10
T₃ = 10a³b²
28A.P. 3, 7, 11, 15, … का 20वाँ पद2
पूर्ण उत्तर
a = 3,   d = 7−3 = 4
सूत्र: aₙ = a+(n−1)d
a₂₀ = 3 + (20−1)×4 = 3 + 19×4 = 3 + 76
a₂₀ = 79
29A(2,3) और B(−1,7) को मिलाने वाली रेखा की ढाल2
पूर्ण उत्तर
सूत्र: m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
m = (7−3)/(−1−2) = 4/(−3)
m = −4/3
ऋणात्मक ढाल → रेखा ऊपर बाईं से नीचे दाईं ओर जाती है।
30परवलय y²=8x की नाभि और नियता2
पूर्ण उत्तर
मानक रूप: y² = 4ax से तुलना
4a = 8  →  a = 2
नाभि (Focus) = (a,0) = (2,0)
नियता (Directrix): x = −a = −2
x y F(2,0) x=−2 O(शीर्ष) y²=8x
y²=8x: शीर्ष O(0,0), F(2,0), x=−2 नियता
31A(1,2,3) और B(4,6,3) के बीच दूरी2
पूर्ण उत्तर
सूत्र: d = √[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²+(z₂−z₁)²]
d = √[(4−1)²+(6−2)²+(3−3)²] = √[9+16+0] = √25
d = 5 इकाई
32lim(sinx/x) और lim(x²−9)/(x−3)2
पूर्ण उत्तर
① limx→0 (sinx/x):
यह Standard Limit है।
= 1
② limx→3 (x²−9)/(x−3):
x=3 पर 0/0 — गुणनखंड करें
= limx→3 (x+3)(x−3)/(x−3) = limx→3(x+3)
= 3+3 = 6
33बारंबारता बंटन का माध्य2
पूर्ण उत्तर
x510152025Σ
f3795226
fx157013510050370
x̄ = Σfx/Σf = 370/26 ≈ 14.23
3452 पत्तों से P(Ace) और P(Red card)2
पूर्ण उत्तर
(i) P(Ace): 4 इक्के हैं → P = 4/52 = 1/13
(ii) P(Red): 26 लाल पत्ते (13 हुकुम + 13 पान) → P = 26/52 = 1/2
35G.P.: a=3, a₅=48 → r ज्ञात + S₆2
पूर्ण उत्तर
① सार्वअनुपात r:
aₙ = a·rⁿ⁻¹ → a₅ = 3×r⁴ = 48
r⁴ = 16 = 2⁴ → r = 2
② S₆:
S₆ = 3×(2⁶−1)/(2−1) = 3×63 = 189
खंड (स) — लघु उत्तरीय | 4 अंक प्रत्येक40 अंक
36A⊆B → A∩B=A सिद्धि + हिन्दी/अंग्रेज़ी सर्वेक्षण वेन आरेख4
पूर्ण उत्तर
भाग 1 — सिद्धि: A⊆B → A∩B = A A∩B ⊆ A दिखाएँ:
माना x ∈ A∩B → x∈A और x∈B (परिभाषा से) → x∈A   ∴ A∩B ⊆ A ✓
A ⊆ A∩B दिखाएँ:
माना x ∈ A. चूँकि A⊆B → x∈B भी → x∈A∩B   ∴ A ⊆ A∩B ✓
∴ A∩B = A (सिद्ध)
भाग 2 — सर्वेक्षण गणना (n=100):
केवल हिन्दी = n(H)−n(H∩E) = 60−20 = 40
केवल अंग्रेज़ी = n(E)−n(H∩E) = 50−20 = 30
बाहर = 100−(40+20+30) = 10
U=100 हिन्दी English 40 20 30 बाहर=10 | n(H∩E)=20
वेन आरेख — पूर्ण हल
2 अंक — सिद्धि
1 अंक — वेन आरेख
1 अंक — गणना
37sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB सिद्धि + sin 105°4
पूर्ण उत्तर
सिद्धि (इकाई वृत्त विधि):
माना इकाई वृत्त पर P=(cosA, sinA) और Q=(cos(−B), sin(−B))=(cosB, −sinB)
PQ² = (cosA−cosB)²+(sinA+sinB)² = 2−2(cosAcosB−sinAsinB) ... (i)
PQ² = 2−2cos(A+B) (कोणांतर सूत्र से) ... (ii)
(i)=(ii) से: cos(A+B) = cosAcosB−sinAsinB
sin(A+B) = cos[90°−(A+B)] → प्रतिस्थापन से:
sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB ✓ (सिद्ध)
sin 105° = sin(60°+45°):
= sin60°cos45° + cos60°sin45°
= (√3/2)(1/√2) + (1/2)(1/√2)
= (√3+1)/(2√2) = (√3+1)√2/(2×2)
sin 105° = (√6+√2)/4
2 अंक — सिद्धि
2 अंक — sin 105°
38z₁=1+i, z₂=2−3i: z₁+z₂, z₁·z₂, z₁/z₂, |z₁·z₂|4
पूर्ण उत्तर
① z₁+z₂:
= (1+2)+(1−3)i = 3−2i
② z₁·z₂:
= (1+i)(2−3i) = 2−3i+2i−3i²
= 2−i−3(−1) = 2−i+3
z₁·z₂ = 5−i
③ z₁/z₂ (संयुग्मी z̄₂=2+3i से गुणा):
= (1+i)(2+3i) / [(2²+3²)]
अंश: 2+3i+2i+3i² = 2+5i−3 = −1+5i
हर: 4+9 = 13
z₁/z₂ = (−1+5i)/13
④ |z₁·z₂| = |5−i|:
= √(25+1) = √26
1 — योग
1 — गुणन
1 — भाग
1 — मापांक
392x−3 > 7 AND x+5 ≤ 12 का संयुक्त हल + संख्या रेखा4
पूर्ण उत्तर
① 2x−3 > 7:
2x > 10 → x > 5   → x ∈ (5, ∞)
② x+5 ≤ 12:
x ≤ 7   → x ∈ (−∞, 7]
③ संयुक्त हल (AND):
x ∈ (5, 7]  — x=5 से बड़ा और x=7 तक
0 5 7 10 ○(5, 7]●
खुला ○ x=5 (>), बंद ● x=7 (≤)
1 — असमिका 1
1 — असमिका 2
1 — संयुक्त हल
1 — संख्या रेखा
40(2x − 1/x)⁸ में x-मुक्त पद (Constant Term)4
पूर्ण उत्तर
व्यापक पद T_{r+1}:
T_{r+1} = ⁸Cᵣ·(2x)^(8−r)·(−1/x)^r
= ⁸Cᵣ · 2^(8−r) · x^(8−r) · (−1)^r · x^(−r)
= ⁸Cᵣ · 2^(8−r) · (−1)^r · x^(8−2r)
x-मुक्त पद: x की घात = 0
8−2r = 0 → 2r = 8 → r = 4
T₅ (r=4):
T₅ = ⁸C₄ · 2⁴ · (−1)⁴
⁸C₄ = 8!/(4!4!) = (8×7×6×5)/(4×3×2×1) = 70
= 70 × 16 × 1
x-मुक्त पद = 1120
1 — T_{r+1} सूत्र
1 — r=4
1 — ⁸C₄=70
1 — उत्तर=1120
41S₂₀=420, a=2 → d और a₁₅ | A.M. ≥ G.M. सत्यापन4
पूर्ण उत्तर
① सार्वअंतर d:
सूत्र: Sₙ = (n/2)[2a+(n−1)d]
S₂₀ = (20/2)[2×2+(20−1)×d] = 420
10[4+19d] = 420 → 4+19d = 42 → 19d = 38
d = 2
② 15वाँ पद a₁₅:
a₁₅ = 2+(15−1)×2 = 2+28
a₁₅ = 30
③ A.M. ≥ G.M. सत्यापन (a=4, b=9):
A.M. = (4+9)/2 = 6.5
G.M. = √(4×9) = √36 = 6
A.M. = 6.5 ≥ G.M. = 6 ✓ (सत्यापित)
1 — d=2
1 — a₁₅=30
2 — A.M.≥G.M.
422x+3y=12 का अभिलंब रूप + मूल बिंदु से दूरी4
पूर्ण उत्तर
① अभिलंब (Normal) रूप:
2x+3y−12=0 में a=2, b=3, c=−12
√(a²+b²) = √(4+9) = √13
दोनों पक्षों को √13 से भाग करें:
(2/√13)x + (3/√13)y = 12/√13
यह xcosω + ysinω = p रूप है → p = 12/√13
② मूल बिंदु O(0,0) से दूरी:
सूत्र: d = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
d = |2(0)+3(0)−12|/√13 = 12/√13
= 12√13/13 ≈ 3.33 इकाई
2 अंक — अभिलंब रूप
2 अंक — दूरी
43x²+y²−4x+6y−12=0 — केंद्र और त्रिज्या + स्केच4
पूर्ण उत्तर
पूर्ण वर्ग (Complete the Square):
(x²−4x) + (y²+6y) = 12
(x²−4x+4) + (y²+6y+9) = 12+4+9
(x−2)² + (y+3)² = 25
मानक रूप (x−h)²+(y−k)²=r² से तुलना:
केंद्र (Centre) = (2, −3)
त्रिज्या (Radius) = √25 = 5
x y 1 2 -1 -1 -2 -3 1 C(2,−3) r=5
वृत्त: C(2,−3), r=5
2 — Complete Square
1 — केंद्र
1 — त्रिज्या + स्केच
44अवकलन: (i) x²+3x−5   (ii) sinx (प्रथम सिद्धांत)   (iii) (x+1)(x−2)4
पूर्ण उत्तर
(i) f(x) = x²+3x−5 — Power Rule:
d/dx(xⁿ)=nxⁿ⁻¹ से: f'(x) = 2x+3−0
f'(x) = 2x+3
(ii) f(x) = sinx — प्रथम सिद्धांत (First Principle):
f'(x) = limh→0 [sin(x+h)−sinx]/h
sinC−sinD = 2cos((C+D)/2)·sin((C−D)/2) लगाएँ:
= limh→0 [2cos(x+h/2)·sin(h/2)]/h
= limh→0 cos(x+h/2) × [sin(h/2)/(h/2)]
= cos(x+0) × 1   [∵ limθ→0 sinθ/θ = 1]
f'(x) = cosx
(iii) f(x) = (x+1)(x−2) = x²−x−2:
f'(x) = 2x−1−0
f'(x) = 2x−1
1 अंक — (i)
2 अंक — (ii) First Principle
1 अंक — (iii)
45माध्य से माध्य विचलन M.D. (x̄=27)4
पूर्ण उत्तर
सूत्र: M.D.(x̄) = Σf|xᵢ−x̄|/Σf
वर्गfxᵢfxᵢ|xᵢ−27|f|xᵢ−27|
0–10552522110
10–208151201296
20–301525375230
30–4016355608128
40–5064527018108
कुल50—1350—472
M.D.(x̄) = 472/50 = 9.44
1 — x̄=27 पुष्टि
2 — तालिका
1 — M.D.=9.44
खंड (द) — दीर्घ उत्तरीय | 5 अंक प्रत्येक10 अंक
46दीर्घवृत्त x²/25 + y²/16 = 1 की सभी विशेषताएँ5
पूर्ण उत्तर
मानक रूप: x²/a² + y²/b² = 1 जहाँ a > b
तुलना से: a² = 25 → a = 5  |  b² = 16 → b = 4

① c (नाभि दूरी):
c² = a²−b² = 25−16 = 9 → c = 3
② नाभियाँ (Foci):
F₁(3, 0) और F₂(−3, 0)
③ उत्केंद्रता (Eccentricity) e:
e = c/a = 3/5 → e = 0.6  (0 < e < 1 ✓)
④ नाभिलंब (Latus Rectum):
L.R. = 2b²/a = 2×16/5 = 32/5 = 6.4
⑤ अक्षों की लंबाई:
दीर्घ अक्ष = 2a = 10  |  लघु अक्ष = 2b = 8
x y F₁(3,0) F₂(−3,0) A(5,0) A'(−5,0) B(0,4) B'(0,−4) L.R.=6.4 e=3/5=0.6
दीर्घवृत्त — नाभियाँ, शीर्ष, नाभिलंब
विशेषतासूत्रउत्तर
अर्ध-दीर्घ अक्ष aa²=255
अर्ध-लघु अक्ष bb²=164
c√(a²−b²)=√93
नाभियाँ(±c, 0)(±3, 0)
उत्केंद्रता ec/a = 3/50.6
नाभिलंब2b²/a = 32/56.4
दीर्घ अक्ष2a10
लघु अक्ष2b8
1 — a,b
1 — नाभियाँ
1 — e
1 — L.R.
1 — आरेख
47Variance और S.D. (Data: 6,7,10,12,13,4,8,12) + प्रायिकता (पासा 3 बार)5
पूर्ण उत्तर
भाग 1 — प्रसरण (Variance) और मानक विचलन (S.D.):
n = 8  |  Σxᵢ = 6+7+10+12+13+4+8+12 = 72
सूत्र: x̄ = Σxᵢ/n = 72/8 = 9
xᵢxᵢ − 9(xᵢ − 9)²
6−39
7−24
10+11
12+39
13+416
4−525
8−11
12+39
Σ=720 ✓Σ=74
सूत्र: σ² = Σ(xᵢ−x̄)² / n
σ² = 74/8 = 9.25 (Variance)
σ = √9.25 = √(37/4) = √37/2 ≈ 3.04 (S.D.)

भाग 2 — प्रायिकता: पासे को 3 बार फेंकना
घटना A = "4 से बड़ी संख्या" = {5,6} → P(A) = 2/6 = 1/3
P(A') = 1−1/3 = 2/3  |  कुल sample space n(S) = 6³ = 216
अभिगृहीतीय परिभाषा: P(E) = n(E)/n(S)
तीनों बार >4: n = 2³ = 8 → P = 8/216 = 1/27
कम से एक बार >4 (Complement विधि):
P(कोई नहीं) = (4/6)³ = (2/3)³ = 8/27
P(कम से एक) = 1 − 8/27 = 19/27
1 — x̄=9
1 — (xᵢ−x̄)² तालिका
1 — σ²=9.25
1 — σ≈3.04
1 — प्रायिकता
📊 मूल्यांकन दिशानिर्देश — Marking Schemeशिक्षकों हेतु
Step-wise Marking नियम
प्रश्न प्रकारमूल्यांकन विधिआंशिक अंक
MCQ (1 अंक)सही=1, गलत=0नहीं
अति लघु (2 अंक)सूत्र(1) + उत्तर(1)½ अंक
लघु (4 अंक)Steps(2)+Calculation(1)+Result(1)हाँ
दीर्घ (5 अंक)Setup(1)+Steps(3)+Conclusion(1)हाँ
सिद्धि प्रश्नप्रत्येक तार्किक step = 1 अंकहाँ
आरेख/ग्राफ½ आरेख + ½ लेबलिंगहाँ
वैकल्पिक विधिसही हो तो पूर्ण अंकहाँ
Arithmetic Errorकेवल 1 अंक काटें, शेष steps के अंक दें—
Q47: Σ(xᵢ−x̄)=0 — यह जाँच सही गणना का प्रमाण है। यदि यह शून्य न हो तो x̄ की गणना में गलती है।
गणित (NCERT) | RBSE 2025–26 | कोड-15 | कक्षा 11 | पूर्ण उत्तर कुंजी
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