🏛️ माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान, अजमेर
मॉडल प्रश्न-पत्र / Model Question Paper
पाठ्यक्रम सत्र 2025–2026
गणित | Mathematics | विषय कोड – 15
कक्षा – 11वीं | समय: 3:15 घंटे | पूर्णांक: 100
निर्धारित पुस्तक: गणित (NCERT, कक्षा XI)
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| प्रश्नपत्र | समय (घंटे) | पूर्णांक |
|---|---|---|
| एक पत्र (सैद्धान्तिक) | 3:15 | 100 |
| अध्याय | विषय | अंकभार |
|---|---|---|
| 1 | समुच्चय (Sets) | 7 |
| 2 | संबंध एवं फलन (Relations & Functions) | 10 |
| 3 | त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions) | 10 |
| 4 | सम्मिश्र संख्याएँ (Complex Numbers) | 7 |
| 5 | रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities) | 5 |
| 6 | क्रमचय और संचय (Permutations & Combinations) | 7 |
| 7 | द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) | 6 |
| 8 | अनुक्रम तथा श्रेणी (Sequences & Series) | 7 |
| 9 | सरल रेखाएँ (Straight Lines) | 7 |
| 10 | शंकु परिच्छेद (Conic Sections) | 7 |
| 11 | त्रिविमीय ज्यामिति (3D Geometry) | 4 |
| 12 | सीमा और अवकलज (Limits & Derivatives) | 9 |
| 13 | सांख्यिकी (Statistics) | 7 |
| 14 | प्रायिकता (Probability) | 7 |
| कुल / Total | 100 | |
सामान्य निर्देश / General Instructions:
- इस प्रश्न-पत्र में चार खंड हैं — खंड (अ) बहुविकल्पीय, (ब) अति लघु, (स) लघु उत्तरीय, (द) दीर्घ उत्तरीय।
- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। जहाँ विकल्प हो, वहाँ केवल एक प्रश्न का उत्तर दीजिए।
- खंड (अ) MCQ — प्रत्येक 1 अंक। कोई ऋणात्मक अंकन नहीं।
- गणनाएँ स्पष्ट एवं व्यवस्थित तरीके से दर्शाएँ। सूत्र लिखकर हल करें।
- कैलकुलेटर का उपयोग वर्जित है।
खंड (अ) — बहुविकल्पीय प्रश्न | Multiple Choice Questions
1×20 = 20
समुच्चय, संबंध, त्रिकोणमिति, सम्मिश्र, असमिकाएँQ 1–10
1
यदि A = {1, 2, 3} और B = {2, 3, 4} हो, तो A ∩ B बराबर है —
1
(a){1, 2, 3, 4}
(b){2, 3}
(c){1, 4}
(d){}
2
यदि n(A) = 5, n(B) = 7 और n(A ∪ B) = 10 हो, तो n(A ∩ B) बराबर है —
1
(a)2
(b)3
(c)4
(d)12
3
फलन f(x) = x² का प्रांत (Domain) और परिसर (Range) है —
1
(a)Domain = ℝ, Range = ℝ
(b)Domain = ℝ, Range = [0, ∞)
(c)Domain = [0, ∞), Range = ℝ
(d)Domain = ℕ, Range = ℕ
4
sin 75° का मान है —
1
(a)(√6 + √2)/4
(b)(√6 − √2)/4
(c)(√3 + 1)/2
(d)√3/2
5
cos 2θ बराबर है —
1
(a)1 − 2sin²θ
(b)2cos²θ + 1
(c)sin²θ − cos²θ
(d)tanθ/(1 + tan²θ)
6
सम्मिश्र संख्या z = 3 + 4i का मापांक |z| है —
1
(a)3
(b)4
(c)5
(d)7
7
i¹⁰¹ का मान है —
1
(a)1
(b)−1
(c)i
(d)−i
8
असमिका 2x − 3 < 7 का हल है —
1
(a)x > 5
(b)x < 5
(c)x ≥ 5
(d)x ≤ 5
9
⁸P₃ का मान है —
1
(a)56
(b)336
(c)168
(d)40320
10
(1+x)⁶ के प्रसार में x³ का गुणांक है —
1
(a)15
(b)20
(c)10
(d)6
श्रेणी, सरल रेखा, शंकु, 3D, सीमा, सांख्यिकी, प्रायिकताQ 11–20
11
G.P. 2, 6, 18, 54, ... का सार्वअनुपात (Common Ratio) है —
1
(a)2
(b)3
(c)4
(d)6
12
रेखा 3x + 4y = 12 का x-अक्ष पर अंतःखंड (x-intercept) है —
1
(a)3
(b)4
(c)12
(d)−4
13
वृत्त x² + y² = 25 की त्रिज्या है —
1
(a)5
(b)25
(c)√5
(d)10
14
बिंदु (2, −3, 5) की z-अक्ष से दूरी है —
1
(a)√13
(b)√38
(c)5
(d)√29
15
limx→2 (x² − 4)/(x − 2) का मान है —
1
(a)0
(b)2
(c)4
(d)अपरिभाषित
16
d/dx (x³) का मान है —
1
(a)x²
(b)3x
(c)3x²
(d)x³/3
17
आँकड़ों 4, 7, 8, 10, 11 का माध्य (Mean) है —
1
(a)7
(b)8
(c)9
(d)10
18
माध्य विचलन (Mean Deviation) किससे न्यूनतम होता है?
1
(a)मध्यका (Median) से
(b)माध्य (Mean) से
(c)बहुलक (Mode) से
(d)शून्य से
19
एक सिक्का दो बार उछाला जाए। दोनों बार 'चित' आने की प्रायिकता है —
1
(a)1/2
(b)1/3
(c)1/4
(d)3/4
20
यदि P(A) = 0.4 और P(B) = 0.3 तथा A और B परस्पर अपवर्जी हों, तो P(A ∪ B) = ?
1
(a)0.12
(b)0.5
(c)0.7
(d)0.1
खंड (ब) — अति लघु उत्तरीय प्रश्न | Very Short Answer
2×15 = 30
21
नीचे दिए गए वेन आरेख को देखकर A ∪ B, A ∩ B और A − B ज्ञात कीजिए।
2
चित्र: वेन आरेख — समुच्चय A और B
उत्तर: A ∪ B = ___, A ∩ B = ___, A − B = ___
22
यदि f(x) = 2x + 3 हो, तो f(0), f(−1) और f(2) का मान ज्ञात कीजिए।
2
उत्तर लिखिए…
23
रेडियन में परिवर्तित कीजिए: 210° & डिग्री में: 5π/3
2
उत्तर लिखिए…
24
सम्मिश्र संख्याओं को नीचे दिए आर्गड तल पर अंकित कीजिए: z₁ = 2+3i, z₂ = −1+2i, z₃ = 3−2i
2
आर्गड तल (Argand Plane)
उपर्युक्त आर्गड तल पर z₁+z₂ और |z₃| भी ज्ञात कीजिए।
25
असमिका 3x − 5 ≤ x + 3 का हल ज्ञात कर संख्या रेखा पर दर्शाइए।
2
संख्या रेखा — असमिका का हल दर्शाइए
26
5 अक्षरों का प्रयोग करके कितने 3-अक्षरीय शब्द (पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं) बनाए जा सकते हैं?
2
उत्तर लिखिए…
27
(a + b)⁵ के प्रसार में तीसरा पद (T₃) ज्ञात कीजिए।
2
उत्तर: T₃ = ___
28
A.P. 3, 7, 11, 15, ... का 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
2
सूत्र aₙ = a + (n−1)d का प्रयोग करें।
29
दो बिंदुओं A(2, 3) और B(−1, 7) को मिलाने वाली रेखा की ढाल (Slope) ज्ञात कीजिए।
2
सूत्र m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) का उपयोग करें।
30
नीचे दिए गए आलेख में परवलय y² = 8x की नाभि (Focus) और नियता (Directrix) पहचानिए।
2
परवलय y² = 8x
नाभि F = ___, नियता: ___
31
बिंदुओं A(1, 2, 3) और B(4, 6, 3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
2
सूत्र: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²]
32
मूल्यांकन कीजिए: limx→0 (sin x / x) और limx→3 (x² − 9)/(x − 3)
2
उत्तर लिखिए…
33
नीचे दिए गए बारंबारता बंटन (Frequency Distribution) का माध्य (Mean) ज्ञात कीजिए।
2
| x (मान) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|
| f (बारंबारता) | 3 | 7 | 9 | 5 | 2 |
| fx | ? | ? | ? | ? | ? |
माध्य x̄ = Σfx / Σf = ___
34
52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाए। निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात करें: (i) इक्का (Ace) मिलने की, (ii) लाल रंग का पत्ता मिलने की।
2
उत्तर: (i) P(Ace) = ___, (ii) P(Red) = ___
35
G.P. का 5वाँ पद 48 और पहला पद 3 हो, तो सार्वअनुपात r ज्ञात कीजिए। साथ ही प्रथम 6 पदों का योग भी निकालिए।
2
उत्तर लिखिए…
खंड (स) — लघु उत्तरीय प्रश्न | Short Answer
4×10 = 40
36
सिद्ध कीजिए: यदि A ⊆ B तो A ∩ B = A
साथ ही 100 छात्रों के सर्वेक्षण में 60 हिन्दी, 50 अंग्रेज़ी और 20 दोनों पढ़ते हैं — केवल हिन्दी और केवल अंग्रेज़ी पढ़ने वाले की संख्या वेन आरेख से ज्ञात कीजिए। 4
साथ ही 100 छात्रों के सर्वेक्षण में 60 हिन्दी, 50 अंग्रेज़ी और 20 दोनों पढ़ते हैं — केवल हिन्दी और केवल अंग्रेज़ी पढ़ने वाले की संख्या वेन आरेख से ज्ञात कीजिए। 4
वेन आरेख — हिन्दी/अंग्रेज़ी सर्वेक्षण
सिद्धि और गणना लिखिए…
37
सिद्ध कीजिए: sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB
इसका उपयोग करके sin 105° का मान निकालिए। 4
इसका उपयोग करके sin 105° का मान निकालिए। 4
सिद्धि लिखिए…
38
नीचे दिए गए आर्गड तल में z₁ = 1+i और z₂ = 2−3i है। z₁ + z₂, z₁ · z₂ और z₁/z₂ ज्ञात कर |z₁ · z₂| का मान भी बताइए।
4
आर्गड तल
गणना लिखिए…
39
निम्नलिखित रैखिक असमिका निकाय को हल कर संख्या रेखा पर दर्शाइए:
2x − 3 > 7 && x + 5 ≤ 12 4
2x − 3 > 7 && x + 5 ≤ 12 4
संख्या रेखा पर असमिका का हल
हल लिखिए…
40
(2x − 1/x)⁸ के प्रसार में x³ से स्वतंत्र पद (Constant Term) ज्ञात कीजिए।
4
संकेत: व्यापक पद Tᵣ₊₁ = ⁸Cᵣ (2x)^(8−r) (−1/x)^r; x की घात = 8 − 2r = 0
गणना लिखिए…
41
एक A.P. के प्रथम 20 पदों का योग 410 है और पहला पद 2 है। सार्वअंतर (d) और 15वाँ पद ज्ञात कीजिए।
साथ ही A.P. और G.P. के बीच समांतर माध्य (A.M.) और गुणोत्तर माध्य (G.M.) का संबंध A.M. ≥ G.M. उदाहरण सहित सत्यापित कीजिए। 4
साथ ही A.P. और G.P. के बीच समांतर माध्य (A.M.) और गुणोत्तर माध्य (G.M.) का संबंध A.M. ≥ G.M. उदाहरण सहित सत्यापित कीजिए। 4
गणना लिखिए…
42
नीचे दिए गए निर्देशांक तल पर रेखा 2x + 3y = 12 को दर्शाइए। इस रेखा के अभिलंब (Perpendicular) रूप और मूल बिंदु से दूरी भी ज्ञात कीजिए।
4
रेखा 2x + 3y = 12 और मूल बिंदु से अभिलंब दूरी
गणना लिखिए…
43
वृत्त x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 का केंद्र और त्रिज्या ज्ञात कर वृत्त का स्केच बनाइए।
4
वृत्त का स्केच — केंद्र और त्रिज्या
मानक रूप और केंद्र-त्रिज्या लिखिए…
44
निम्नलिखित का अवकलन कीजिए (First Principles / सूत्र द्वारा):
(i) f(x) = x² + 3x − 5 (ii) f(x) = sin x (iii) f(x) = (x+1)(x−2) 4
(i) f(x) = x² + 3x − 5 (ii) f(x) = sin x (iii) f(x) = (x+1)(x−2) 4
गणना लिखिए…
45
नीचे दिए गए आँकड़ों का माध्य विचलन (Mean Deviation about Mean) ज्ञात कीजिए।
4
| वर्ग-अंतराल | 0–10 | 10–20 | 20–30 | 30–40 | 40–50 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारंबारता (f) | 5 | 8 | 15 | 16 | 6 |
| मध्य बिंदु (xᵢ) | 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
| fxᵢ | 25 | 120 | 375 | 560 | 270 |
| |xᵢ − x̄| | ? | ? | ? | ? | ? |
| f|xᵢ − x̄| | ? | ? | ? | ? | ? |
Σf = 50, Σfxᵢ = 1350 → x̄ = 27
M.D.(x̄) = Σf|xᵢ − x̄| / Σf = ___
खंड (द) — दीर्घ उत्तरीय प्रश्न | Long Answer
5×2 = 10
46
दीर्घवृत्त (Ellipse) x²/25 + y²/16 = 1 के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए: (i) अर्ध-दीर्घ अक्ष a, (ii) अर्ध-लघु अक्ष b, (iii) नाभियाँ (Foci), (iv) उत्केंद्रता (Eccentricity), (v) नाभिलंब (Latus Rectum) की लंबाई। नीचे दिए गए ग्राफ को पूरा करें।
5
दीर्घवृत्त — नाभियाँ, शीर्ष और अक्ष
गणना और प्रत्येक मान लिखिए…
47
निम्नलिखित आँकड़ों का प्रसरण (Variance) और मानक विचलन (Standard Deviation) ज्ञात कीजिए। साथ ही एक द्विपद प्रायोगिक स्थिति (एक पासे को तीन बार फेंकना) में 4 से बड़ी संख्या आने की घटना की अभिगृहीतीय परिभाषा के आधार पर व्याख्या कीजिए।
5
| xᵢ | 6 | 7 | 10 | 12 | 13 | 4 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| xᵢ − x̄ | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| (xᵢ − x̄)² | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
n = 8, Σxᵢ = 72 → x̄ = 9
आँकड़ों का दण्ड आरेख — माध्य (x̄=9) के सापेक्ष
Variance σ² = ___, S.D. σ = ___
प्रायिकता गणना: P(4 से बड़ी) = ___
प्रायिकता गणना: P(4 से बड़ी) = ___
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