राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (RBSE) कक्षा 10 गणित 2024 का सम्पूर्ण हल प्रश्न पत्र (Complete Solved Paper) यहाँ प्रस्तुत है। प्रत्येक प्रश्न का step-by-step हल हिन्दी एवं English दोनों माध्यम में दिया गया है।
| विवरण | Detail |
|---|---|
| बोर्ड | RBSE, अजमेर |
| कक्षा / विषय | Class 10 — Mathematics (गणित) |
| वर्ष | 2024 |
| पूर्णांक / समय | 80 अंक / 3 घण्टे 15 मिनट |
| कुल प्रश्न | 20 (विकल्प सहित) |
खण्ड — अ / SECTION — A
बहुविकल्पीय प्रश्न एवं अतिलघुत्तरात्मक प्रश्न (MCQ & Very Short Answer)
प्रश्न 1 — बहुविकल्पीय (MCQs) [18 × 1 = 18 अंक]
(i) निम्न में से अपरिमेय संख्या है — (Which is an irrational number?)
(a) √2 (b) √4 (c) √(−2) (d) √(4/9)
(a) √2 (b) √4 (c) √(−2) (d) √(4/9)
उत्तर: (a) √2
√4 = 2 (परिमेय), √(4/9) = 2/3 (परिमेय), √(−2) वास्तविक नहीं। √2 = 1.41421... असांत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय।
√4 = 2 (परिमेय), √(4/9) = 2/3 (परिमेय), √(−2) वास्तविक नहीं। √2 = 1.41421... असांत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय।
(ii) HCF(a,b) × LCM(a,b) = ?
(a) a÷b (b) a×b (c) a+b (d) a−b
(a) a÷b (b) a×b (c) a+b (d) a−b
उत्तर: (b) a × b
मूल प्रमेय: दो संख्याओं का HCF × LCM = उन संख्याओं का गुणनफल (Product of two numbers)।
मूल प्रमेय: दो संख्याओं का HCF × LCM = उन संख्याओं का गुणनफल (Product of two numbers)।
(iii) दिए गए ग्राफ में p(x) के शून्यकों की संख्या — (Number of zeros from graph)
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3
उत्तर: (d) 3
ग्राफ x-अक्ष को 3 बार काटता है, अतः 3 शून्यक हैं। (Graph crosses x-axis at 3 points = 3 zeros)
ग्राफ x-अक्ष को 3 बार काटता है, अतः 3 शून्यक हैं। (Graph crosses x-axis at 3 points = 3 zeros)
(iv) दो सरल रेखाएँ प्रतिच्छेद करेंगी यदि — (Two lines will intersect if)
(a) a₁/a₂ = b₁/b₂ (b) a₁/a₂ = c₁/c₂ (c) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (d) a₁/a₂ ≠ c₁/c₂
(a) a₁/a₂ = b₁/b₂ (b) a₁/a₂ = c₁/c₂ (c) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ (d) a₁/a₂ ≠ c₁/c₂
उत्तर: (c) a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
जब गुणांकों का अनुपात असमान हो तो रेखाएँ प्रतिच्छेदी होती हैं (unique solution)।
जब गुणांकों का अनुपात असमान हो तो रेखाएँ प्रतिच्छेदी होती हैं (unique solution)।
(v) समान्तर श्रेढ़ी 1/3, 5/3, 9/3, 13/3, ... में सार्वअन्तर है — (Common difference of AP)
उत्तर: (d) 4/3
d = 5/3 − 1/3 = 4/3
d = 5/3 − 1/3 = 4/3
(vi) प्रथम 'n' धन पूर्णांकों के योग का सूत्र — (Formula for sum of first n positive integers)
उत्तर: (a) n(n+1)/2
(vii) आकृति में किस नियम से △ABC ~ △DEF है? (AB=2, AC=4, BC=?, ∠A=50°, DE=3, DF=6, ∠D=50°)
उत्तर: (b) S-A-S नियम (SAS Rule)
AB/DE = 2/3, AC/DF = 4/6 = 2/3 (अनुपात समान) तथा ∠A = ∠D = 50° (सम्मुख कोण समान)।
दो भुजाओं का अनुपात समान + बीच का कोण समान = SAS समरूपता।
AB/DE = 2/3, AC/DF = 4/6 = 2/3 (अनुपात समान) तथा ∠A = ∠D = 50° (सम्मुख कोण समान)।
दो भुजाओं का अनुपात समान + बीच का कोण समान = SAS समरूपता।
(viii) बिन्दु (3, 4) की x-अक्ष से दूरी — (Distance of (3,4) from x-axis)
उत्तर: (b) 4
x-अक्ष से दूरी = y-निर्देशांक का निरपेक्ष मान = |4| = 4
x-अक्ष से दूरी = y-निर्देशांक का निरपेक्ष मान = |4| = 4
(ix) समकोण △ABC में cos C = ? (AC=3, AB=4, BC=5, ∠A=90°)
उत्तर: (a) 3/5
∠A = 90° → कर्ण BC = 5
cos C = आसन्न भुजा / कर्ण = AC/BC = 3/5
∠A = 90° → कर्ण BC = 5
cos C = आसन्न भुजा / कर्ण = AC/BC = 3/5
(x) मीनार की ऊँचाई = ? (पाद से 15m दूर, उन्नयन कोण 60°)
उत्तर: (b) 15√3 मीटर
tan 60° = ऊँचाई/15 → √3 = h/15 → h = 15√3 m
tan 60° = ऊँचाई/15 → √3 = h/15 → h = 15√3 m
(xi) वृत्त पर स्थित बिन्दु से स्पर्श रेखाओं की संख्या — (Tangents from a point ON circle)
उत्तर: (a) 1
वृत्त पर स्थित बिन्दु से केवल 1 स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
वृत्त पर स्थित बिन्दु से केवल 1 स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
(xii) वृत्त (r=5) के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ, OQ=12, PQ=?
उत्तर: (d) √119 सेमी
OP ⊥ PQ (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या)
PQ² = OQ² − OP² = 144 − 25 = 119 → PQ = √119 cm
OP ⊥ PQ (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या)
PQ² = OQ² − OP² = 144 − 25 = 119 → PQ = √119 cm
(xiii) कोण 'θ' वाले वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल — (Area of sector)
उत्तर: (b) (θ/360°) × πr²
(xiv) ठोस अर्ध गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल — (TSA of solid hemisphere)
उत्तर: (b) 3πr²
TSA = वक्र पृष्ठ + आधार = 2πr² + πr² = 3πr²
TSA = वक्र पृष्ठ + आधार = 2πr² + πr² = 3πr²
(xv) दो घन (V=27 cm³ प्रत्येक) जोड़कर घनाभ बनाया, आयतन = ?
उत्तर: (a) 54 सेमी³
दोनों का कुल आयतन = 27 + 27 = 54 cm³ (जोड़ने से आयतन नहीं बदलता)
दोनों का कुल आयतन = 27 + 27 = 54 cm³ (जोड़ने से आयतन नहीं बदलता)
(xvi) आँकड़े 10, 8, 9, 10, 9, 7, 4, 9, 6, 9 का बहुलक — (Mode)
उत्तर: (a) 9
9 सबसे अधिक बार (4 बार) आता है, अतः बहुलक = 9
9 सबसे अधिक बार (4 बार) आता है, अतः बहुलक = 9
(xvii) माध्य (x̄), माध्यक (m), बहुलक (z) में सम्बन्ध —
उत्तर: (b) 3m − 2x̄ = z
सूत्र: बहुलक = 3 × माध्यक − 2 × माध्य → z = 3m − 2x̄
सूत्र: बहुलक = 3 × माध्यक − 2 × माध्य → z = 3m − 2x̄
(xviii) P(A) + P(Ā) = ?
उत्तर: (a) P(A) + P(Ā) = 1
किसी घटना की प्रायिकता + उसकी पूरक घटना की प्रायिकता = 1
किसी घटना की प्रायिकता + उसकी पूरक घटना की प्रायिकता = 1
प्रश्न 2 — रिक्त स्थान (Fill in Blanks) [6 × 1 = 6 अंक]
(i) द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 के दोनों मूल बराबर हों तो k = ?
समान मूल → D = 0
b² − 4ac = 0 → k² − 4(2)(3) = 0 → k² = 24
k = ±2√6
b² − 4ac = 0 → k² − 4(2)(3) = 0 → k² = 24
k = ±2√6
(ii) समान्तर श्रेढ़ी 1/15, 1/12, 1/10, ... का सार्व अन्तर —
d = 1/12 − 1/15 = (5−4)/60
d = 1/60
d = 1/60
(iii) सर्वसमिका sec²θ − 1 = ____
tan²θ (∵ 1 + tan²θ = sec²θ)
(iv) सभी ____ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु / समबाहु)
समबाहु (Equilateral)
सभी समबाहु त्रिभुजों के तीनों कोण 60° होते हैं → AA समरूपता से सदैव समरूप।
सभी समबाहु त्रिभुजों के तीनों कोण 60° होते हैं → AA समरूपता से सदैव समरूप।
(v) वृत्त तथा स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को ____ कहते हैं।
स्पर्श बिन्दु (Point of Contact)
(vi) पासा एक बार उछालने पर सम अंक की प्रायिकता = ____
सम अंक = {2, 4, 6} = 3 अनुकूल परिणाम
P = 3/6 = 1/2
P = 3/6 = 1/2
प्रश्न 3 — अतिलघुत्तरात्मक (Very Short Answer) [12 × 1 = 12 अंक]
(i) यदि LCM(96, 404) = 9696, तो HCF(96, 404) = ?
HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल
HCF × 9696 = 96 × 404 = 38784
HCF = 38784 ÷ 9696 = 4
HCF × 9696 = 96 × 404 = 38784
HCF = 38784 ÷ 9696 = 4
(ii) 3825 को अभाज्य गुणनखण्डों में व्यक्त करो।
3825 = 3 × 1275 = 3 × 3 × 425 = 3 × 3 × 5 × 85 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17
3825 = 3² × 5² × 17
3825 = 3² × 5² × 17
(iii) एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग −3 तथा गुणनफल 2 है।
p(x) = x² − (योग)x + गुणनफल
= x² − (−3)x + 2
p(x) = x² + 3x + 2
= x² − (−3)x + 2
p(x) = x² + 3x + 2
(iv) 2x + 4y = 4 और 2x + 4y = 12 — क्या ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करेंगी?
a₁/a₂ = 2/2 = 1, b₁/b₂ = 4/4 = 1, c₁/c₂ = 4/12 = 1/3
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → समान्तर रेखाएँ
नहीं, ये रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करेंगी (No intersection — Parallel lines)
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → समान्तर रेखाएँ
नहीं, ये रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करेंगी (No intersection — Parallel lines)
(v) AP: 21, 18, 15, ... का कौन सा पद शून्य है?
a = 21, d = 18 − 21 = −3
aₙ = 0 → a + (n−1)d = 0
21 + (n−1)(−3) = 0 → 21 − 3n + 3 = 0 → 24 = 3n
n = 8 (8वाँ पद शून्य है)
aₙ = 0 → a + (n−1)d = 0
21 + (n−1)(−3) = 0 → 21 − 3n + 3 = 0 → 24 = 3n
n = 8 (8वाँ पद शून्य है)
(vi) x और y में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (x,y); (3,6) और (−3,4) से समदूरस्थ हो।
(x−3)² + (y−6)² = (x+3)² + (y−4)²
x²−6x+9+y²−12y+36 = x²+6x+9+y²−8y+16
−6x−12y+45 = 6x−8y+25 → −12x−4y+20 = 0
3x + y = 5
x²−6x+9+y²−12y+36 = x²+6x+9+y²−8y+16
−6x−12y+45 = 6x−8y+25 → −12x−4y+20 = 0
3x + y = 5
(vii) यदि 8cot θ = 7, तो (1+sinθ)(1−sinθ) / (1+cosθ)(1−cosθ) = ?
= (1−sin²θ)/(1−cos²θ) = cos²θ/sin²θ = cot²θ
cot θ = 7/8 → cot²θ = 49/64
49/64
cot θ = 7/8 → cot²θ = 49/64
49/64
(viii) PA, PB स्पर्श रेखाएँ, परस्पर 80° पर झुकी, ∠POA = ?
∠APB = 80°, ∠OAP = ∠OBP = 90° (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या)
∠AOB = 360° − 90° − 90° − 80° = 100°
PO, ∠AOB को समद्विभाजित करता है → ∠POA = 100°/2
∠POA = 50°
∠AOB = 360° − 90° − 90° − 80° = 100°
PO, ∠AOB को समद्विभाजित करता है → ∠POA = 100°/2
∠POA = 50°
(ix) त्रिज्या 21 सेमी, केन्द्रीय कोण 60° — चाप की लम्बाई = ?
l = (θ/360°) × 2πr = (60/360) × 2 × (22/7) × 21
= (1/6) × 2 × 22 × 3 = (1/6) × 132
l = 22 सेमी
= (1/6) × 2 × 22 × 3 = (1/6) × 132
l = 22 सेमी
(x) त्रिज्या 5 सेमी, कोण 60° — त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = ?
A = (θ/360°) × πr² = (60/360) × (22/7) × 25
= (1/6) × (550/7) = 550/42
A = 13.09 सेमी² (लगभग)
= (1/6) × (550/7) = 550/42
A = 13.09 सेमी² (लगभग)
(xi) आँकड़े 2,4,6,7,5,6,10,6,7,2k+1,9,7 का बहुलक 7 हो तो k = ?
बहुलक = 7 → 7 सबसे अधिक बार आना चाहिए
7 तीन बार आता है, 6 भी तीन बार। 7 को बहुलक बनाने के लिए 2k+1 = 7
2k = 6 → k = 3
7 तीन बार आता है, 6 भी तीन बार। 7 को बहुलक बनाने के लिए 2k+1 = 7
2k = 6 → k = 3
(xii) निम्न बारम्बारता आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
| प्राप्तांक | 20 | 25 | 28 | 29 | 33 | 38 | 42 | 43 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी | 6 | 20 | 28 | 24 | 15 | 4 | 2 | 1 |
| CF | 6 | 26 | 54 | 78 | 93 | 97 | 99 | 100 |
CF = 26 < 50 ≤ 54 → 50वाँ प्रेक्षण = 28
माध्यिका (Median) = 28
खण्ड — ब / SECTION — B
लघुत्तरात्मक प्रश्न (Short Answer Type) [2 अंक प्रत्येक]
प्रश्न 4. द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता जाँचें। (2)
x² + 7x + 10 = 0
x² + 5x + 2x + 10 = 0 → x(x+5) + 2(x+5) = 0
(x+5)(x+2) = 0 → x = −5 या x = −2
सत्यापन:
शून्यकों का योग = −5 + (−2) = −7 = −b/a = −7/1 ✓
शून्यकों का गुणनफल = (−5)(−2) = 10 = c/a = 10/1 ✓
x² + 5x + 2x + 10 = 0 → x(x+5) + 2(x+5) = 0
(x+5)(x+2) = 0 → x = −5 या x = −2
सत्यापन:
शून्यकों का योग = −5 + (−2) = −7 = −b/a = −7/1 ✓
शून्यकों का गुणनफल = (−5)(−2) = 10 = c/a = 10/1 ✓
प्रश्न 5. दो अंकों की एक संख्या एवं उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का योग 66 है। यदि अंकों का अंतर 2 हो तो संख्या ज्ञात कीजिए। कितनी ऐसी संख्याएँ हैं? (2)
माना दहाई का अंक = x, इकाई = y
संख्या = 10x + y, उलटी = 10y + x
(10x+y) + (10y+x) = 66 → 11(x+y) = 66 → x + y = 6 ...(1)
|x − y| = 2 ...(2)
स्थिति 1: x−y = 2 और x+y = 6 → x = 4, y = 2 → संख्या = 42
स्थिति 2: y−x = 2 और x+y = 6 → x = 2, y = 4 → संख्या = 24
दो संख्याएँ: 42 और 24
संख्या = 10x + y, उलटी = 10y + x
(10x+y) + (10y+x) = 66 → 11(x+y) = 66 → x + y = 6 ...(1)
|x − y| = 2 ...(2)
स्थिति 1: x−y = 2 और x+y = 6 → x = 4, y = 2 → संख्या = 42
स्थिति 2: y−x = 2 और x+y = 6 → x = 2, y = 4 → संख्या = 24
दो संख्याएँ: 42 और 24
प्रश्न 6. वह AP ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 5 और 7वाँ पद 9 है। (2)
a₃ = a + 2d = 5 ...(1)
a₇ = a + 6d = 9 ...(2)
(2)−(1): 4d = 4 → d = 1
(1) में: a + 2 = 5 → a = 3
AP: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
a₇ = a + 6d = 9 ...(2)
(2)−(1): 4d = 4 → d = 1
(1) में: a + 2 = 5 → a = 3
AP: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
प्रश्न 7. आकृति में A, B, C क्रमशः OP, OQ, OR पर हैं। AB ∥ PQ और AC ∥ PR। दर्शाइए कि BC ∥ QR। (2)
△OPQ में: AB ∥ PQ (दिया है)
BPT से: OA/AP = OB/BQ ...(1)
△OPR में: AC ∥ PR (दिया है)
BPT से: OA/AP = OC/CR ...(2)
(1) व (2) से: OB/BQ = OC/CR
BPT के विलोम से △OQR में: BC ∥ QR (सिद्ध)
BPT से: OA/AP = OB/BQ ...(1)
△OPR में: AC ∥ PR (दिया है)
BPT से: OA/AP = OC/CR ...(2)
(1) व (2) से: OB/BQ = OC/CR
BPT के विलोम से △OQR में: BC ∥ QR (सिद्ध)
प्रश्न 8. निर्धारित कीजिए कि बिन्दु (1,5), (2,3) और (−2,−11) संरेखी हैं या नहीं। (2)
△ का क्षेत्रफल = ½|x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|
= ½|1(3−(−11)) + 2(−11−5) + (−2)(5−3)|
= ½|1(14) + 2(−16) + (−2)(2)|
= ½|14 − 32 − 4| = ½|−22| = 11 ≠ 0
बिन्दु संरेखी नहीं हैं (Not Collinear)
= ½|1(3−(−11)) + 2(−11−5) + (−2)(5−3)|
= ½|1(14) + 2(−16) + (−2)(2)|
= ½|14 − 32 − 4| = ½|−22| = 11 ≠ 0
बिन्दु संरेखी नहीं हैं (Not Collinear)
प्रश्न 9. △OPQ में ∠P = 90°, OP = 7 सेमी, OQ − PQ = 1 सेमी। sinQ और cosQ ज्ञात कीजिए। (2)
OQ − PQ = 1 → OQ = PQ + 1 ...(1)
पाइथागोरस: OQ² = OP² + PQ²
(PQ+1)² = 49 + PQ² → PQ² + 2PQ + 1 = 49 + PQ²
2PQ = 48 → PQ = 24 cm, OQ = 25 cm
sinQ = OP/OQ = 7/25, cosQ = PQ/OQ = 24/25
पाइथागोरस: OQ² = OP² + PQ²
(PQ+1)² = 49 + PQ² → PQ² + 2PQ + 1 = 49 + PQ²
2PQ = 48 → PQ = 24 cm, OQ = 25 cm
sinQ = OP/OQ = 7/25, cosQ = PQ/OQ = 24/25
प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2∠OPQ, जहाँ TP, TQ स्पर्श रेखाएँ हैं। (2)
माना ∠OPQ = θ
OP ⊥ TP → ∠TPO = 90° → ∠TPQ = 90° − θ
TP = TQ (बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखाएँ समान) → △TPQ समद्विबाहु
∠TPQ = ∠TQP = 90° − θ
∠PTQ = 180° − 2(90°−θ) = 180° − 180° + 2θ
∠PTQ = 2θ = 2∠OPQ (सिद्ध / Hence Proved)
OP ⊥ TP → ∠TPO = 90° → ∠TPQ = 90° − θ
TP = TQ (बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखाएँ समान) → △TPQ समद्विबाहु
∠TPQ = ∠TQP = 90° − θ
∠PTQ = 180° − 2(90°−θ) = 180° − 180° + 2θ
∠PTQ = 2θ = 2∠OPQ (सिद्ध / Hence Proved)
प्रश्न 11. कार के दो वाइपर, blade = 25 cm, कोण 115°। दोनों पत्तियों द्वारा साफ किया गया कुल क्षेत्रफल = ? (2)
एक वाइपर का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
= (115/360) × (22/7) × 25 × 25
= (115/360) × (13750/7) = (115 × 13750) / (360 × 7)
= 1581250/2520 = 627.48 cm²
कुल = 2 × 627.48
≈ 1254.96 सेमी²
= (115/360) × (22/7) × 25 × 25
= (115/360) × (13750/7) = (115 × 13750) / (360 × 7)
= 1581250/2520 = 627.48 cm²
कुल = 2 × 627.48
≈ 1254.96 सेमी²
प्रश्न 12. 35 नगरों की साक्षरता दर (%) की सारणी से माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए। (2)
| वर्ग अन्तराल | fᵢ | xᵢ | fᵢxᵢ |
|---|---|---|---|
| 45−55 | 3 | 50 | 150 |
| 55−65 | 10 | 60 | 600 |
| 65−75 | 11 | 70 | 770 |
| 75−85 | 8 | 80 | 640 |
| 85−95 | 3 | 90 | 270 |
| योग | 35 | 2430 |
माध्य साक्षरता दर = 69.43% (लगभग)
प्रश्न 13. 52 ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालने पर प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (1) लाल रंग का बादशाह (2) हुकुम का पत्ता (3) लाल तस्वीर वाला (4) एक तस्वीर वाला पत्ता (2)
(1) लाल बादशाह (Red King): 2 (♥K, ♦K) → P = 2/52 = 1/26
(2) हुकुम (Spade ♠): 13 → P = 13/52 = 1/4
(3) लाल तस्वीर (Red Face): 6 (♥K,♥Q,♥J,♦K,♦Q,♦J) → P = 6/52 = 3/26
(4) तस्वीर वाला (Face Card): 12 (4K+4Q+4J) → P = 12/52 = 3/13
(2) हुकुम (Spade ♠): 13 → P = 13/52 = 1/4
(3) लाल तस्वीर (Red Face): 6 (♥K,♥Q,♥J,♦K,♦Q,♦J) → P = 6/52 = 3/26
(4) तस्वीर वाला (Face Card): 12 (4K+4Q+4J) → P = 12/52 = 3/13
खण्ड — स / SECTION — C
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type) [3 अंक प्रत्येक]
प्रश्न 14. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो। (3)
माना संख्याएँ x और x+1
x² + (x+1)² = 365
x² + x² + 2x + 1 = 365 → 2x² + 2x − 364 = 0
x² + x − 182 = 0
x² + 14x − 13x − 182 = 0
x(x+14) − 13(x+14) = 0 → (x−13)(x+14) = 0
x = 13 (∵ x धनात्मक) → x+1 = 14
सत्यापन: 13² + 14² = 169 + 196 = 365 ✓
दोनों संख्याएँ: 13 और 14
x² + (x+1)² = 365
x² + x² + 2x + 1 = 365 → 2x² + 2x − 364 = 0
x² + x − 182 = 0
x² + 14x − 13x − 182 = 0
x(x+14) − 13(x+14) = 0 → (x−13)(x+14) = 0
x = 13 (∵ x धनात्मक) → x+1 = 14
सत्यापन: 13² + 14² = 169 + 196 = 365 ✓
दोनों संख्याएँ: 13 और 14
अथवा (OR): kx(x−2) + 6 = 0 में k का मान ज्ञात कीजिए कि दो बराबर मूल हों। (3)
kx² − 2kx + 6 = 0
समान मूल → D = 0
b² − 4ac = 0 → (−2k)² − 4(k)(6) = 0
4k² − 24k = 0 → 4k(k−6) = 0
k = 0 या k = 6
k = 0 → समीकरण द्विघात नहीं रहेगी
k = 6
समान मूल → D = 0
b² − 4ac = 0 → (−2k)² − 4(k)(6) = 0
4k² − 24k = 0 → 4k(k−6) = 0
k = 0 या k = 6
k = 0 → समीकरण द्विघात नहीं रहेगी
k = 6
प्रश्न 15. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें A(1,−5) और B(−4,5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष द्वारा विभाजित होता है। विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए। (3)
माना x-अक्ष बिन्दु P पर m:n में विभाजित करता है।
x-अक्ष पर y = 0
y = (m×5 + n×(−5))/(m+n) = 0
5m − 5n = 0 → m = n → अनुपात = 1 : 1
x = (1×(−4) + 1×1)/(1+1) = (−4+1)/2 = −3/2
विभाजन बिन्दु P = (−3/2, 0)
x-अक्ष पर y = 0
y = (m×5 + n×(−5))/(m+n) = 0
5m − 5n = 0 → m = n → अनुपात = 1 : 1
x = (1×(−4) + 1×1)/(1+1) = (−4+1)/2 = −3/2
विभाजन बिन्दु P = (−3/2, 0)
अथवा (OR): A(−2,−2), B(2,−4), AP = 3/7 AB हो तो P = ?
AP/AB = 3/7 → AP/PB = 3/4 → P, AB को 3:4 में विभाजित करता है।
x = (3×2 + 4×(−2))/(3+4) = (6−8)/7 = −2/7
y = (3×(−4) + 4×(−2))/(3+4) = (−12−8)/7 = −20/7
P = (−2/7, −20/7)
x = (3×2 + 4×(−2))/(3+4) = (6−8)/7 = −2/7
y = (3×(−4) + 4×(−2))/(3+4) = (−12−8)/7 = −20/7
P = (−2/7, −20/7)
प्रश्न 16. सिद्ध कीजिए: (cotA − cosA)/(cotA + cosA) = (cosecA − 1)/(cosecA + 1) (3)
LHS: (cotA − cosA)/(cotA + cosA)
= (cosA/sinA − cosA)/(cosA/sinA + cosA)
= cosA(1/sinA − 1) / cosA(1/sinA + 1)
= (1/sinA − 1)/(1/sinA + 1)
= (cosecA − 1)/(cosecA + 1) = RHS
सिद्ध (Hence Proved)
= (cosA/sinA − cosA)/(cosA/sinA + cosA)
= cosA(1/sinA − 1) / cosA(1/sinA + 1)
= (1/sinA − 1)/(1/sinA + 1)
= (cosecA − 1)/(cosecA + 1) = RHS
सिद्ध (Hence Proved)
अथवा (OR): सिद्ध कीजिए: √((1+sinA)/(1−sinA)) = secA + tanA
LHS: √((1+sinA)/(1−sinA))
अंश-हर में (1+sinA) से गुणा:
= √((1+sinA)²/((1−sinA)(1+sinA)))
= √((1+sinA)²/(1−sin²A))
= √((1+sinA)²/cos²A)
= (1+sinA)/cosA
= 1/cosA + sinA/cosA
= secA + tanA = RHS
सिद्ध (Hence Proved)
अंश-हर में (1+sinA) से गुणा:
= √((1+sinA)²/((1−sinA)(1+sinA)))
= √((1+sinA)²/(1−sin²A))
= √((1+sinA)²/cos²A)
= (1+sinA)/cosA
= 1/cosA + sinA/cosA
= secA + tanA = RHS
सिद्ध (Hence Proved)
प्रश्न 17. कक्षा X की 51 लड़कियों की ऊँचाई (सेमी) से माध्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (3)
पहले संचयी बारम्बारता से बारम्बारता निकालें:
n = 51, n/2 = 25.5
CF = 11 < 25.5 ≤ 29 → माध्यिका वर्ग = 145−150
l = 145, f = 18, cf = 11, h = 5
Median = l + [(n/2 − cf)/f] × h
= 145 + [(25.5 − 11)/18] × 5
= 145 + (14.5/18) × 5
= 145 + 4.03
माध्यक ऊँचाई ≈ 149.03 सेमी
| वर्ग अन्तराल | fᵢ | CF |
|---|---|---|
| 135−140 | 4 | 4 |
| 140−145 | 7 | 11 |
| 145−150 | 18 | 29 |
| 150−155 | 11 | 40 |
| 155−160 | 6 | 46 |
| 160−165 | 5 | 51 |
CF = 11 < 25.5 ≤ 29 → माध्यिका वर्ग = 145−150
l = 145, f = 18, cf = 11, h = 5
Median = l + [(n/2 − cf)/f] × h
= 145 + [(25.5 − 11)/18] × 5
= 145 + (14.5/18) × 5
= 145 + 4.03
माध्यक ऊँचाई ≈ 149.03 सेमी
अथवा (OR): माध्यिका 28.5, x और y ज्ञात कीजिए (कुल बारम्बारता = 60)
| CI | fᵢ | CF |
|---|---|---|
| 0−10 | 5 | 5 |
| 10−20 | x | 5+x |
| 20−30 | 20 | 25+x |
| 30−40 | 15 | 40+x |
| 40−50 | y | 40+x+y |
| 50−60 | 5 | 45+x+y |
माध्यिका = 28.5 → माध्यिका वर्ग = 20−30
28.5 = 20 + [(30 − (5+x))/20] × 10
8.5 = (25−x)/2 → 17 = 25−x → x = 8
(1) से: y = 15−8 = 7
x = 8, y = 7
खण्ड — द / SECTION — D
निबन्धात्मक प्रश्न (Essay Type) [4 अंक प्रत्येक]
प्रश्न 18. भूमि के बिन्दु P से 10m ऊँचे भवन का उन्नयन कोण 30°। भवन पर ध्वज दंड है, ध्वज शिखर का उन्नयन कोण 45°। ध्वज दंड की लम्बाई और P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए। (√3=1.73) (4)
माना भवन की ऊँचाई AB = 10m, ध्वज दंड BC = h, P से दूरी = PA = d
△PAB में: tan 30° = AB/PA
1/√3 = 10/d → d = 10√3 = 17.3 m
△PAC में: tan 45° = AC/PA
1 = (10+h)/(10√3) → 10+h = 10√3
h = 10√3 − 10 = 10(√3−1) = 10(1.73−1) = 10 × 0.73
ध्वज दंड की लम्बाई = 7.3 m
△PAB में: tan 30° = AB/PA
1/√3 = 10/d → d = 10√3 = 17.3 m
△PAC में: tan 45° = AC/PA
1 = (10+h)/(10√3) → 10+h = 10√3
h = 10√3 − 10 = 10(√3−1) = 10(1.73−1) = 10 × 0.73
ध्वज दंड की लम्बाई = 7.3 m
अथवा (OR): 75m ऊँचे लाईट हाऊस से दो जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं (एक ही ओर)। दोनों जहाजों के बीच की दूरी = ? (4)
माना लाईट हाऊस AB = 75m
निकट जहाज C: tan 45° = 75/BC → BC = 75m
दूर जहाज D: tan 30° = 75/BD → 1/√3 = 75/BD → BD = 75√3m
दूरी CD = BD − BC = 75√3 − 75 = 75(√3 − 1)
= 75(1.73 − 1) = 75 × 0.73
दोनों जहाजों के बीच दूरी = 54.75 m
निकट जहाज C: tan 45° = 75/BC → BC = 75m
दूर जहाज D: tan 30° = 75/BD → 1/√3 = 75/BD → BD = 75√3m
दूरी CD = BD − BC = 75√3 − 75 = 75(√3 − 1)
= 75(1.73 − 1) = 75 × 0.73
दोनों जहाजों के बीच दूरी = 54.75 m
प्रश्न 19. एक ठोस खिलौना अर्धगोले + शंकु के आकार का है। शंकु ऊँचाई = 2 सेमी, आधार व्यास = 4 सेमी। खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए। यदि इसे बेलन में रखें तो आयतनों का अंतर = ? (π = 3.14) (4)
r = 2 cm (व्यास 4 का आधा), h (शंकु) = 2 cm
खिलौने का आयतन:
V = अर्धगोला + शंकु = (2/3)πr³ + (1/3)πr²h
= (2/3)(3.14)(8) + (1/3)(3.14)(4)(2)
= 16.75 + 8.37
V(खिलौना) = 25.12 cm³
बेलन (खिलौने को ढकने वाला):
बेलन r = 2 cm, h = अर्धगोला ऊँचाई + शंकु ऊँचाई = 2 + 2 = 4 cm
V(बेलन) = πr²h = 3.14 × 4 × 4 = 50.24 cm³
अंतर: 50.24 − 25.12
अंतर = 25.12 cm³
खिलौने का आयतन:
V = अर्धगोला + शंकु = (2/3)πr³ + (1/3)πr²h
= (2/3)(3.14)(8) + (1/3)(3.14)(4)(2)
= 16.75 + 8.37
V(खिलौना) = 25.12 cm³
बेलन (खिलौने को ढकने वाला):
बेलन r = 2 cm, h = अर्धगोला ऊँचाई + शंकु ऊँचाई = 2 + 2 = 4 cm
V(बेलन) = πr²h = 3.14 × 4 × 4 = 50.24 cm³
अंतर: 50.24 − 25.12
अंतर = 25.12 cm³
प्रश्न 20. निम्न आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। (4)
| परिवार माप (CI) | 1−3 | 3−5 | 5−7 | 7−9 | 9−11 |
|---|---|---|---|---|---|
| परिवार संख्या (f) | 7 | 8 | 2 | 2 | 1 |
l = 3, f₁ = 8, f₀ = 7, f₂ = 2, h = 2
Mode = l + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)] × h
= 3 + [(8−7)/(16−7−2)] × 2
= 3 + [1/7] × 2 = 3 + 0.286
बहुलक (Mode) = 3.286 (लगभग)
अथवा (OR): 25 परिवारों के भोजन पर दैनिक व्यय का माध्य ज्ञात कीजिए (उपयुक्त विधि से)। (4)
| व्यय (CI) | fᵢ | xᵢ | dᵢ = xᵢ−225 | fᵢdᵢ |
|---|---|---|---|---|
| 100−150 | 4 | 125 | −100 | −400 |
| 150−200 | 5 | 175 | −50 | −250 |
| 200−250 | 12 | 225 (a) | 0 | 0 |
| 250−300 | 2 | 275 | 50 | 100 |
| 300−350 | 2 | 325 | 100 | 200 |
| योग | 25 | −350 |
= 225 + (−350/25) = 225 − 14
माध्य दैनिक व्यय = ₹211
📊 सम्पूर्ण अंक विभाजन — Complete Marks Distribution
| Section | प्रश्न | अंक |
|---|---|---|
| A — MCQ (Q1) | 18 प्रश्न × 1 | 18 |
| A — Fill Ups (Q2) | 6 प्रश्न × 1 | 6 |
| A — Very Short (Q3) | 12 प्रश्न × 1 | 12 |
| B — Short Answer (Q4-Q13) | 10 प्रश्न × 2 | 20 |
| C — Long Answer (Q14-Q17) | 4 प्रश्न × 3 | 12 |
| D — Essay (Q18-Q20) | 3 प्रश्न × 4 | 12 |
| कुल | 80 अंक |
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