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Class 6 Maths Chapter 10 शून्य के दूसरी ओर Notes & Solutions | Integers Ganita Prakash NCERT

📅 Tuesday, 5 May 2026 📖 पढ़ रहे हैं...
NCERT Class 6 Maths Chapter 10 Notes | शून्य के दूसरी ओर — Integers | Ganita Prakash
🔢 गणित प्रकाश | कक्षा 6 | अध्याय 10

शून्य के दूसरी ओर
Beyond Zero — Integers (पूर्णांक) | Class 6 Maths Chapter 10

📚 NCERT Ganita Prakash 🏫 Class 6 | RBSE / CBSE 🌐 Hindi Medium ✅ Reprint 2026-27
📄 NCERT PDF 📝 MCQ Test 🏛️ ब्रह्मगुप्त ❓ FAQ
⚡ 30 Seconds Revision — Chapter 10 Key Points
  • पूर्णांक (Integers): ..., –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, ...
  • 0 न धनात्मक, न ऋणात्मक।
  • योज्य प्रतिलोम: (+n) + (–n) = 0
  • सभी ऋणात्मक संख्याएँ 0 से छोटी हैं। –5 < –3 < 0 < +3 < +5
  • जोड़ Formula: प्रारंभिक तल + गति = लक्ष्य तल
  • घटाव Formula: लक्ष्य तल – प्रारंभिक तल = आवश्यक गति
  • Key Rule: a – (–b) = a + b (ऋणात्मक घटाना = धनात्मक जोड़ना)
  • ब्रह्मगुप्त (628 CE) — पहले व्यक्ति जिन्होंने इन नियम दिए।
📌 Chapter 10 में क्या-क्या सीखेंगे?

10.1 बेला की मजेदार इमारत (Lift Model)  |  10.2 टोकन मॉडल  |  10.3 Real Life — Bank, Geography, Temperature  |  10.4 Integer Grid  |  10.5 ब्रह्मगुप्त का इतिहास

📋 विषय-सूची
  1. 10.1 बेला की मजेदार इमारत
    1. धनात्मक व ऋणात्मक संख्याएँ
    2. जोड़ Formula
    3. योज्य प्रतिलोम
    4. घटाव Formula
  2. 10.2 टोकन मॉडल
  3. 10.3 Real Life Applications
  4. संख्या रेखा
  5. जोड़-घटाव के सभी नियम
  6. 10.5 ब्रह्मगुप्त — इतिहास
  7. NCERT Exercise Solutions
  8. सारांश
  9. Common Mistakes
  10. MCQ Test (12 Questions)
  11. FAQ

1. 10.1 बेला की मजेदार इमारत — Lift Model

NCERT ने integers का concept समझाने के लिए बेला की आइसक्रीम फैक्ट्री में एक बहुमंजिला इमारत की कल्पना की है जिसमें भूतल के ऊपर और नीचे दोनों तरफ मंजिलें हैं।

🏢 Lift के बटन

Lift में दो बटन हैं:
'+' बटन → 1 तल ऊपर जाना
'–' बटन → 1 तल नीचे जाना

+ + + = +3 (तीन तल ऊपर)  |  – – – – = –4 (चार तल नीचे)

+5Space Centre 🚀
+4Sports Centre 🏅
+3Ice Cream 🍦
+2Books Centre 📚
+1Food Court 🍕
0Welcome Hall (भूतल) 🚪
–1Toys Store 🧸
–2Video Games 🎮
–3Cinema 🎬
–4Ghost House 👻
–5Dinosaur 🦕

1.1 धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ

➕ धनात्मक संख्याएँ

  • '+' चिह्न लगती है।
  • भूतल से ऊपर की मंजिलें।
  • उदाहरण: +1, +2, +3...
  • 0 से बड़ी होती हैं।

➖ ऋणात्मक संख्याएँ

  • '–' चिह्न लगती है।
  • भूतल से नीचे की मंजिलें।
  • उदाहरण: –1, –2, –3...
  • 0 से छोटी होती हैं।
💡 Key Points

0 न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।
हम 0 के सामने '+' या '–' चिह्न नहीं लगाते।
सभी ऋणात्मक संख्याएँ 0 से छोटी हैं।
सभी धनात्मक संख्याएँ 0 से बड़ी हैं।

1.2 जोड़ Formula — प्रारंभिक + गति = लक्ष्य

प्रारंभिक तल + गति = लक्ष्य तल Starting Floor + Movement = Target Floor

उदाहरण: भोजन कक्ष (+1) से +2 दबाएँ तो?   (+1) + (+2) = +3 (पुस्तक केंद्र)

Expressionहलभावार्थ
(+1) + (+4)+51 से शुरू, 4 ऊपर → 5
(+4) + (+1)+54 से शुरू, 1 ऊपर → 5
(+4) + (–3)+14 से शुरू, 3 नीचे → 1
(–1) + (+2)+1–1 से शुरू, 2 ऊपर → 1
(–1) + (+1)0–1 से शुरू, 1 ऊपर → 0
(0) + (+2)+20 से शुरू, 2 ऊपर → +2
(0) + (–2)–20 से शुरू, 2 नीचे → –2
(+2) + (–7)–52 से शुरू, 7 नीचे → –5
(–90) + (–55)–145Mining example

1.3 योज्य प्रतिलोम — Additive Inverse

✅ परिभाषा

किसी संख्या का योज्य प्रतिलोम वह संख्या है जिसे जोड़ने पर 0 (शून्य) मिले।
(+n) + (–n) = 0
उदाहरण: +3 का योज्य प्रतिलोम = –3  |  –3 का योज्य प्रतिलोम = +3
0 का योज्य प्रतिलोम = 0

संख्यायोज्य प्रतिलोमProof
+4–4(+4) + (–4) = 0
–4+4(–4) + (+4) = 0
+9–9(+9) + (–9) = 0
–7+7(–7) + (+7) = 0
00(0) + (0) = 0

1.4 घटाव Formula — लक्ष्य – प्रारंभिक = गति

लक्ष्य तल – प्रारंभिक तल = आवश्यक गति Target Floor – Starting Floor = Required Movement
Expressionभावार्थ (Lift)हल
(+5) – (+2)+2 से +5 जाना → 3 ऊपर+3
(–1) – (–2)–2 से –1 जाना → 1 ऊपर+1
(–1) – (+3)+3 से –1 जाना → 4 नीचे–4
(+2) – (–2)–2 से +2 जाना → 4 ऊपर+4
(+1) – (+4)+4 से +1 जाना → 3 नीचे–3
(0) – (+2)+2 से 0 जाना → 2 नीचे–2
(0) – (–2)–2 से 0 जाना → 2 ऊपर+2
(+4) – (–3)–3 से +4 जाना → 7 ऊपर+7
(+3) – (–3)–3 से +3 जाना → 6 ऊपर+6
🔑 Golden Rule — घटाव को जोड़ में बदलना

a – (–b) = a + b   (ऋणात्मक घटाना = धनात्मक जोड़ना)
a – (+b) = a + (–b)   (धनात्मक घटाना = ऋणात्मक जोड़ना)

उदाहरण:
(+7) – (+5) = (+7) + (–5) = +2
(–3) – (+8) = (–3) + (–8) = –11
(+8) – (–2) = (+8) + (+2) = +10
(+6) – (–9) = (+6) + (+9) = +15

2. 10.2 टोकन मॉडल — Token Model

Lift operator ने एक box रखी जिसमें:

  • 🟢 हरा टोकन = +1 (धनात्मक)
  • 🔴 लाल टोकन = –1 (ऋणात्मक)
🎯 Zero Pair (शून्य जोड़ा)

एक हरा (+1) और एक लाल (–1) टोकन मिलकर शून्य जोड़ा बनाते हैं → (+1) + (–1) = 0
इन्हें हटा देने से value नहीं बदलती।

जोड़ना — (+5) + (–3)

+
+
+
+
+
+
–
–
–
=
+
+
 = +2

3 शून्य जोड़े हटाने पर 2 धनात्मक टोकन बचते हैं।

जोड़ना — (+5) + (–8)

+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
 = –3

5 शून्य जोड़े हटाने पर 3 ऋणात्मक बचते हैं।

घटाव — (+4) – (–6)

💡 Zero Pair जोड़ने की trick

4 धनात्मक रखिए → 6 ऋणात्मक चाहिए → 6 शून्य जोड़े add करें → 6 ऋणात्मक ले लें → +10 बचता है।
(+4) – (–6) = (+4) + (+6) = +10

3. 10.3 Real Life में पूर्णांक

🏦 Bank (जमा-निकासी)

  • जमा (Credit) = धनात्मक
  • निकासी (Debit) = ऋणात्मक
  • Balance ऋणात्मक भी हो सकती है।

🌍 भूगोल (Altitude)

  • समुद्र तल (Sea Level) = 0
  • समुद्र तल से ऊपर = धनात्मक
  • समुद्र तल से नीचे = ऋणात्मक

🌡️ तापमान (Temperature)

  • 0°C = पानी का जमाव बिंदु
  • 0°C से ऊपर = धनात्मक
  • 0°C से नीचे = ऋणात्मक

⛏️ खदान (Mining)

  • भूतल = 0
  • ऊपर के स्तर = धनात्मक मीटर
  • नीचे के स्तर = ऋणात्मक मीटर

Bank Example

दिनलेन-देनराशिBalance
Startखाता खोला+₹100+₹100
Day 2जमा (Credit)+₹60+₹160
Day 3बिजली बिल (Debit)–₹30+₹130
Day 4बड़ी खरीद (Debit)–₹150–₹20
Day 5आय (Credit)+₹200+₹180

लद्दाख तापमान (NCERT Example)

तापमानसमयकारण
14°C02:00 PMदोपहर — सबसे गर्म
8°C11:00 AMसुबह
–2°C11:00 PMरात
–4°C02:00 AMरात का सबसे ठंडा समय

4. संख्या रेखा — Number Line

पूर्ण संख्या रेखा — शून्य के दोनों ओर पूर्णांक
–6 –4 –2 –1 0 +1 +2 +4 +6 ← ऋणात्मक (छोटी) धनात्मक (बड़ी) →
📌 Number Line के नियम

• दाईं ओर = बड़ी संख्या (धनात्मक दिशा)
• बाईं ओर = छोटी संख्या (ऋणात्मक दिशा)
• –3 < –2 < –1 < 0 < +1 < +2 < +3
• जोड़: दाईं ओर चलना | घटाव: बाईं ओर चलना

Unmarked Number Line (UNL) — अचिह्नित संख्या रेखा

UNL Example: (+85) + (–60) = +25
0 +25 +85 –60 (+85) + (–60) = +25

5. जोड़ और घटाव के सभी नियम — Master Table

Operation TypeResultExample
(धनात्मक) + (धनात्मक)हमेशा धनात्मक2 + 3 = 5
(ऋणात्मक) + (ऋणात्मक)हमेशा ऋणात्मक(–2) + (–3) = –5
(धनात्मक) + (ऋणात्मक)बड़े वाले का चिह्न5 + (–3) = +2; 3 + (–5) = –2
(धनात्मक) – (धनात्मक)धनात्मक या ऋणात्मक5–3=+2; 2–5=–3
(धनात्मक) – (ऋणात्मक)हमेशा धनात्मक(+4)–(–3) = +7
(ऋणात्मक) – (धनात्मक)हमेशा ऋणात्मक(–3)–(+4) = –7
(ऋणात्मक) – (ऋणात्मक)धनात्मक या ऋणात्मक(–7)–(–5)=–2; (–5)–(–7)=+2
कोई भी संख्या + 0वही संख्या(–3) + 0 = –3
कोई भी संख्या – 0वही संख्या(–2) – 0 = –2
0 – संख्यासंख्या का योज्य प्रतिलोम0 – (–2) = +2
🔑 Shortcut Rules

1. (–)×(–) घटाव में: a–(–b) = a+b  (दो minus sign = plus)
2. Large integer shortcut: (+2000) – (–200) = 2000 + 200 = 2200
3. Comparison: संख्या रेखा पर जो बाईं ओर हो, वह छोटी। –100 < –10 < 0 < 10 < 100

6. 10.5 ब्रह्मगुप्त — एक चुटकी इतिहास 🏛️

📜 ब्रह्मगुप्त (628 ईस्वी) — ब्रह्मस्फुटसिद्धांत

ब्रह्मगुप्त पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने 628 ईस्वी में अपनी पुस्तक ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में धनात्मक, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य पर जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन के स्पष्ट नियम दिए। इन्होंने शून्य को धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के समान महत्व दिया।

ब्रह्मगुप्त के योग के नियम (श्लोक 18.30)

नियमMathematical FormNCERT उदाहरण
दो धनात्मक का योग धनात्मक+ + + = +2 + 3 = 5
दो ऋणात्मक का योग ऋणात्मक– + – = –(–2) + (–3) = –5
धन + ऋण: बड़ी संख्या घटाएँ, बड़े का चिह्न|a|>|b| → a का sign–5 + 3 = –2; 2+(–3)=–1
संख्या + योज्य प्रतिलोम = 0a + (–a) = 02+(–2) = 0
संख्या + 0 = वही संख्याa + 0 = a–2 + 0 = –2

ब्रह्मगुप्त के घटाव के नियम (श्लोक 18.31-18.32)

नियमExample
बड़े धनात्मक से छोटा घटाएँ → धनात्मक3–2 = 1
छोटे से बड़ा घटाएँ → ऋणात्मक2–3 = –1
ऋणात्मक घटाना = संगत धनात्मक जोड़ना2–(–3) = 2+3 = 5
संख्या को खुद से घटाएँ → 02–2=0; (–2)–(–2)=0
संख्या से 0 घटाएँ → वही संख्या(–2)–0 = –2
0 में से संख्या घटाएँ → योज्य प्रतिलोम0–(–2) = 2
🌏 ऐतिहासिक तथ्य

• ऋणात्मक संख्याओं का पहला उपयोग लेखांकन में — China (1st-2nd century CE): लाल छड़ी = ऋणात्मक, काली = धनात्मक।
• भारत: कौटिल्य के अर्थशास्त्र (~300 BCE) में debit-credit।
• बख्शाली पांडुलिपि (~300 CE) में ऋणात्मक संख्याएँ।
• ब्रह्मगुप्त (628 CE): सभी नियमों का systematic framework।
• 18वीं शताब्दी तक Europe में भी ऋणात्मक संख्याएँ नहीं मानी जाती थीं!

7. NCERT Exercise Solutions

Section 10.1 — Lift Exercise (मुख्य answers)

ExpressionAnswer
(+1) + (+4)+5
(+4) + (–3)+1
(+4) + (–3) + (–2)–1
(–1) + (+2) + (–3)–2

घटाव Exercise (Section 10.1)

QAnsQAns
(+1)–(+4)–3(0)–(+2)–2
(+4)–(+1)+3(0)–(–2)+2
(+4)–(–3)+7(–4)–(–3)–1
(–1)–(+2)–3(–2)–(–2)0
(–1)–(+1)–2(+3)–(–3)+6

बड़ी संख्याएँ (Mining Example)

QAns
(+40) + (+60)+100
(–90) + (–55)–145
(+40) – (–50)+90
(–90) – (+40)–130
(+2000) – (–200)+2200
–125 + (–30)–155
+105 – (–55)+160
+80 – (–150)+230
–99 – (–200)+101
+1500 – (–1500)+3000

Bank Exercise (Section 10.3)

📊 Q1 Solution

जमा: +30, +40, +50 = +120  |  निकासी: –40, –50, –60 = –150
Balance = 0 + 120 + (–150) = –30 (खाता ऋणात्मक हो गया)

8. सारांश — Chapter 10

📖 NCERT Textbook से सारांश
  • 0 से छोटी संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं — '–' चिह्न के साथ।
  • ..., –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, ... → पूर्णांक (Integers)।
  • हर संख्या का एक योज्य प्रतिलोम होता है जिसे जोड़ने पर 0 मिले।
  • जोड़: प्रारंभिक + गति = लक्ष्य।
  • घटाव: लक्ष्य – प्रारंभिक = गति।
  • किसी पूर्णांक का घटाव = उसके योज्य प्रतिलोम का जोड़।
  • पूर्णांकों की तुलना: ...–3 < –2 < –1 < 0 < +1 < +2 < +3...
  • ऋणात्मक = समुद्र तल से नीचे, 0°C से नीचे, bank debit।

9. Common Mistakes

❌ Top 8 Mistakes — Chapter 10
  • –3 < –5 लिखना — गलत! –5 < –3 क्योंकि –5 number line पर बाईं ओर है।
  • (+4) – (–6) = –2 लिखना — गलत! = +10 (ऋणात्मक घटाना = धनात्मक जोड़ना)।
  • 0 को धनात्मक मानना — गलत! 0 न + न –।
  • (–2) – (–2) = –4 — गलत! = 0
  • –3 + 0 = 0 — गलत! = –3
  • (–90) + (–55) = –35 — गलत! दोनों ऋणात्मक को जोड़ें → –145
  • घटाव और जोड़ के formulas को उल्टा लिखना।
  • Number line पर negative direction भूल जाना।

10. MCQ Practice Test — 12 Questions

👆 विकल्प पर click करें।

Q1. पूर्णांक (Integers) किसे कहते हैं?

  • केवल धनात्मक संख्याएँ
  • शून्य सहित सभी धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ
  • केवल 1, 2, 3...
  • केवल भिन्न संख्याएँ

Q2. (+3) + (–5) = ?

  • –2
  • +8
  • +2
  • –8

Q3. –5 का योज्य प्रतिलोम क्या है?

  • –5
  • –1/5
  • +5
  • 0

Q4. (–3) – (–7) = ?

  • –10
  • –4
  • +10
  • +4

Q5. इनमें से सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?

  • –10
  • –5
  • 0
  • +3

Q6. (+4) – (–6) = ?

  • –2
  • +2
  • +10
  • –10

Q7. (–2) + (–3) = ?

  • +5
  • –5
  • –1
  • +1

Q8. लक्ष्य तल –1, प्रारंभिक तल –2 हो तो कौन-सा बटन दबाएँ?

  • +1 (एक तल ऊपर)
  • –1 (एक तल नीचे)
  • +2
  • –3

Q9. ब्रह्मगुप्त ने पूर्णांकों के नियम कब दिए?

  • 300 BCE
  • 300 CE
  • 628 CE
  • 1000 CE

Q10. –8 – (–8) = ?

  • –16
  • +16
  • –8
  • 0

Q11. 0 के बारे में कौन-सा कथन सही है?

  • 0 न धनात्मक है, न ऋणात्मक।
  • 0 धनात्मक है।
  • 0 ऋणात्मक है।
  • 0 सबसे बड़ा पूर्णांक है।

Q12. (+2000) – (–200) = ?

  • +1800
  • +2200
  • –1800
  • –2200
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11. FAQ — Chapter 10 पूर्णांक

Chapter 10 का नाम शून्य के दूसरी ओर (Beyond Zero / Integers) है। PDF: ncert.nic.in/textbook/pdf/fhgp110.pdf
ऋणात्मक संख्या को घटाना = उसके संगत धनात्मक को जोड़ना।
a – (–b) = a + b
जैसे: (+4)–(–6) = (+4)+(+6) = +10
कारण: Lift में –6 तल से +4 तल जाना = 10 ऊपर।
–5 < –3 सही है। Number line पर –5, –3 से बाईं ओर है। बाईं ओर की संख्या हमेशा छोटी होती है।
Lift में: –5 तल (डायनासौर), –3 तल (सिनेमा) से नीचे है। इसलिए –5 < –3।
Lift में: गलत बटन दबाया → undo करने के लिए प्रतिलोम दबाएँ।
Bank: debit को credit से cancel करना।
Temperature: –10°C को +10°C से cancel करने पर 0°C।
यही concept algebra में negative numbers undo करने में काम आता है।
ब्रह्मगुप्त (628 CE) पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने: 1) शून्य को number treat किया, 2) ऋणात्मक + धनात्मक + शून्य तीनों पर जोड़-घटाव के systematic rules दिए। उन्होंने वह foundation बनाई जिससे आधुनिक algebra का जन्म हुआ।
एक हरा (+1) token और एक लाल (–1) token मिलकर शून्य जोड़ा बनाते हैं। (+1)+(–1)=0। इन्हें हटाने से set की value नहीं बदलती। यह concept घटाव को visually समझने में मदद करता है — जब पर्याप्त tokens न हों तो zero pairs add करो।

12. Related Chapters

Chapter 9 — सममिति (Symmetry) Notes & Solutions Chapter 8 — रचनाओं के साथ खेलना Notes & Solutions Chapter 7 — भिन्न (Fractions) Notes Chapter 6 — परिमाप और क्षेत्रफल Notes
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