रचनाओं के साथ खेलना
Playing with Constructions — Class 6 Maths Chapter 8 Notes
इस अध्याय में आप परकार (Compass) और रूलर का उपयोग करके वृत्त, वर्ग, आयत, विकर्ण और दो बिंदुओं से समान दूरी वाले बिंदु की रचना करेंगे। NCERT की philosophy है — जो आकृति बना सकते हो, उसे सही से समझ सकते हो।
1. 8.1 कलाकृति — परकार का परिचय
NCERT इस अध्याय की शुरुआत एक बड़े और रोचक तरीके से करता है — पहले मुक्त-हस्त (Free Hand) से विभिन्न आकृतियाँ बनाइए, फिर देखिए कि परकार और रूलर से कितनी सटीक और सुंदर आकृतियाँ बनती हैं।
पेंसिल से कागज पर बनाई गई कोई भी आकृति वक्र कहलाती है — इनमें सरल रेखाएँ, वृत्त तथा अन्य आकृतियाँ सम्मिलित हैं।
परकार का सही उपयोग — Step Mastery
| Step | क्या करें? | सावधानी ⚠️ |
|---|---|---|
| 1 | Scale पर desired radius set करें। | Needle और pencil tip exact दूरी पर हों। |
| 2 | Needle को center point पर रखें। | Needle खिसकनी नहीं चाहिए। |
| 3 | Pencil tip घुमाकर arc या circle बनाइए। | Opening angle बदलना नहीं चाहिए। |
वृत्त, केंद्र और त्रिज्या — Concept + Construction
कागज पर बिंदु P से 4 सेमी दूरी पर सभी बिंदु बनाने पर एक वृत्त बनता है।
- 1कागज पर एक बिंदु P अंकित कीजिए।
- 2परकार को रूलर की सहायता से 4 सेमी पर set कीजिए।
- 3परकार की needle को बिंदु P पर स्थिर रखिए।
- 4Pencil tip को पूरा घुमाइए — वृत्त बन जाएगा।
P = केंद्र (Centre), 4 सेमी = त्रिज्या (Radius)। वृत्त पर स्थित प्रत्येक बिंदु P से ठीक 4 सेमी दूर होगा।
रचना कीजिए — 8.1 Activities
| Activity | Key Point |
|---|---|
| 1. एक व्यक्ति की आकृति | ऊपर circle (सिर) + नीचे arc-collar (शरीर) — arc के लिए परकार का सिरा ऊपर रखें। |
| 2. तरंगित लहर (Wave) | AB = 8 सेमी; पहली अर्धवृत्त के लिए AX = 4 सेमी → त्रिज्या = 4 सेमी। |
| 3. आँखें | दो सममित arc — ऊपर और नीचे के बिंदु A व B को रेखा के symmetry पर रखें। |
यदि AB = 8 सेमी है और पहली लहर एक अर्धवृत्त है, तो AX = 4 सेमी (AB का आधा) और त्रिज्या = 4 सेमी।
2. 8.2 वर्ग और आयत — परिभाषा व गुण
🟦 वर्ग (Square) के गुण
- S1: सभी भुजाएँ समान होती हैं।
- S2: सभी कोण 90° होते हैं।
🟩 आयत (Rectangle) के गुण
- R1: सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
- R2: सभी कोण 90° होते हैं।
आयत ABCD में — AB और CD सम्मुख भुजाएँ हैं, AD और BC सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म है।
2.1 आयत / वर्ग का नाम — Valid या Invalid?
एक valid नाम में आयत/वर्ग के कोनों का क्रम किसी भी कोने से शुरू होकर एक ही दिशा (clockwise या anti-clockwise) में चलता है।
| वर्ग SPQR का नाम | Valid? | कारण |
|---|---|---|
| PQSR | ❌ Invalid | P→Q→S→R क्रम में नहीं चलता। |
| SPQR | ✅ Valid | S→P→Q→R — एक ही दिशा में। |
| RSPQ | ✅ Valid | R→S→P→Q — एक ही दिशा में। |
| QRSP | ✅ Valid | Q→R→S→P — एक ही दिशा में। |
2.2 घुमाए गए वर्ग और आयत
यदि वर्ग को घुमाया जाए — क्या वह वर्ग रहता है?
वर्ग को घुमाने पर उसकी भुजाओं की लंबाई और कोणों की माप नहीं बदलती। इसलिए घुमाया गया वर्ग भी वर्ग है, और घुमाया गया आयत भी आयत है।
3. 8.3 वर्ग और आयत की रचना
6 सेमी भुजा वाला वर्ग PQRS — Full Construction
6 सेमी भुजा वाला perfect square PQRS बनाना, जिसमें PQ = QR = RS = SP = 6 सेमी और सभी कोण = 90°।
- 1PQ = 6 सेमी रेखाखंड बनाइए — यह पहली भुजा है।
- 2P पर PQ के लंब (perpendicular) खींचिए (protractor या compass से)।
- 3उस लंब पर परकार से PS = 6 सेमी mark करें।
- 4Q पर भी PQ के लंब खींचिए।
- 5उस लंब पर परकार से QR = 6 सेमी mark करें।
- 6S और R को मिलाइए — PQRS वर्ग complete!
PQ = QR = RS = SP = 6 सेमी और ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90° — यह वर्ग के दोनों गुण S1 और S2 पूरे करता है।
6 सेमी × 4 सेमी आयत ABCD — Full Construction
- 1AB = 6 सेमी रेखाखंड बनाइए।
- 2A पर AB के लंब खींचिए।
- 3उस लंब पर परकार से AD = 4 सेमी mark करें।
- 4B पर भी AB के लंब खींचिए।
- 5उस लंब पर परकार से BC = 4 सेमी mark करें।
- 6D और C को मिलाइए — आयत ABCD ready!
Q: क्या ऐसी 4 भुजाओं वाली आकृति बनाई जा सकती है जिसमें सभी कोण 90° हों लेकिन सम्मुख भुजाएँ बराबर न हों?
A: नहीं। यदि सभी कोण 90° हों तो सम्मुख भुजाएँ automatically बराबर होती हैं — ऐसी आकृति आयत ही होगी।
4. 8.4 आयतों में एक खोज — X और Y की खोज
आयत ABCD जिसमें AB = 7 सेमी और BC = 4 सेमी है। बिंदु X भुजा AD पर और बिंदु Y भुजा BC पर चल सकता है।
| A से X की दूरी | B से Y की दूरी | XY की लंबाई | ABYX का आकार |
|---|---|---|---|
| 5 मिमी | 5 मिमी | 7 सेमी | आयत |
| 1 सेमी | 1 सेमी | 7 सेमी | आयत |
| 1 सेमी 5 मिमी | 1 सेमी 5 मिमी | 7 सेमी | आयत |
| 4 सेमी (= D) | 0 (= B) | विकर्ण BD | Triangle |
| 0 (= A) | 4 सेमी (= C) | विकर्ण AC | Triangle |
जब AX = BY (X और Y A और B से समान दूरी पर), तो XY = AB = 7 सेमी और ABYX एक आयत बनाता है।
XY की न्यूनतम दूरी = AB = 7 सेमी (जब X और Y क्रमशः AD और BC पर लंबवत हों)।
आयत को 3 समान वर्गों में बाँटना
- 1एक वर्ग की भुजा AF = 4 सेमी मान लीजिए।
- 2AF पर लंब खींचिए, परकार से B चिह्नित करें (AB = AF = 4 सेमी)।
- 3इसी प्रकार C चिह्नित करें।
- 4आयत ACDF बनाइए जहाँ AC = 12 सेमी, AF = 4 सेमी।
12 सेमी × 4 सेमी आयत = तीन 4 सेमी × 4 सेमी वर्ग। चूँकि AF = AB = BE = FE और BE = BC = CD = ED — सभी छोटे रेखाखंड समान हैं।
8 सेमी × 4 सेमी आयत के अंदर Centered Square
- 18 सेमी × 4 सेमी आयत बनाइए।
- 2अंदर बनने वाले वर्ग की side = 4 सेमी (छोटी dimension = height)।
- 3लंबाई में बचा space = 8 − 4 = 4 सेमी।
- 4दोनों ओर margin = 2 सेमी each।
- 52 सेमी छोड़कर 4 सेमी भुजा का centered square बनाइए।
5. 8.5 आयतों और वर्गों के विकर्ण
आयत PQRS में PR और QS — ये दोनों रेखाखंड विकर्ण (Diagonals) कहलाते हैं।
| आकृति | विकर्ण की property | कोण विभाजन |
|---|---|---|
| आयत | दोनों विकर्ण बराबर होते हैं। | सम्मुख कोणों को असमान भागों में (जब भुजाएँ असमान हों) |
| वर्ग | दोनों विकर्ण बराबर होते हैं। | प्रत्येक कोण 90° को 45° + 45° में बाँटते हैं। |
एक भुजा और विकर्ण से आयत — Construction
Goal: आयत ABCD बनाना।
- 1CD = 5 सेमी रेखाखंड बनाइए।
- 2C पर CD के लंब रेखा 'l' खींचिए — बिंदु B इसी रेखा पर होगा।
- 3परकार को 7 सेमी पर set करें।
- 4D को center मानकर 7 सेमी radius का वृत्त (या arc) बनाइए।
- 5यह arc रेखा 'l' को जहाँ काटे — वह बिंदु B है।
- 6DC और BC पर लंब खींचकर D और B से — प्रतिच्छेद पर बिंदु A मिलेगा।
- 7ABCD — आयत complete।
B को रेखा 'l' पर भी होना है (क्योंकि ∠BCD = 90°) और D से 7 सेमी दूर भी — इसलिए arc ठीक उस point को locate करती है।
विकर्ण जो 60°–30° में बाँटे — Construction
- 1AB रेखाखंड बनाइए (किसी भी लंबाई का)।
- 2A से 60° के कोण पर विकर्ण AC बनाइए।
- 3A पर AB के लंब AD बनाइए (∠DAB = 90°, ∠DAC = 30°)।
- 4B से लंब खींचिए; परकार से BC = AD mark करके C प्राप्त करें।
- 5ABCD — वांछित आयत।
6. 8.6 दो दिए हुए बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदु
ऐसा बिंदु A खोजना जो बिंदु B और C दोनों से 5 सेमी दूर हो। (घर की आकृति में roof का top point)
- 1B और C बिंदु बनाइए।
- 2परकार को 5 सेमी पर set करें।
- 3B को center मानकर 5 सेमी radius की arc बनाइए।
- 4C को center मानकर भी 5 सेमी radius की arc बनाइए।
- 5दोनों arcs जहाँ काटती हैं — वह बिंदु A है।
- 6A को B और C से मिलाइए — AB = AC = 5 सेमी।
घर की आकृति — Complete Construction (सभी भुजाएँ 5 सेमी)
- 1Base DE = 5 सेमी, दोनों ओर DB = 5 सेमी और EC = 5 सेमी — खड़ी भुजाएँ।
- 2बीच में 1 सेमी × 2 सेमी का door rectangle बनाइए।
- 3B और C से 5 सेमी त्रिज्या की दो arcs खींचिए।
- 4arcs के intersection पर बिंदु A (roof top) मिलेगा।
- 5A को B और C से मिलाइए।
- 6A से 5 सेमी त्रिज्या लेकर B और C को touch करती हुई arcs खींचिए — roof complete!
A को B और C दोनों से equal distance पर होना है → इसीलिए equal arcs का intersection सबसे सही method है।
Q: क्या चार समान भुजाओं वाली आकृति वर्ग न हो? A: हाँ! — समचतुर्भुज (Rhombus) की चारों भुजाएँ समान होती हैं लेकिन कोण 90° नहीं होते।
7. सारांश — Master Reference Table
- वृत्त के सभी बिंदु, केंद्र से समान दूरी पर होते हैं — यह दूरी त्रिज्या कहलाती है।
- वृत्त और उसके भागों की रचना के लिए परकार का प्रयोग किया जाता है।
- रचना की पहले रफ आकृति बनाना सहायक होता है।
- आयत की रचना — यदि भुजाएँ दी हों, या एक भुजा + विकर्ण दिया हो।
| NCERT Activity / Question | Answer / Conclusion |
|---|---|
| P से 4 सेमी दूर सभी points | Center P, radius 4 सेमी का वृत्त बनाते हैं। |
| वृत्त पर point की P से दूरी | हमेशा 4 सेमी (त्रिज्या के बराबर)। |
| Wave की त्रिज्या (AB=8 सेमी) | AX = 4 सेमी → त्रिज्या = 4 सेमी। |
| PQSR valid name? | ❌ नहीं — corners एक दिशा में नहीं चलते। |
| घुमाया गया square | ✅ अब भी square (S1 + S2 पूरे)। |
| 4 भुजाएँ — सभी 90° पर सम्मुख असमान? | ❌ Impossible — such shape = rectangle only. |
| 3 समान वर्गों वाली आयत | Length = 3 × side; e.g. 12 सेमी × 4 सेमी। |
| आयत के विकर्ण | दोनों विकर्ण बराबर। |
| 45°–45° diagonal split | वर्ग (Square) में — सभी कोण equal। |
| 4 समान भुजाएँ पर square नहीं | ✅ Rhombus (समचतुर्भुज) — 90° नहीं। |
| दो बिंदुओं से equal distance | Equal arcs का intersection। |
8. Common Mistakes — इन गलतियों से बचें!
- परकार की radius set करके बीच में बदल देना — arc accurate नहीं बनेगी।
- Needle point को खिसका देना — center बदल जाएगा।
- Perpendicular line सही 90° पर न बनाना।
- घुमाए गए square को square न मानना (diamond ≠ rhombus यहाँ)।
- आयत के नाम में vertices को गलत क्रम में लिखना।
- Diagonal और side को confuse करना।
- Equal distance point में दोनों arcs की radius अलग-अलग लेना।
- Rectangle की भुजा 5 सेमी + diagonal 7 सेमी में arc का center C की बजाय D न लेना।
9. MCQ Practice Test — Chapter 8
👆 विकल्प पर click करें — तुरंत result मिलेगा।
Q1. वृत्त के सभी बिंदु किससे समान दूरी पर होते हैं?
- केंद्र से
- व्यास से
- किसी अन्य बिंदु से
- परिधि से
Q2. केंद्र से वृत्त पर किसी बिंदु तक की दूरी क्या कहलाती है?
- व्यास
- त्रिज्या
- जीवा
- परिधि
Q3. वर्ग के सभी कोणों का माप क्या होता है?
- 90°
- 60°
- 45°
- 120°
Q4. आयत में कौन-सी भुजाएँ बराबर होती हैं?
- सभी चार भुजाएँ
- कोई भी नहीं
- सम्मुख भुजाएँ
- आसन्न भुजाएँ
Q5. वर्ग SPQR में निम्नलिखित में से कौन-सा नाम अवैध (invalid) है?
- SPQR
- RSPQ
- QRSP
- PQSR
Q6. घुमाया गया वर्ग क्या रहता है?
- वर्ग
- आयत
- समचतुर्भुज
- समलंब
Q7. आयत के दोनों विकर्णों की लंबाई कैसी होती है?
- असमान
- बराबर
- एक दूसरे की आधी
- कोई निश्चित संबंध नहीं
Q8. वर्ग का विकर्ण 90° कोण को किस अनुपात में बाँटता है?
- 30°–60°
- 60°–30°
- 45°–45°
- 40°–50°
Q9. दो बिंदुओं से समान दूरी वाला बिंदु कैसे मिलता है?
- equal radius arcs के intersection से
- perpendicular bisector से नहीं
- ruler से सीधे
- protractor से
Q10. 12 सेमी × 4 सेमी आयत को कितने समान वर्गों में बाँटा जा सकता है?
- 2
- 4
- 6
- 3
10. Practice Worksheet
- वृत्त के सभी बिंदु ________ से समान दूरी पर होते हैं।
- केंद्र से वृत्त तक की दूरी ________ कहलाती है।
- वर्ग की सभी भुजाएँ ________ होती हैं।
- आयत की सम्मुख भुजाएँ ________ होती हैं।
- आयत के opposite vertices को जोड़ने वाली रेखा ________ कहलाती है।
- वर्ग में विकर्ण प्रत्येक कोण को ________ × ________ में बाँटता है।
- चार समान भुजाओं वाली आकृति जो वर्ग न हो, ________ कहलाती है।
1. केंद्र | 2. त्रिज्या | 3. बराबर | 4. बराबर | 5. विकर्ण | 6. 45° × 45° | 7. समचतुर्भुज (Rhombus)
- केंद्र P और त्रिज्या 4 सेमी वाला वृत्त बनाइए।
- 6 सेमी भुजा वाला वर्ग PQRS बनाइए।
- 6 सेमी × 4 सेमी आयत ABCD बनाइए।
- एक आयत बनाइए जिसकी एक भुजा 5 सेमी और विकर्ण 7 सेमी हो।
- दो बिंदु B और C से 5 सेमी दूर point A construct करें।
- घर की आकृति बनाइए — सभी border segments 5 सेमी।
- एक 12 सेमी × 4 सेमी आयत को 3 समान वर्गों में बाँटिए।
11. FAQ — अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
केंद्र: वह fixed बिंदु जहाँ परकार की needle रखते हैं।
त्रिज्या (Radius): केंद्र से वृत्त पर किसी बिंदु तक की दूरी।
आयत: सम्मुख भुजाएँ बराबर (पर जरूरी नहीं सभी) + सभी कोण 90°।
इसलिए हर वर्ग एक आयत है लेकिन हर आयत वर्ग नहीं।
वर्ग में — विकर्ण बराबर होते हैं AND प्रत्येक कोण (90°) को 45°–45° में बाँटते हैं।
No comments:
Post a Comment