राजस्थान माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (RBSE) कक्षा 10 गणित का Model Paper 2026 — 2024 के Official Board Paper Pattern पर आधारित, सम्पूर्ण हल (Complete Solutions) सहित।
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| विवरण | Detail |
|---|---|
| बोर्ड | RBSE, अजमेर |
| कक्षा / विषय | Class 10 — Mathematics (गणित) |
| पूर्णांक / समय | 80 अंक / 3 घण्टे 15 मिनट |
| आधार | 2024 Official Board Paper Pattern |
| प्रकार | NCERTClasses.com — Predicted Model Paper |
📝 प्रश्न पत्र — QUESTION PAPER
खण्ड — अ / SECTION — A (36 अंक)
बहुविकल्पीय, रिक्त स्थान एवं अतिलघुत्तरात्मक प्रश्न
प्रश्न 1. निम्न MCQ के सही विकल्प चुनिए (i to xviii) [18×1=18]
(i) यदि दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का HCF = 1 हो तो a और b कहलाते हैं —
(a) अभाज्य संख्याएँ (b) सह-अभाज्य संख्याएँ (c) भाज्य संख्याएँ (d) सम संख्याएँ (1)
(a) अभाज्य संख्याएँ (b) सह-अभाज्य संख्याएँ (c) भाज्य संख्याएँ (d) सम संख्याएँ (1)
(ii) यदि HCF(306, 657) = 9, तो LCM(306, 657) =
(a) 22338 (b) 23338 (c) 22__(?) (d) 20342 (1)
(a) 22338 (b) 23338 (c) 22__(?) (d) 20342 (1)
(iii) द्विघात बहुपद x² − 5x + 6 के शून्यक हैं —
(a) 2, 3 (b) −2, −3 (c) 2, −3 (d) −2, 3 (1)
(a) 2, 3 (b) −2, −3 (c) 2, −3 (d) −2, 3 (1)
(iv) समीकरण x + 2y = 5 और 3x + 6y = 15 के —
(a) एक अद्वितीय हल है (b) कोई हल नहीं (c) अनन्त हल हैं (d) ठीक दो हल हैं (1)
(a) एक अद्वितीय हल है (b) कोई हल नहीं (c) अनन्त हल हैं (d) ठीक दो हल हैं (1)
(v) समान्तर श्रेढ़ी 2, 7, 12, ... का 10वाँ पद है —
(a) 45 (b) 47 (c) 48 (d) 50 (1)
(a) 45 (b) 47 (c) 48 (d) 50 (1)
(vi) यदि किसी AP का nवाँ पद aₙ = 3n + 7 हो तो सार्वअन्तर d =
(a) 7 (b) 3 (c) 10 (d) 4 (1)
(a) 7 (b) 3 (c) 10 (d) 4 (1)
(vii) यदि △ABC ~ △PQR तथा AB/PQ = 1/3 हो तो ar(△ABC)/ar(△PQR) =
(a) 1/3 (b) 1/9 (c) 3 (d) 9 (1)
(a) 1/3 (b) 1/9 (c) 3 (d) 9 (1)
(viii) मूल बिन्दु से (−6, 8) की दूरी है —
(a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 14 (1)
(a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 14 (1)
(ix) यदि sin A = 3/5 तो cos A =
(a) 4/5 (b) 3/4 (c) 5/3 (d) 5/4 (1)
(a) 4/5 (b) 3/4 (c) 5/3 (d) 5/4 (1)
(x) एक मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण है —
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) 90° (1)
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) 90° (1)
(xi) किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या है —
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (1)
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (1)
(xii) 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का केन्द्र O है। बिन्दु P से OP = 25 सेमी, स्पर्श रेखा PT =
(a) 18 सेमी (b) 24 सेमी (c) 25 सेमी (d) 26 सेमी (1)
(a) 18 सेमी (b) 24 सेमी (c) 25 सेमी (d) 26 सेमी (1)
(xiii) वृत्त की परिधि (circumference) का सूत्र है —
(a) πr² (b) 2πr (c) πd² (d) 4πr (1)
(a) πr² (b) 2πr (c) πd² (d) 4πr (1)
(xiv) शंकु का आयतन (Volume of cone) है —
(a) πr²h (b) (1/3)πr²h (c) (2/3)πr³ (d) (4/3)πr³ (1)
(a) πr²h (b) (1/3)πr²h (c) (2/3)πr³ (d) (4/3)πr³ (1)
(xv) एक गोले का व्यास 6 सेमी है, उसका आयतन (cm³ में) होगा —
(a) 36π (b) 48π (c) 12π (d) 24π (1)
(a) 36π (b) 48π (c) 12π (d) 24π (1)
(xvi) आँकड़े 5, 10, 10, 15, 20, 20, 20, 25, 30 का बहुलक है —
(a) 10 (b) 15 (c) 20 (d) 25 (1)
(a) 10 (b) 15 (c) 20 (d) 25 (1)
(xvii) सूत्र Median = l + [(n/2 − cf)/f] × h में 'cf' है —
(a) माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (b) माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता
(c) कुल बारम्बारता (d) अन्तिम वर्ग की बारम्बारता (1)
(a) माध्यिका वर्ग की बारम्बारता (b) माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता
(c) कुल बारम्बारता (d) अन्तिम वर्ग की बारम्बारता (1)
(xviii) एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया निकालने पर लाल गेंद की प्रायिकता है —
(a) 3/5 (b) 5/8 (c) 3/8 (d) 5/3 (1)
(a) 3/5 (b) 5/8 (c) 3/8 (d) 5/3 (1)
प्रश्न 2. रिक्त स्थान भरिए (i to vi) [6×1=6]
(i) द्विघात समीकरण 3x² − 5x + 2 = 0 के मूलों का गुणनफल ____ है। (1)
(ii) AP: 5, 8, 11, 14, ... का 20वाँ पद ____ है। (1)
(iii) sin²45° + cos²45° = ____ (1)
(iv) समरूपता का ____ नियम नहीं होता। (AAA / SSS / SSA / SAS) (1)
(v) बाह्य बिन्दु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाई ____ होती है। (1)
(vi) किसी निश्चित (Sure) घटना की प्रायिकता ____ होती है। (1)
प्रश्न 3. अतिलघुत्तरात्मक प्रश्न (i to xii) [12×1=12]
(i) यदि HCF(72, 120) = 24 हो तो LCM(72, 120) ज्ञात कीजिए। (1)
(ii) 1260 को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए। (1)
(iii) एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 5 और गुणनफल 6 हो। (1)
(iv) रेखाएँ 3x + 2y = 5 और 6x + 4y = 18 समान्तर हैं या प्रतिच्छेदी? कारण बताइए। (1)
(v) AP: 7, 13, 19, ... का कौन सा पद 205 है? (1)
(vi) बिन्दुओं (2, 3) और (4, 1) का मध्य बिन्दु ज्ञात कीजिए। (1)
(vii) यदि tan θ = 12/5, तो sin θ ज्ञात कीजिए। (1)
(viii) PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि PA = 4 सेमी तो PB = ? (1)
(ix) 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के 90° कोण वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1)
(x) त्रिज्या 3.5 सेमी वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1)
(xi) आँकड़े 4, 7, 6, 2k+3, 8, 9, 12, 13 का माध्यक 8 हो तो k = ? (1)
(xii) 1 से 10 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (1)
खण्ड — ब / SECTION — B (20 अंक)
लघुत्तरात्मक प्रश्न (Short Answer) [2 अंक प्रत्येक]
4. द्विघात बहुपद x² − 3x − 10 के शून्यक ज्ञात कीजिए तथा शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध सत्यापित कीजिए। (2)
5. एक भिन्न ऐसी है कि यदि अंश में 1 जोड़ दिया जाए तो वह 1/2 हो जाती है और यदि हर में 1 जोड़ दिया जाए तो 1/3 हो जाती है। भिन्न ज्ञात कीजिए। (2)
6. वह AP ज्ञात कीजिए जिसका 5वाँ पद 19 और 10वाँ पद 34 है। (2)
7. △ABC में D और E क्रमशः AB और AC पर बिन्दु हैं जहाँ AD = 4 सेमी, DB = 6 सेमी, AE = 3 सेमी। यदि DE ∥ BC हो तो EC ज्ञात कीजिए। (2)
8. बिन्दुओं A(1, −1) और B(5, 2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (2)
9. यदि tan 2A = cot(A − 18°) हो तो A का मान ज्ञात कीजिए (2A न्यून कोण)। (2)
10. सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं। (2)
11. 6 सेमी त्रिज्या और 60° कोण वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल तथा चाप की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (2)
12. निम्न सारणी से माध्य ज्ञात कीजिए (प्रत्यक्ष विधि से): (2)
| वर्ग अन्तराल | 10−20 | 20−30 | 30−40 | 40−50 | 50−60 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 5 | 8 | 12 | 10 | 5 |
13. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (1) योग 7 आने की, (2) योग 11 से अधिक आने की। (2)
खण्ड — स / SECTION — C (12 अंक)
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer) [3 अंक प्रत्येक]
14. एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि चाल 5 km/h अधिक होती तो 1 घण्टा कम समय लगता। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए। (3)
अथवा / OR
द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 में k का मान ज्ञात कीजिए यदि इसके मूलों का अनुपात 2:3 हो। (3)
15. बिन्दु P(x, y); A(5, 1) और B(−1, 5) से समदूरस्थ है। दर्शाइए कि 3x = 2y। (3)
अथवा / OR
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दु (−3, 10) और (6, −8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (−1, 6) विभाजित करता है। (3)
16. सिद्ध कीजिए: (sinθ − cosθ + 1)/(sinθ + cosθ − 1) = 1/(secθ − tanθ) (3)
अथवा / OR
सिद्ध कीजिए: (1 + tan²A)/(1 + cot²A) = tan²A (3)
17. निम्न सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए: (3)
| वर्ग अन्तराल | 0−10 | 10−20 | 20−30 | 30−40 | 40−50 |
|---|---|---|---|---|---|
| बारम्बारता | 6 | 8 | 14 | 10 | 2 |
अथवा / OR
यदि निम्न बंटन का माध्य 50 हो तो अज्ञात बारम्बारता f₁ और f₂ ज्ञात कीजिए (कुल = 120):
| CI | 0−20 | 20−40 | 40−60 | 60−80 | 80−100 |
|---|---|---|---|---|---|
| f | 17 | f₁ | 32 | f₂ | 19 |
खण्ड — द / SECTION — D (12 अंक)
निबन्धात्मक प्रश्न (Essay Type) [4 अंक प्रत्येक]
18. एक हवाई जहाज़ ज़मीन से 300 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। ज़मीन के एक बिन्दु से हवाई जहाज़ का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकंड बाद उन्नयन कोण 30° हो जाता है। हवाई जहाज़ की चाल km/h में ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.73) (4)
अथवा / OR
1.5 मीटर लम्बा एक व्यक्ति एक 30 मीटर ऊँचे भवन से कुछ दूर खड़ा है। जब वह भवन की ओर चलता है तो भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। व्यक्ति ने कितनी दूरी तय की? (4)
19. एक ठोस लोहे के खम्भे में एक बेलन और उसके दोनों सिरों पर शंकु लगे हैं। बेलन की ऊँचाई 220 सेमी, आधार त्रिज्या 24 सेमी तथा प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 60 सेमी है। खम्भे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7) (4)
अथवा / OR
एक बेलनाकार बर्तन जिसका व्यास 12 सेमी और ऊँचाई 15 सेमी है, आइसक्रीम से भरा है। इस आइसक्रीम को शंक्वाकार कोन (cone) में भरा जाना है जिनकी ऊँचाई 12 सेमी और व्यास 6 सेमी है। ऐसे कितने कोन भरे जा सकते हैं? (4)
20. निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए: (4)
| प्राप्तांक | 0−20 | 20−40 | 40−60 | 60−80 | 80−100 |
|---|---|---|---|---|---|
| विद्यार्थी | 10 | 35 | 52 | 61 | 42 |
अथवा / OR
निम्न बारम्बारता बंटन का "से कम प्रकार" (Less than type) तोरण (Ogive) खींचिए और इससे माध्यिका ज्ञात कीजिए:
| CI | 0−10 | 10−20 | 20−30 | 30−40 | 40−50 | 50−60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f | 5 | 15 | 20 | 23 | 17 | 10 |
✅ सम्पूर्ण हल — COMPLETE SOLUTIONS
खण्ड — अ / SECTION — A — Solutions
प्रश्न 1 — MCQ Solutions:
(i) उत्तर: (b) सह-अभाज्य (Co-prime)
HCF = 1 → दोनों संख्याओं का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं = सह-अभाज्य।
HCF = 1 → दोनों संख्याओं का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं = सह-अभाज्य।
(ii) उत्तर: (a) 22338
HCF × LCM = 306 × 657 → LCM = (306 × 657)/9 = 201042/9 = 22338
HCF × LCM = 306 × 657 → LCM = (306 × 657)/9 = 201042/9 = 22338
(iii) उत्तर: (a) 2, 3
x²−5x+6 = (x−2)(x−3) = 0 → x = 2, 3
x²−5x+6 = (x−2)(x−3) = 0 → x = 2, 3
(iv) उत्तर: (c) अनन्त हल
3x+6y=15 → x+2y=5 (दोनों same) → a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = 1/3 → संपाती रेखाएँ।
3x+6y=15 → x+2y=5 (दोनों same) → a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = 1/3 → संपाती रेखाएँ।
(v) उत्तर: (b) 47
a=2, d=5 → a₁₀ = 2 + 9(5) = 2 + 45 = 47
a=2, d=5 → a₁₀ = 2 + 9(5) = 2 + 45 = 47
(vi) उत्तर: (b) 3
a₁ = 3(1)+7=10, a₂ = 3(2)+7=13, d = 13−10 = 3
a₁ = 3(1)+7=10, a₂ = 3(2)+7=13, d = 13−10 = 3
(vii) उत्तर: (b) 1/9
क्षेत्रफल अनुपात = भुजा अनुपात² = (1/3)² = 1/9
क्षेत्रफल अनुपात = भुजा अनुपात² = (1/3)² = 1/9
(viii) उत्तर: (c) 10
d = √(36+64) = √100 = 10
d = √(36+64) = √100 = 10
(ix) उत्तर: (a) 4/5
sin²A + cos²A = 1 → cos²A = 1 − 9/25 = 16/25 → cos A = 4/5
sin²A + cos²A = 1 → cos²A = 1 − 9/25 = 16/25 → cos A = 4/5
(x) उत्तर: (b) 45°
छाया = ऊँचाई → tan θ = 1 → θ = 45°
छाया = ऊँचाई → tan θ = 1 → θ = 45°
(xi) उत्तर: (c) 2
बाह्य बिन्दु से 2 स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
बाह्य बिन्दु से 2 स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(xii) उत्तर: (b) 24 सेमी
PT² = OP² − OT² = 625 − 49 = 576 → PT = 24 cm
PT² = OP² − OT² = 625 − 49 = 576 → PT = 24 cm
(xiii) उत्तर: (b) 2πr
(xiv) उत्तर: (b) (1/3)πr²h
(xv) उत्तर: (a) 36π
r = 3, V = (4/3)π(27) = 36π cm³
r = 3, V = (4/3)π(27) = 36π cm³
(xvi) उत्तर: (c) 20
20 सबसे अधिक (3 बार) आता है → बहुलक = 20
20 सबसे अधिक (3 बार) आता है → बहुलक = 20
(xvii) उत्तर: (b) माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता
(xviii) उत्तर: (c) 3/8
कुल = 3+5 = 8, P(लाल) = 3/8
कुल = 3+5 = 8, P(लाल) = 3/8
प्रश्न 2 — Fill Ups Solutions:
(i) c/a = 2/3 → 2/3
(ii) a₂₀ = 5 + 19(3) = 5 + 57 = 62
(iii) (1/√2)² + (1/√2)² = 1/2 + 1/2 = 1
(iv) SSA (SSA similarity rule नहीं होता)
(v) बराबर (Equal)
(vi) 1
प्रश्न 3 — Very Short Answer Solutions:
(i) LCM = (72 × 120)/HCF = 8640/24 = 360
(ii) 1260 = 2 × 630 = 2 × 2 × 315 = 2² × 3 × 105 = 2² × 3 × 3 × 35 = 2² × 3² × 5 × 7
1260 = 2² × 3² × 5 × 7
1260 = 2² × 3² × 5 × 7
(iii) p(x) = x² − (योग)x + गुणनफल = x² − 5x + 6
(iv) a₁/a₂ = 3/6 = 1/2, b₁/b₂ = 2/4 = 1/2, c₁/c₂ = 5/18
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → समान्तर (Parallel) — कोई हल नहीं
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → समान्तर (Parallel) — कोई हल नहीं
(v) a=7, d=6, aₙ=205
7 + (n−1)6 = 205 → 6n−6 = 198 → 6n = 204 → n = 34 (34वाँ पद)
7 + (n−1)6 = 205 → 6n−6 = 198 → 6n = 204 → n = 34 (34वाँ पद)
(vi) M = ((2+4)/2, (3+1)/2) = (3, 2)
(vii) P=12, B=5 → H = √(144+25) = 13
sinθ = P/H = 12/13
sinθ = P/H = 12/13
(viii) बाह्य बिन्दु से दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर → PB = 4 सेमी
(ix) A = (90/360) × (22/7) × 14 × 14 = (1/4) × 616 = 154 सेमी²
(x) SA = 4πr² = 4 × (22/7) × 3.5 × 3.5 = 4 × 38.5 = 154 सेमी²
(xi) आँकड़ों को क्रम में: 2k+3 के मान से माध्यक = 8
n=8 (सम), माध्यक = (4th + 5th)/2 = 8
क्रम में: 4, 6, 7, [2k+3], 8, 9, 12, 13 → 2k+3 ≤ 8
(2k+3 + 8)/2 = 8 → 2k+3 = 8 → 2k = 5 → k = 2.5
n=8 (सम), माध्यक = (4th + 5th)/2 = 8
क्रम में: 4, 6, 7, [2k+3], 8, 9, 12, 13 → 2k+3 ≤ 8
(2k+3 + 8)/2 = 8 → 2k+3 = 8 → 2k = 5 → k = 2.5
(xii) 1-10 में अभाज्य = {2,3,5,7} = 4
P = 4/10 = 2/5
P = 4/10 = 2/5
खण्ड — ब / SECTION — B — Solutions
Q4. x²−3x−10 = 0
x²−5x+2x−10 = 0 → x(x−5)+2(x−5) = 0 → (x−5)(x+2) = 0
x = 5 या x = −2
सत्यापन: योग = 5+(−2) = 3 = −(−3)/1 = −b/a ✓
गुणनफल = 5×(−2) = −10 = c/a ✓
x²−5x+2x−10 = 0 → x(x−5)+2(x−5) = 0 → (x−5)(x+2) = 0
x = 5 या x = −2
सत्यापन: योग = 5+(−2) = 3 = −(−3)/1 = −b/a ✓
गुणनफल = 5×(−2) = −10 = c/a ✓
Q5. माना भिन्न = x/y
(x+1)/y = 1/2 → 2x+2 = y ...(1)
x/(y+1) = 1/3 → 3x = y+1 ...(2)
(1) को (2) में: 3x = (2x+2)+1 → 3x = 2x+3 → x = 3
y = 2(3)+2 = 8
भिन्न = 3/8
सत्यापन: (3+1)/8 = 4/8 = 1/2 ✓ | 3/(8+1) = 3/9 = 1/3 ✓
(x+1)/y = 1/2 → 2x+2 = y ...(1)
x/(y+1) = 1/3 → 3x = y+1 ...(2)
(1) को (2) में: 3x = (2x+2)+1 → 3x = 2x+3 → x = 3
y = 2(3)+2 = 8
भिन्न = 3/8
सत्यापन: (3+1)/8 = 4/8 = 1/2 ✓ | 3/(8+1) = 3/9 = 1/3 ✓
Q6. a₅ = a+4d = 19 ...(1)
a₁₀ = a+9d = 34 ...(2)
(2)−(1): 5d = 15 → d = 3
a = 19−12 = 7
AP: 7, 10, 13, 16, 19, ...
a₁₀ = a+9d = 34 ...(2)
(2)−(1): 5d = 15 → d = 3
a = 19−12 = 7
AP: 7, 10, 13, 16, 19, ...
Q7. DE ∥ BC → BPT से: AD/DB = AE/EC
4/6 = 3/EC → EC = (6×3)/4 = 18/4
EC = 4.5 सेमी
4/6 = 3/EC → EC = (6×3)/4 = 18/4
EC = 4.5 सेमी
Q8. AB = √[(5−1)² + (2−(−1))²]
= √[16 + 9] = √25
AB = 5 इकाई
= √[16 + 9] = √25
AB = 5 इकाई
Q9. tan 2A = cot(A−18°)
tan 2A = tan(90°−(A−18°)) [∵ cot θ = tan(90°−θ)]
2A = 90°−A+18° → 3A = 108°
A = 36°
tan 2A = tan(90°−(A−18°)) [∵ cot θ = tan(90°−θ)]
2A = 90°−A+18° → 3A = 108°
A = 36°
Q10. दिया है: O केन्द्र, T बाह्य बिन्दु, TP और TQ स्पर्श रेखाएँ
सिद्ध करना: TP = TQ
उपपत्ति: △OPT और △OQT में:
OP = OQ (त्रिज्याएँ) ...(1)
∠OPT = ∠OQT = 90° (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या) ...(2)
OT = OT (उभयनिष्ठ) ...(3)
(1), (2), (3) से △OPT ≅ △OQT (RHS सर्वांगसमता)
∴ TP = TQ (CPCT) — सिद्ध
सिद्ध करना: TP = TQ
उपपत्ति: △OPT और △OQT में:
OP = OQ (त्रिज्याएँ) ...(1)
∠OPT = ∠OQT = 90° (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या) ...(2)
OT = OT (उभयनिष्ठ) ...(3)
(1), (2), (3) से △OPT ≅ △OQT (RHS सर्वांगसमता)
∴ TP = TQ (CPCT) — सिद्ध
Q11. r=6 cm, θ=60°
क्षेत्रफल: A = (60/360)×(22/7)×36 = (1/6)×(792/7) = 132/7 = 18.86 cm²
चाप: l = (60/360)×2×(22/7)×6 = (1/6)×(264/7) = 44/7 = 6.29 cm
क्षेत्रफल: A = (60/360)×(22/7)×36 = (1/6)×(792/7) = 132/7 = 18.86 cm²
चाप: l = (60/360)×2×(22/7)×6 = (1/6)×(264/7) = 44/7 = 6.29 cm
Q12.
माध्य = 1420/40 = 35.5
| CI | fᵢ | xᵢ | fᵢxᵢ |
|---|---|---|---|
| 10−20 | 5 | 15 | 75 |
| 20−30 | 8 | 25 | 200 |
| 30−40 | 12 | 35 | 420 |
| 40−50 | 10 | 45 | 450 |
| 50−60 | 5 | 55 | 275 |
| योग | 40 | 1420 |
Q13. कुल परिणाम = 6×6 = 36
(1) योग = 7: {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} = 6
P = 6/36 = 1/6
(2) योग > 11: योग=12 → {(6,6)} = 1
P = 1/36
(1) योग = 7: {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} = 6
P = 6/36 = 1/6
(2) योग > 11: योग=12 → {(6,6)} = 1
P = 1/36
खण्ड — स / SECTION — C — Solutions
Q14. माना चाल = x km/h
समय = 360/x घण्टे
नई चाल = (x+5), नया समय = 360/(x+5)
360/x − 360/(x+5) = 1
360(x+5) − 360x = x(x+5)
1800 = x² + 5x → x² + 5x − 1800 = 0
x² + 45x − 40x − 1800 = 0
x(x+45) − 40(x+45) = 0 → (x−40)(x+45) = 0
x = 40 (∵ चाल ऋणात्मक नहीं)
रेलगाड़ी की चाल = 40 km/h
समय = 360/x घण्टे
नई चाल = (x+5), नया समय = 360/(x+5)
360/x − 360/(x+5) = 1
360(x+5) − 360x = x(x+5)
1800 = x² + 5x → x² + 5x − 1800 = 0
x² + 45x − 40x − 1800 = 0
x(x+45) − 40(x+45) = 0 → (x−40)(x+45) = 0
x = 40 (∵ चाल ऋणात्मक नहीं)
रेलगाड़ी की चाल = 40 km/h
Q14 (OR). माना मूल 2α, 3α
योग = 2α+3α = 5α = −k/2 ...(1)
गुणनफल = 6α² = 3/2 → α² = 1/4 → α = ±1/2
(1) से: k = −10α
α=1/2 → k = −5 | α=−1/2 → k = 5
k = ±5
योग = 2α+3α = 5α = −k/2 ...(1)
गुणनफल = 6α² = 3/2 → α² = 1/4 → α = ±1/2
(1) से: k = −10α
α=1/2 → k = −5 | α=−1/2 → k = 5
k = ±5
Q15. PA = PB → PA² = PB²
(x−5)²+(y−1)² = (x+1)²+(y−5)²
x²−10x+25+y²−2y+1 = x²+2x+1+y²−10y+25
−10x−2y+26 = 2x−10y+26
−12x+8y = 0 → −12x = −8y
3x = 2y — सिद्ध
(x−5)²+(y−1)² = (x+1)²+(y−5)²
x²−10x+25+y²−2y+1 = x²+2x+1+y²−10y+25
−10x−2y+26 = 2x−10y+26
−12x+8y = 0 → −12x = −8y
3x = 2y — सिद्ध
Q15 (OR). माना (−1,6) अनुपात m:n में विभाजित करता है।
−1 = (6m−3n)/(m+n) → −m−n = 6m−3n → 2n = 7m
m:n = 2:7
सत्यापन: y = (2(−8)+7(10))/(2+7) = (−16+70)/9 = 54/9 = 6 ✓
−1 = (6m−3n)/(m+n) → −m−n = 6m−3n → 2n = 7m
m:n = 2:7
सत्यापन: y = (2(−8)+7(10))/(2+7) = (−16+70)/9 = 54/9 = 6 ✓
Q16. LHS: (sinθ−cosθ+1)/(sinθ+cosθ−1)
अंश-हर को cosθ से भाग दो:
= (tanθ−1+secθ)/(tanθ+1−secθ)
= (tanθ+secθ−1)/(tanθ−secθ+1)
अंश में: sec²θ−tan²θ = 1 रखो → 1 = (secθ+tanθ)(secθ−tanθ)
= (tanθ+secθ−(sec²θ−tan²θ))/(tanθ−secθ+1)
= (tanθ+secθ)(1−secθ+tanθ)/(tanθ−secθ+1)
= tanθ+secθ
= 1/(secθ−tanθ) [∵ (secθ+tanθ)(secθ−tanθ)=1 से]
= RHS — सिद्ध
अंश-हर को cosθ से भाग दो:
= (tanθ−1+secθ)/(tanθ+1−secθ)
= (tanθ+secθ−1)/(tanθ−secθ+1)
अंश में: sec²θ−tan²θ = 1 रखो → 1 = (secθ+tanθ)(secθ−tanθ)
= (tanθ+secθ−(sec²θ−tan²θ))/(tanθ−secθ+1)
= (tanθ+secθ)(1−secθ+tanθ)/(tanθ−secθ+1)
= tanθ+secθ
= 1/(secθ−tanθ) [∵ (secθ+tanθ)(secθ−tanθ)=1 से]
= RHS — सिद्ध
Q16 (OR). LHS: (1+tan²A)/(1+cot²A)
= sec²A/cosec²A [∵ 1+tan²A=sec²A, 1+cot²A=cosec²A]
= (1/cos²A)/(1/sin²A) = sin²A/cos²A
= tan²A = RHS — सिद्ध
= sec²A/cosec²A [∵ 1+tan²A=sec²A, 1+cot²A=cosec²A]
= (1/cos²A)/(1/sin²A) = sin²A/cos²A
= tan²A = RHS — सिद्ध
Q17.
n=40, n/2=20
CF=14 < 20 ≤ 28 → माध्यिका वर्ग = 20−30
l=20, f=14, cf=14, h=10
Median = 20 + [(20−14)/14]×10 = 20 + (6/14)×10 = 20+4.29
माध्यिका = 24.29 (लगभग)
| CI | f | CF |
|---|---|---|
| 0−10 | 6 | 6 |
| 10−20 | 8 | 14 |
| 20−30 | 14 | 28 |
| 30−40 | 10 | 38 |
| 40−50 | 2 | 40 |
CF=14 < 20 ≤ 28 → माध्यिका वर्ग = 20−30
l=20, f=14, cf=14, h=10
Median = 20 + [(20−14)/14]×10 = 20 + (6/14)×10 = 20+4.29
माध्यिका = 24.29 (लगभग)
Q17 (OR). 17+f₁+32+f₂+19 = 120 → f₁+f₂ = 52 ...(1)
माध्य = 50 → (170+30f₁+1600+70f₂+1710)/120 = 50
3480+30f₁+70f₂ = 6000 → 30f₁+70f₂ = 2520
3f₁+7f₂ = 252 ...(2)
(1) से f₂ = 52−f₁, (2) में:
3f₁+7(52−f₁) = 252 → 3f₁+364−7f₁ = 252 → −4f₁ = −112
f₁ = 28, f₂ = 24
| CI | f | xᵢ | fxᵢ |
|---|---|---|---|
| 0−20 | 17 | 10 | 170 |
| 20−40 | f₁ | 30 | 30f₁ |
| 40−60 | 32 | 50 | 1600 |
| 60−80 | f₂ | 70 | 70f₂ |
| 80−100 | 19 | 90 | 1710 |
3480+30f₁+70f₂ = 6000 → 30f₁+70f₂ = 2520
3f₁+7f₂ = 252 ...(2)
(1) से f₂ = 52−f₁, (2) में:
3f₁+7(52−f₁) = 252 → 3f₁+364−7f₁ = 252 → −4f₁ = −112
f₁ = 28, f₂ = 24
खण्ड — द / SECTION — D — Solutions
Q18. माना विमान A से B तक जाता है। ऊँचाई = 300 m
भूमि बिन्दु P से:
पहले: tan 60° = 300/PA → √3 = 300/PA → PA = 300/√3 = 100√3 m
बाद में: tan 30° = 300/PB → 1/√3 = 300/PB → PB = 300√3 m
AB = PB − PA = 300√3 − 100√3 = 200√3 m
= 200 × 1.73 = 346 m
समय = 15 sec, चाल = 346/15 = 23.07 m/s
= 23.07 × (3600/1000)
चाल ≈ 83 km/h
भूमि बिन्दु P से:
पहले: tan 60° = 300/PA → √3 = 300/PA → PA = 300/√3 = 100√3 m
बाद में: tan 30° = 300/PB → 1/√3 = 300/PB → PB = 300√3 m
AB = PB − PA = 300√3 − 100√3 = 200√3 m
= 200 × 1.73 = 346 m
समय = 15 sec, चाल = 346/15 = 23.07 m/s
= 23.07 × (3600/1000)
चाल ≈ 83 km/h
Q18 (OR). भवन ऊँचाई = 30m, व्यक्ति = 1.5m
प्रभावी ऊँचाई = 30−1.5 = 28.5 m
पहले (30°): tan 30° = 28.5/d₁ → 1/√3 = 28.5/d₁ → d₁ = 28.5√3
बाद में (60°): tan 60° = 28.5/d₂ → √3 = 28.5/d₂ → d₂ = 28.5/√3 = 9.5√3
तय दूरी = d₁−d₂ = 28.5√3 − 9.5√3 = 19√3
= 19 × 1.73
दूरी = 32.87 m (लगभग)
प्रभावी ऊँचाई = 30−1.5 = 28.5 m
पहले (30°): tan 30° = 28.5/d₁ → 1/√3 = 28.5/d₁ → d₁ = 28.5√3
बाद में (60°): tan 60° = 28.5/d₂ → √3 = 28.5/d₂ → d₂ = 28.5/√3 = 9.5√3
तय दूरी = d₁−d₂ = 28.5√3 − 9.5√3 = 19√3
= 19 × 1.73
दूरी = 32.87 m (लगभग)
Q19. बेलन: r=24, h=220 | शंकु: r=24, h=60
शंकु l = √(24²+60²) = √(576+3600) = √4176 ≈ 64.62 cm
आयतन:
V = V(बेलन) + 2×V(शंकु)
= πr²H + 2×(1/3)πr²h
= (22/7)(576)(220) + 2×(1/3)(22/7)(576)(60)
= (22/7)(576)[220 + 40] = (22/7)(576)(260)
= (22 × 576 × 260)/7 = 3295680/7
V ≈ 470811.43 cm³
पृष्ठीय क्षेत्रफल:
TSA = CSA(बेलन) + 2×CSA(शंकु)
= 2πrH + 2×πrl = 2πr(H+l)
= 2×(22/7)×24×(220+64.62)
= 2×(22/7)×24×284.62
TSA ≈ 42959.89 cm²
शंकु l = √(24²+60²) = √(576+3600) = √4176 ≈ 64.62 cm
आयतन:
V = V(बेलन) + 2×V(शंकु)
= πr²H + 2×(1/3)πr²h
= (22/7)(576)(220) + 2×(1/3)(22/7)(576)(60)
= (22/7)(576)[220 + 40] = (22/7)(576)(260)
= (22 × 576 × 260)/7 = 3295680/7
V ≈ 470811.43 cm³
पृष्ठीय क्षेत्रफल:
TSA = CSA(बेलन) + 2×CSA(शंकु)
= 2πrH + 2×πrl = 2πr(H+l)
= 2×(22/7)×24×(220+64.62)
= 2×(22/7)×24×284.62
TSA ≈ 42959.89 cm²
Q19 (OR). बेलन: r₁=6, h₁=15 | शंकु: r₂=3, h₂=12
V(बेलन) = π(36)(15) = 540π
V(शंकु) = (1/3)π(9)(12) = 36π
कोन की संख्या = V(बेलन)/V(शंकु) = 540π/36π
= 15 कोन
V(बेलन) = π(36)(15) = 540π
V(शंकु) = (1/3)π(9)(12) = 36π
कोन की संख्या = V(बेलन)/V(शंकु) = 540π/36π
= 15 कोन
Q20.
बहुलक वर्ग = 60−80 (f₁=61 अधिकतम)
l=60, f₁=61, f₀=52, f₂=42, h=20
Mode = l + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)] × h
= 60 + [(61−52)/(122−52−42)] × 20
= 60 + [9/28] × 20 = 60 + 180/28
= 60 + 6.43
बहुलक = 66.43 (लगभग)
| CI | f |
|---|---|
| 0−20 | 10 |
| 20−40 | 35 |
| 40−60 | 52 |
| 60−80 | 61 (अधिकतम) |
| 80−100 | 42 |
l=60, f₁=61, f₀=52, f₂=42, h=20
Mode = l + [(f₁−f₀)/(2f₁−f₀−f₂)] × h
= 60 + [(61−52)/(122−52−42)] × 20
= 60 + [9/28] × 20 = 60 + 180/28
= 60 + 6.43
बहुलक = 66.43 (लगभग)
Q20 (OR). Ogive विधि:
n=90, n/2=45
ग्राफ पर y=45 से horizontal रेखा → Ogive को काटती है → x-अक्ष पर corresponding मान ≈ 32
सूत्र विधि से भी: माध्यिका वर्ग = 30−40, l=30, f=23, cf=40, h=10
Median = 30+[(45−40)/23]×10 = 30+50/23 = 30+2.17
माध्यिका ≈ 32.17
| से कम | CF |
|---|---|
| 10 से कम | 5 |
| 20 से कम | 20 |
| 30 से कम | 40 |
| 40 से कम | 63 |
| 50 से कम | 80 |
| 60 से कम | 90 |
ग्राफ पर y=45 से horizontal रेखा → Ogive को काटती है → x-अक्ष पर corresponding मान ≈ 32
सूत्र विधि से भी: माध्यिका वर्ग = 30−40, l=30, f=23, cf=40, h=10
Median = 30+[(45−40)/23]×10 = 30+50/23 = 30+2.17
माध्यिका ≈ 32.17
📊 Chapter-wise Marks Distribution (इस Model Paper में)
| अध्याय | MCQ | Fill/VSA | Short | Long | Essay | कुल |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. वास्तविक संख्याएँ | 2 | 2 | — | — | — | 4 |
| 2. बहुपद | 1 | 1 | 2 | — | — | 4 |
| 3. रैखिक समीकरण | 1 | 1 | 2 | — | — | 4 |
| 4. द्विघात समीकरण | — | 1 | — | 3 | — | 4 |
| 5. समान्तर श्रेढ़ी | 2 | 2 | 2 | — | — | 6 |
| 6. त्रिभुज | 1 | 1 | 2 | — | — | 4 |
| 7. निर्देशांक ज्यामिति | 1 | 1 | 2 | 3 | — | 7 |
| 8. त्रिकोणमिति | 1 | 2 | 2 | 3 | — | 8 |
| 9. ऊँचाई और दूरी | 1 | — | — | — | 4 | 5 |
| 10. वृत्त | 2 | 2 | 2 | — | — | 6 |
| 11. वृत्त क्षेत्रफल | 1 | 1 | 2 | — | — | 4 |
| 12. पृष्ठीय क्षेत्रफल | 2 | 1 | — | — | 4 | 7 |
| 13. सांख्यिकी | 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 12 |
| 14. प्रायिकता | 1 | 2 | 2 | — | — | 5 |
| कुल | 18 | 18 | 20 | 12 | 12 | 80 |
💡 Strategy: Algebra (4+4+4+6=18) + Trigonometry (8+5=13) + Statistics (12) = 43 अंक! ये तीन areas तैयार करो = 50% से ज़्यादा marks पक्के!
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