त्रिकोणमिति (प्र. 14, 22, 25, 35, 39): विधि और 16 हल अभ्यास — कक्षा 10 गणित (RBSE 2026-27)

यह लेख त्रिकोणमिति के प्रश्नों (प्र. 14, 22, 25, 35, 39) के बारे में है। पूरे प्रश्न-पत्र का ढाँचा हमारे कक्षा 10 गणित प्रश्न पत्र प्रारूप एवं ब्लू प्रिंट 2026-27 में है; इस श्रृंखला का पिछला लेख सांख्यिकी और प्रायिकता पर है; और अभ्यास के लिए केस-आधारित प्रश्न तथा शब्द-समस्याओं के पृष्ठ देखें।

त्रिकोणमिति में अंक सूत्र याद होने से कम और सही त्रिभुज व सही अनुपात चुनने से अधिक मिलते हैं। बोर्ड के नमूना प्रश्न-पत्र 2026-27 में इसके पाँच प्रश्न हैं, कुल 13 अंक के: एक बहुविकल्पी, दो दो-दो अंक के, एक तीन अंक का और एक पाँच अंक का; तीन और पाँच अंक वाले प्रश्नों में ‘अथवा’ का विकल्प है।

इस लेख में पहले इन प्रश्नों का स्वरूप और कुंजी की बातें हैं, फिर अनुपात, सर्वसमिकाओं और ऊँचाई-दूरी की विधि, और अंत में 16 हल अभ्यास: 5 एक अंक के, 5 दो अंक के, 3 तीन अंक के और 3 पाँच अंक के।

अंतिम अद्यतन: 20 अक्टूबर 2026 · पढ़ने का समय: लगभग 35 मिनट

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1. बोर्ड के पेपर में त्रिकोणमिति

बोर्ड के नमूना प्रश्न-पत्र (गणित, विषय कोड 09, समय 3 घंटे 15 मिनट, पूर्णांक 80) में त्रिकोणमिति के पाँच प्रश्न हैं: प्र. 14, 25 और 39 अध्याय 8 से, प्र. 22 और 35 अध्याय 9 से। प्रश्नों का आशय हमारे शब्दों में, और उत्तर-कुंजी की बातें जैसी छपी हैं:

अंकों का मिलान: 1+2+2+3+5 = 13, जो प्रारूप की अध्यायवार सारणी (8 + 5) से बैठता है। प्र. 35 से 40 में आंतरिक विकल्प (‘अथवा’) है, यानी प्र. 35 और 39 में एक ही विकल्प हल करना है। बोर्ड की पाठ्यक्रम-सूची में अध्याय 8 के तीन विषय लिखे हैं: त्रिकोणमितीय अनुपात, कुछ विशिष्ट कोणों के अनुपात और सर्वसमिकाएँ; अध्याय 9 में ऊँचाइयाँ और दूरियाँ। NCERT के पुनर्मुद्रण 2026-27 में अध्याय 8 के अनुभाग इन्हीं के अनुसार हैं: 8.2 अनुपात, 8.3 विशिष्ट कोण, 8.4 सर्वसमिकाएँ; अध्याय 9 में 9.1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ।

कुंजी से चार बातें (हमारी पढ़त):

• प्र. 35 के ‘अथवा’ के आगे ‘उदाहरण 7, पृष्ठ 157’ छपा है; NCERT की हिंदी पुस्तक (पुनर्मुद्रण 2026-27) के पृष्ठ 157 पर उदाहरण 7 नदी के पुल वाला ही है। प्र. 39 के आगे ‘उदाहरण 12, पृष्ठ 146’ है, जो उसी पुस्तक में उसी सर्वसमिका का उदाहरण है। बोर्ड ने दोनों प्रश्न पाठ्यपुस्तक से उठाए हैं। प्र. 35 के पहले विकल्प की स्थिति (भवन के शीर्ष पर लगा टावर, उन्नयन कोण 45° और 60°) NCERT अभ्यास 9.1 के प्रश्न 7 जैसी ही है; हमने इसे NCERT की पुस्तक से मिलाया है।
• प्र. 35 की कुंजी का अंतिम उत्तर h = 20(√3 − 1) m पर रुका है; संख्यात्मक मान नहीं लिखा गया। प्रश्न में √3 का मान दिया भी नहीं गया था, इसलिए सटीक रूप पर रुकना ठीक है।
• प्र. 35 का प्रश्न ही ‘उपयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात की पहचान’ करने को कहता है, और कुंजी का हल ‘हम tan का प्रयोग करते हैं’ से शुरू होकर दोनों समकोण त्रिभुजों के अनुपात देता है। (1+2=3) में पहला अंक संभवतः इसी पहचान का है (हमारा अनुमान); इसलिए उत्तर के आरंभ में अनुपात का नाम और कारण लिखिए।
• कुंजी की आकृति में भवन की ऊँचाई ‘20cm’ छपी दिखती है, जबकि प्रश्न और हल की पंक्ति में 20 m है। उत्तर में इकाई m ही लिखिए।

समय: बोर्ड की प्रश्न-पत्र योजना में प्रश्न हल करने का संभावित समय 180 मिनट है (बहुविकल्पी 20, दो अंक 16, तीन अंक 28, पाँच अंक 116), और पढ़ने के 15 मिनट अलग हैं। इससे औसत समय: 1 अंक का प्रश्न 1 मिनट, 2 अंक का 2 मिनट, 3 अंक का 3.5 मिनट, 5 अंक का 29 मिनट। हमारे पाँच प्रश्नों का औसत 1 + 2 + 2 + 3.5 + 29 = 37.5 मिनट बैठता है। यह प्रकार-वार औसत है; 5 अंक के 29 मिनट में आकृति और ग्राफ़ वाले प्रश्न भी गिने हैं, इसलिए सर्वसमिका वाले प्र. 39 को कम लग सकता है (हमारा अनुमान)।

2. अनुपात और विशिष्ट कोणों के मान (अध्याय 8)

NCERT समकोण त्रिभुज ABC (∠B = 90°) में न्यून कोण A के लिए अनुपात इस प्रकार परिभाषित करती है। भुजा ‘सामने की’ या ‘आसन्न’ होना कोण पर निर्भर है; कर्ण सदा समकोण के सामने की भुजा है।

एक अनुपात से शेष निकालना (अभ्यास 3 और 6, हमारा सुझाव): अनुपात को भुजाओं के रूप में k के साथ लिखिए, तीसरी भुजा पाइथागोरस से निकालिए, फिर जो अनुपात चाहिए उसे परिभाषा से पढ़िए। जैसे tan A = 1√3 हो तो सामने की भुजा k, आसन्न √3 k और कर्ण 2k हैं, इसलिए sin A = 12 और cos A = √32।

NCERT के सारांश के अनुसार sin A और cos A का मान 1 से अधिक नहीं होता, और sec A तथा cosec A का मान (जहाँ परिभाषित हो) 1 से कम नहीं होता। इसलिए “sin θ = 2” जैसा कथन तुरंत गलत ठहरता है।

विशिष्ट कोणों के मान

याद रखने की एक विधि (हमारा सुझाव): sin के मान √02, √12, √22, √32, √42 हैं, यानी 0, 12, 1√2, √32, 1; cos के मान यही उलटे क्रम में हैं। फिर tan = sin ÷ cos और शेष अनुपात व्युत्क्रम। tan 90°, sec 90°, cosec 0° और cot 0° परिभाषित नहीं हैं, क्योंकि उनके हर में शून्य आता है (अभ्यास 2)। 45° पर sin और cos बराबर हैं और tan 45° = 1; इसी से ‘दूरी = ऊँचाई’ वाला संबंध बनता है।

आम गलतियाँ

• sin और cos के मान आपस में बदल देना: sin 60° = √32, cos 60° = 12 (अभ्यास 1, 6)।
• tan 30° = 1√3 और tan 60° = √3 को उलट देना (अभ्यास 4)।
• ‘सामने’ और ‘आसन्न’ भुजा गलत पहचानना: दूसरे कोण पर दोनों बदल जाती हैं।
• sin²θ को sin θ² पढ़ना: sin²θ का अर्थ (sin θ)² है।
• tan 90° जैसे अपरिभाषित मानों पर सर्वसमिका लगाना (अभ्यास 2)।

3. सर्वसमिकाएँ और सिद्ध करने की विधि (अध्याय 8)

NCERT 8.4 में पाइथागोरस प्रमेय AB² + BC² = AC² को क्रमशः AC², AB² और BC² से भाग देकर तीन सर्वसमिकाएँ बनाई गई हैं:

दूसरी सर्वसमिका को sec²A − tan²A = 1 भी लिखा जाता है; प्र. 39 में यही रूप काम आता है।

सर्वसमिका सिद्ध करने के चरण

1. जटिल पक्ष चुनिए और उसी से चलिए; दूसरे पक्ष तक पहुँचना लक्ष्य है। दोनों पक्षों को आपस में जोड़ना, घटाना या गुणा करना सिद्ध करना नहीं है।
2. sin और cos में बदलिए: tan = sin ÷ cos, sec = 1 ÷ cos, cosec = 1 ÷ sin, cot = cos ÷ sin।
3. एक हर कीजिए या गुणनखंड कीजिए: a² − b² = (a + b)(a − b) बहुत काम आता है।
4. सर्वसमिका से बदलिए: 1 − sin²θ को cos²θ, cosec²θ − 1 को cot²θ आदि।
5. गुणनखंड काटिए (पद नहीं) और दूसरे पक्ष से मिलाइए; अंत में “= RHS” लिखिए।

प्र. 39 जैसे प्रश्न: जब प्रश्न कहे “सर्वसमिका sec²θ = 1 + tan²θ का प्रयोग करते हुए”, तो अंश और हर में sin और cos हों, तब उन्हें cos θ से भाग देकर tan और sec में बदलिए। NCERT के उदाहरण 12 का हल इसी से शुरू होता है; फिर संख्या 1 को sec²θ − tan²θ के रूप में लिखकर (a + b)(a − b) से गुणनखंड बनाते हैं और काटते हैं। अभ्यास 14 इसी युक्ति पर है।

कार्य-योजना वाले प्रश्न: प्र. 39 के ‘अथवा’ में योजना माँगी गई है। हमारा सुझाव है कि हर चरण के साथ उसका कारण लिखिए (“sec θ और tan θ को sin और cos में बदला”, “1 − sin²θ = cos²θ”) और अंत में सिद्धि का संक्षिप्त क्रम भी लिखिए (अभ्यास 15)।

आम गलतियाँ

• sec²θ + tan²θ = 1 लिख देना: सही रूप sec²θ − tan²θ = 1 या 1 + tan²θ = sec²θ है।
• पद काट देना, गुणनखंड नहीं: 1 + x1 + y में 1 नहीं कटता।
• एक कोण (जैसे 45°) रखकर जाँचने को सिद्धि मान लेना।
• जहाँ व्यंजक परिभाषित नहीं है (हर शून्य), वहाँ भी सर्वसमिका लगाना (अभ्यास 14)।

4. ऊँचाई और दूरी (अध्याय 9)

NCERT 9.1 के अनुसार प्रेक्षक की आँख से वस्तु के बिंदु तक खींची रेखा दृष्टि-रेखा है। दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच का कोण वस्तु के क्षैतिज तल से ऊपर होने पर उन्नयन कोण और नीचे होने पर अवनमन कोण कहलाता है। ऊँचाई या दूरी इन कोणों और त्रिकोणमितीय अनुपातों से निकलती है।

हल करने के पाँच कदम

1. आकृति बनाइए और उसमें समकोण त्रिभुज (प्रायः ऊर्ध्वाधर वस्तु, भूमि और दृष्टि-रेखा से) पहचानिए।
2. कोण सही जगह चिह्नित कीजिए। उन्नयन और अवनमन कोण क्षैतिज रेखा से मापे जाते हैं, ऊर्ध्वाधर से नहीं।
3. अनुपात चुनिए, इस आधार पर कि कौन-सी दो भुजाएँ दी या चाही गई हैं (नीचे की सारणी)।
4. समीकरण बनाकर हल कीजिए और पहले सटीक रूप (जैसे 12(√3 − 1)) लिखिए।
5. इकाई लिखिए; प्रश्न में √3 का मान दिया हो तो संख्या भी निकालिए (हमारा सुझाव)।

अवनमन कोण की एक बात: ऊपर वाले बिंदु पर क्षैतिज रेखा नीचे वाली क्षैतिज रेखा के समांतर होती है, इसलिए एकांतर कोणों से ऊपर से मापा अवनमन कोण नीचे के बिंदु से मापे उन्नयन कोण के बराबर होता है। इसी से अभ्यास 12 और 16 के त्रिभुजों में कोण मिलते हैं।

दो कोणों वाले प्रश्न (प्र. 35 जैसे): दो समकोण त्रिभुजों में प्रायः कोई एक लंबाई साझा होती है (अभ्यास 11 में दूरी BC, अभ्यास 16 में भी)। पहले उस त्रिभुज से साझा लंबाई निकालिए जिसमें केवल वही अज्ञात है, फिर दूसरे त्रिभुज में रखिए। अलग-अलग अज्ञात लेने से समीकरण उलझ जाते हैं।

प्रश्न में प्रेक्षक की ऊँचाई दी हो तो उसे हिसाब में लीजिए: NCERT के उदाहरण 3 में 1.5 m ऊँचे प्रेक्षक की आँख से मीनार का कोण लिया गया है, इसलिए मीनार की ऊँचाई में से 1.5 m घटाकर हिसाब बनता है। न दी हो, तो हमारे अभ्यासों की तरह आँख की ऊँचाई नगण्य मानी जाती है।

आम गलतियाँ

• कोण को ऊर्ध्वाधर से माप लेना।
• tan के स्थान पर उसका व्युत्क्रम लगाना: ऊँचाई = दूरी × tan θ, दूरी = ऊँचाई ÷ tan θ (अभ्यास 4, 7)।
• पुल या भवन के शीर्ष से अवनमन कोण को सीधे त्रिभुज का कोण मान लेना, एकांतर कोणों का तर्क लिखे बिना (अभ्यास 12)।
• दो अलग त्रिभुजों में साझा लंबाई को अलग-अलग अक्षर दे देना।
• उत्तर में इकाई (m) न लिखना।

5. 16 हल अभ्यास

पहले खुद हल कीजिए, फिर ‘हल देखें’ दबाइए। ‘प्र. 35 जैसा’ का अर्थ है कि अभ्यास उसी ढंग का है, बोर्ड का प्रश्न नहीं। हर हल के नीचे की टिप्पणी बताती है कि अंक-विभाजन बोर्ड की कुंजी से है या हमारा अनुमान।

एक अंक के (अभ्यास 1–5)

अभ्यास 1 1 अंक · प्र. 14 जैसा · NCERT 8.3

अभ्यास 2 1 अंक · अवधारणा (प्र. 25 का ढंग) · NCERT 8.4

अभ्यास 3 1 अंक · प्र. 14 जैसा · NCERT 8.2

अभ्यास 4 1 अंक · प्र. 22 जैसा · NCERT 9.1

अभ्यास 5 1 अंक · सर्वसमिका · NCERT 8.4

दो अंक के (अभ्यास 6–10)

अभ्यास 6 2 अंक · प्र. 25 जैसा · NCERT 8.2, 8.3

अभ्यास 7 2 अंक · प्र. 22 जैसा · NCERT 9.1

अभ्यास 8 2 अंक · NCERT का ढंग · NCERT 9.1

अभ्यास 9 2 अंक · सर्वसमिका · NCERT 8.4

अभ्यास 10 2 अंक · मान निकालना · NCERT 8.3

तीन अंक के (अभ्यास 11–13)

अभ्यास 11 3 अंक · प्र. 35 जैसा · NCERT 9.1

अभ्यास 12 3 अंक · प्र. 35 ‘अथवा’ जैसा · NCERT 9.1

अभ्यास 13 3 अंक · प्र. 39 का छोटा रूप · NCERT 8.4

पाँच अंक के (अभ्यास 14–16)

अभ्यास 14 5 अंक · प्र. 39 जैसा · NCERT 8.4

अभ्यास 15 5 अंक · प्र. 39 ‘अथवा’ जैसा · NCERT 8.4

अभ्यास 16 5 अंक · NCERT का ढंग (दो कोण) · NCERT 9.1

6. जाँचें

पहले खुद सोचिए, फिर ‘उत्तर देखें’ दबाइए।

1. बोर्ड के प्रारूप में अध्याय 8 (त्रिकोणमिति का परिचय) और अध्याय 9 (त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग) का अंकभार कितना-कितना है?
   • 8 और 5
   • 5 और 8
   • 6 और 7
   • 9 और 4
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: 8 और 5। बोर्ड के प्रारूप में अध्याय 8 के 8 और अध्याय 9 के 5 अंक हैं, कुल 13। नमूने के पाँच प्रश्न 1+2+2+3+5 = 13 अंक के हैं।

2. प्र. 35 के पहले विकल्प की उत्तर-कुंजी में अंक-विभाजन क्या छपा है?
   • 1+2=3
   • 2+1=3
   • 1+1+1=3
   • 1½+1½=3
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: 1+2=3। (1+2=3) छपा है, प्रश्न-पत्र और कुंजी दोनों में। प्र. 22 में (1+1=2) और प्र. 25 में केवल (2) छपा है; प्र. 39 में केवल (5)।

3. NCERT के अनुसार 1 + tan²A = sec²A किन कोणों के लिए सत्य है?
   • 0° ≤ A < 90°
   • 0° ≤ A ≤ 90°
   • 0° < A ≤ 90°
   • केवल A = 45° के लिए
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: 0° ≤ A < 90°। NCERT के अध्याय 8 के सारांश में sec²A − tan²A = 1 को 0° ≤ A < 90° के लिए लिखा है, क्योंकि A = 90° पर tan A और sec A परिभाषित नहीं हैं।

4. अवनमन कोण (angle of depression) किन दो रेखाओं के बीच बनता है?
   • दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा, जब वस्तु क्षैतिज तल से नीचे हो
   • दृष्टि-रेखा और ऊर्ध्वाधर रेखा
   • वस्तु से भूमि तक की रेखा और ऊर्ध्वाधर रेखा
   • यह सदा 45° होता है
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा, जब वस्तु क्षैतिज तल से नीचे हो। NCERT के अध्याय 9 के सारांश में अवनमन कोण दृष्टि-रेखा और क्षैतिज के बीच का कोण है, जब वस्तु क्षैतिज तल से नीचे हो; यानी जब हम सिर झुकाकर देखते हैं।

5. θ न्यून कोण है और tan θ = 1। तब 2 sin θ cos θ का मान क्या है?
   • 1
   • 2
   • ½
   • √2
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: 1। tan θ = 1 से θ = 45°; sin 45° = cos 45° = 1/√2, इसलिए 2 × 1/√2 × 1/√2 = 2 × ½ = 1। बोर्ड के प्र. 25 का कथन इसी प्रकार सही निकलता है।

7. सामान्य प्रश्न

8. संदर्भ

1. माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान, अजमेर: Download Center, Model Question Papers 2027 और Secondary Model Question Paper (PDF): गणित (कोड 09) का नमूना प्रश्न-पत्र, प्रश्न-पत्र की योजना, अध्यायवार अंकभार और उत्तर-कुंजी।
2. माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान: कक्षा 10 पाठ्यक्रम 2026-27 (PDF): गणित का पाठ्यक्रम।
3. NCERT, गणित कक्षा 10, पुनर्मुद्रण 2026-27: अध्याय 8 त्रिकोणमिति का परिचय (हिंदी, English) और अध्याय 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (हिंदी, English)।
4. NCERTClasses: कक्षा 10 गणित प्रश्न पत्र प्रारूप एवं ब्लू प्रिंट 2026-27; सांख्यिकी और प्रायिकता: विधि और 16 हल अभ्यास; केस-आधारित प्रश्न; शब्द-समस्याएँ: 50 हल प्रश्न; 80/80 कैसे पाएँ: टॉपर कॉपी विश्लेषण।

NCERTClasses टीम · प्रकाशित: 20 अक्टूबर 2026 · अंतिम अद्यतन: 20 अक्टूबर 2026

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