बीजगणित (अध्याय 1–5; प्र. 1, 2, 3, 6–12, 21, 23, 24, 29, 31): विधि और 16 हल अभ्यास — कक्षा 10 गणित (RBSE 2026-27)

यह लेख बीजगणित के प्रश्नों (प्र. 1, 2, 3, 6 से 12, 21, 23, 24, 29, 31) के बारे में है। पूरे प्रश्न-पत्र का ढाँचा हमारे कक्षा 10 गणित प्रश्न पत्र प्रारूप एवं ब्लू प्रिंट 2026-27 में है; श्रृंखला के पिछले लेख सांख्यिकी और प्रायिकता और त्रिकोणमिति पर हैं; और अभ्यास के लिए केस-आधारित प्रश्न तथा शब्द-समस्याओं के पृष्ठ देखें।

बीजगणित में सबसे ज़्यादा अंक एक साथ आते हैं: बोर्ड के नमूना प्रश्न-पत्र 2026-27 में पाँच अध्यायों के 15 प्रश्न हैं, कुल 22 अंक के। इनमें दस बहुविकल्पी, तीन दो अंक के और दो तीन अंक के हैं; तीन अंक वाले दोनों प्रश्नों में ‘अथवा’ नहीं है।

इस लेख में पहले इन प्रश्नों का स्वरूप और कुंजी की बातें हैं, फिर हर अध्याय की विधि, और अंत में 16 हल अभ्यास: 6 एक अंक के, 4 दो अंक के, 4 तीन अंक के और 2 पाँच अंक के।

अंतिम अद्यतन: 20 अक्टूबर 2026 · पढ़ने का समय: लगभग 40 मिनट

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1. बोर्ड के पेपर में बीजगणित

बोर्ड के नमूना प्रश्न-पत्र (गणित, विषय कोड 09, समय 3 घंटे 15 मिनट, पूर्णांक 80) के ब्लूप्रिंट में बीजगणित के पाँच अध्यायों के ये प्रश्न हैं। प्रश्नों का आशय हमारे शब्दों में, और उत्तर-कुंजी की बातें जैसी छपी हैं:

अंकों का मिलान: 10 × 1 + 3 × 2 + 2 × 3 = 22, और अध्यायवार 4 + 4 + 5 + 4 + 5 = 22; यह बोर्ड के ब्लूप्रिंट से बैठता है। प्र. 29 को ग्राफ़ पेपर पर हल करने की हिदायत प्रश्न-पत्र के निर्देशों में है। NCERT के पुनर्मुद्रण 2026-27 के अनुभाग-क्रमांक नीचे हर अध्याय में दिए गए हैं।

कुंजी और प्रश्नों से पाँच बातें (हमारी पढ़त):

• प्र. 1: LCM = 306 × 657 ÷ 9 = 22338। विकल्प (ब) 102 × 219, (स) 34 × 657 और (द) 306 × 73 तीनों का मान 22338 है (हमारी गणना); केवल (अ) 35 × 657 = 22995 अलग है। कुंजी (ब) देती है। विकल्प चुनते समय अनुमान मत लगाइए, गुणनफल निकालकर देखिए (हमारा सुझाव)।
• प्र. 8: समीकरण 3x + 2y = 5 और 2x − 3y = 7 में a₁/a₂ = 3/2 और b₁/b₂ = −2/3 अलग हैं, इसलिए अद्वितीय हल और युग्म संगत है। हिंदी के विकल्प (अ) और (द) दोनों यही कहते हैं, जबकि अंग्रेज़ी का (d) ‘अनंत हल, असंगत’ है। कुंजी (अ) है; प्रश्न-पत्र की हिदायत में हिंदी और अंग्रेज़ी में अंतर होने पर हिंदी रूप का प्रश्न मान्य कहा गया है।
• प्र. 29: कुंजी में हल की जगह ‘उदाहरण 3, पृष्ठ 32’ छपा है। NCERT की हिंदी पुस्तक (पुनर्मुद्रण 2026-27) के पृष्ठ 32 पर उदाहरण 3 चंपा के पैंट-स्कर्ट खरीदने वाला है, और उसके समीकरण y = 2x − 2 और y = 4x − 4 हैं, यानी वही रेखाएँ जो प्रश्न में दी हैं; दोनों रेखाएँ बिंदु (1, 0) पर कटती हैं, इसलिए युग्म संगत है। बोर्ड का प्रश्न इसी उदाहरण पर आधारित है।
• प्र. 24 और 31: दोनों में विद्यार्थी का कथन गलत निकलता है। प्र. 24 की कुंजी विविक्तकर D = 0 निकालकर ‘मूल समान है’ पर रुकती है, और प्र. 31 की कुंजी a = 2, d = 4 से a₂₀ = 78 निकालकर ‘कथन सही नहीं है’ लिखती है। दोनों में गणना के बाद साफ़ वाक्य में निष्कर्ष लिखिए।
• प्र. 21 और 23: दोनों में दो-दो काम माँगे गए हैं (1+1=2): प्र. 21 में दो संख्याओं का मान और उनका परिमेय या अपरिमेय होना; प्र. 23 में परिभाषा और शून्यक। दोनों काम अलग-अलग लिखिए, ताकि हर अंक साफ़ दिखे (हमारा सुझाव)।

समय: बोर्ड की प्रश्न-पत्र योजना में प्रश्न हल करने का संभावित समय 180 मिनट है (बहुविकल्पी 20, दो अंक 16, तीन अंक 28, पाँच अंक 116), और पढ़ने के 15 मिनट अलग हैं। इससे औसत: 1 अंक का प्रश्न 1 मिनट, 2 अंक का 2 मिनट, 3 अंक का 3.5 मिनट। बीजगणित के 15 प्रश्नों का औसत समय 10 × 1 + 3 × 2 + 2 × 3.5 = 23 मिनट बैठता है। यह प्रकार-वार औसत है; ग्राफ़ वाले प्र. 29 को 3.5 मिनट कम पड़ सकते हैं, इसलिए बहुविकल्पी में बचाया समय वहाँ लगाइए (हमारा अनुमान)।

2. वास्तविक संख्याएँ और बहुपद (अध्याय 1–2)

वास्तविक संख्याएँ (प्र. 1, 6, 21: 4 अंक)

• HCF और LCM: NCERT 1.2 के अनुसार दो धन पूर्णांकों के लिए HCF × LCM = a × b। इसलिए HCF ज्ञात हो तो LCM = a × b ÷ HCF (अभ्यास 1)। अभाज्य गुणनखंडों से: HCF में हर उभयनिष्ठ अभाज्य की सबसे छोटी घात और LCM में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात।
• शब्द-प्रश्न (प्र. 6 जैसे): ‘समान संख्या में बाँटो, अधिकतम सदस्य’ में HCF; ‘कब दोबारा साथ मिलेंगे’ में LCM (NCERT अभ्यास 1.1 का प्रश्न 7 ऐसा ही है)। पहले तय कीजिए कि कौन-सा है, फिर गणना।
• परिमेय या अपरिमेय (प्र. 21 जैसे): NCERT 1.3 में दर्ज है कि परिमेय और अपरिमेय का योग या अंतर अपरिमेय है, और शून्येतर परिमेय व अपरिमेय का गुणनफल या भागफल अपरिमेय है। दो अपरिमेय संख्याओं का योग या गुणनफल परिमेय भी हो सकता है, इसलिए हर बार गणना करके देखिए (अभ्यास 7)।

बहुपद (प्र. 2, 7, 23: 4 अंक)

• शून्यक: NCERT 2.1 के अनुसार x का वह मान k जिसके लिए p(k) = 0 हो, बहुपद का शून्यक है। शून्यक पहचानने का सबसे सीधा ढंग गुणनखंड है: प्रत्येक गुणनखंड को 0 के बराबर रखिए (अभ्यास 8)।
• मध्य पद तोड़ना: x² + bx + c में ऐसी दो संख्याएँ ढूँढ़िए जिनका योग b और गुणनफल c हो। उदाहरण (हमारा): x² + 2x − 15 में योग 2 और गुणनफल −15 वाली संख्याएँ 5 और −3 हैं, इसलिए x² + 5x − 3x − 15 = (x + 5)(x − 3)। गुणा करके जाँचिए (अभ्यास 2)।
• योग और गुणनफल: NCERT 2.3 के अनुसार ax² + bx + c के शून्यकों का योग −ba और गुणनफल ca है। ऊपर के उदाहरण में शून्यक −5 और 3 हैं: योग −2 और गुणनफल −15, जैसा सूत्र कहता है।
• क्षेत्रफल वाले प्रश्न (प्र. 7 जैसे): लंबाई × चौड़ाई करते समय हर पद का चिह्न देखिए। जैसे (x + 2)(x − 3) में बीच के पद 2x और −3x मिलकर −x देते हैं।

आम गलतियाँ

• HCF को LCM से भाग देना, या गुणनफल से HCF का भाग भूल जाना (अभ्यास 1)।
• अपरिमेय संख्याओं का योग सदा अपरिमेय मान लेना (अभ्यास 7)।
• गुणनखंड में मध्य पद का चिह्न उलटा लिखना: x² − x − 12 के लिए (x + 4)(x − 3) नहीं, (x − 4)(x + 3) सही है (अभ्यास 2)।
• गुणनखंड से शून्यक पढ़ते समय चिह्न उलटना भूलना: (x − 5) से शून्यक 5 और (x + 3) से −3 मिलता है (अभ्यास 8)।

3. रैखिक समीकरण युग्म (अध्याय 3)

पाँच अंक: दो बहुविकल्पी (प्र. 8, 9) और ग्राफ़ वाला तीन अंक का प्र. 29। NCERT के सारांश (3.4) के अनुसार a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के लिए तीन ही स्थितियाँ होती हैं:

समीकरण को पहले ax + by + c = 0 रूप में लिखिए (c दाएँ पक्ष से बाएँ लाकर), फिर अनुपात बनाइए (अभ्यास 4)। ‘बिंदु रेखा पर है’ वाले प्रश्न में निर्देशांक (x, y) के क्रम से समीकरण में रखकर देखिए (अभ्यास 5)।

ग्राफ़ वाला प्रश्न (प्र. 29 जैसा)

1. बिंदु-सारणी: हर समीकरण को y = … रूप में लिखकर कम से कम तीन बिंदु निकालिए; तीसरा बिंदु जाँच का काम करता है।
2. आलेखन: ग्राफ़ पेपर पर दोनों अक्ष खींचिए, पैमाना (जैसे 1 cm = 1 इकाई) और अक्षों के नाम लिखिए, बिंदु चिह्नित कीजिए और हर रेखा को दोनों ओर बढ़ाकर उस पर समीकरण का नाम लिखिए।
3. पठन और निष्कर्ष: कटान-बिंदु के निर्देशांक पढ़िए, दोनों समीकरणों में रखकर जाँचिए, और वाक्य में लिखिए कि युग्म संगत है या असंगत (अभ्यास 11)।

बीजगणितीय विधि (NCERT 3.3)

प्रतिस्थापन (3.3.1) में एक समीकरण से एक चर को दूसरे के रूप में लिखकर दूसरे समीकरण में रखते हैं। विलोपन (3.3.2) में किसी चर के गुणांक समान करने के लिए समीकरणों को गुणा करते हैं, फिर घटाते या जोड़ते हैं (अभ्यास 13)। अंत में मिले मान को दूसरे समीकरण में रखकर जाँचिए।

आम गलतियाँ

• समांतर रेखाओं के लिए तीनों अनुपात बराबर मान लेना: तीसरा अनुपात अलग होना चाहिए (अभ्यास 4)।
• बिंदु के निर्देशांक का क्रम उलट देना (अभ्यास 5)।
• उत्तर में कटान-बिंदु लिखकर संगत या असंगत का निष्कर्ष न लिखना।

4. द्विघात समीकरण (अध्याय 4)

चार अंक: बहुविकल्पी प्र. 3 और 10 तथा दो अंक का प्र. 24। NCERT के सारांश (4.5) के अनुसार द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के मूल वही हैं जो उसके बहुपद के शून्यक हैं; गुणनखंड हो सके तो हर गुणनखंड को शून्य रखकर मूल मिलते हैं।

• मूल सत्यापित करना (प्र. 3 जैसे): विद्यार्थी के दिए मान समीकरण में रखिए; जिनसे बायाँ पक्ष शून्य हो, वही मूल हैं (अभ्यास 3)। या समीकरण स्वयं हल कर लीजिए और मिलान कीजिए।
• विविक्तकर D = b² − 4ac (NCERT 4.4): इसके चिह्न से मूलों की प्रकृति तय होती है:

NCERT के उदाहरण 7 में 2x² − 4x + 3 = 0 का D = 16 − 24 = −8 है, इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं; और उदाहरण 9 में 3x² − 2x + 13 = 0 का D = 0 है, इसलिए मूल बराबर हैं। प्र. 10 जैसे प्रश्न में याद रखिए कि केवल मूलों की प्रकृति D पर निर्भर है; मूल, उनका योग और गुणनफल गुणांकों पर निर्भर हैं (जाँचें में उदाहरण)।

कथन की जाँच (प्र. 24 जैसे): D निकालिए, उसका मान लिखिए, फिर निष्कर्ष। ‘मूल बराबर हैं’ का अर्थ D = 0 है, D > 0 नहीं। यदि प्रश्न लंबाई या चौड़ाई जैसी राशि पूछे, तो ऋणात्मक मूल को कारण सहित अस्वीकार कीजिए (अभ्यास 14)।

आम गलतियाँ

• D में b² − 4ac की जगह b² + 4ac लिख देना, या c ऋणात्मक होने पर −4ac का चिह्न चूक जाना (अभ्यास 9, 15)।
• b ऋणात्मक हो तो b² में चिह्न गलत लेना: (−12)² = 144, −144 नहीं।
• बराबर मूल के लिए D > 0 लिख देना (अभ्यास 15)।
• लंबाई, संख्या या आयु वाले प्रश्न में ऋणात्मक मूल रख लेना (अभ्यास 14)।

5. समांतर श्रेढ़ी (अध्याय 5)

पाँच अंक: बहुविकल्पी प्र. 11 और 12 और तीन अंक का प्र. 31। NCERT के सारांश (5.5) में तीन सूत्र हैं, जहाँ a पहला पद, d सामान्य अंतर, l अंतिम पद है:

पहले n धन पूर्णांकों का योग NCERT के उदाहरण 14 में n(n + 1)2 निकला है (प्र. 11 की पहचान)। पंक्तियों या सीटों वाले प्रश्न (प्र. 12 जैसे) में पहली पंक्ति a और हर पंक्ति की वृद्धि d है; a_n को दी संख्या के बराबर रखकर n निकालिए (अभ्यास 6)।

दो पद दिए हों (प्र. 31 जैसे): a + (n − 1)d लिखकर दो समीकरण बनाइए, उन्हें अध्याय 3 की विलोपन विधि से हल करके a और d निकालिए, फिर माँगा गया पद या योग निकालिए, और दावे से मिलाकर निष्कर्ष लिखिए (अभ्यास 12)।

आम गलतियाँ

• a + nd लिख देना: सही a + (n − 1)d है (अभ्यास 6)।
• d = a₂ − a₁ में चिह्न चूकना, खासकर घटती श्रेढ़ी में।
• अंतिम पद ज्ञात होने पर भी लंबा सूत्र लगाना; S = n2 (a + l) छोटा रास्ता है (अभ्यास 16)।
• n का मान भिन्न या ऋणात्मक आए तो उसे स्वीकार कर लेना: पदों की संख्या धन पूर्णांक होती है।

6. 16 हल अभ्यास

पहले खुद हल कीजिए, फिर ‘उत्तर देखें’ या ‘हल देखें’ दबाइए। ‘प्र. 8 जैसा’ का अर्थ है कि अभ्यास उसी ढंग का है, बोर्ड का प्रश्न नहीं। हर हल के नीचे की टिप्पणी बताती है कि अंक-विभाजन बोर्ड की कुंजी से है या हमारा अनुमान। प्र. 6, 7, 10 और 11 के ढंग की विधि ऊपर के खंडों में है (प्र. 6, 10 और 11 पर ‘जाँचें’ में भी प्रश्न हैं); उनके अलग हल-अभ्यास यहाँ नहीं हैं।

एक अंक के (अभ्यास 1–6)

अभ्यास 1 1 अंक · प्र. 1 जैसा · NCERT 1.2

अभ्यास 2 1 अंक · प्र. 2 जैसा · NCERT 2.3, 4.3

अभ्यास 3 1 अंक · प्र. 3 जैसा · NCERT 4.3

अभ्यास 4 1 अंक · प्र. 8 जैसा · NCERT 3.3

अभ्यास 5 1 अंक · प्र. 9 जैसा · NCERT 3.2

अभ्यास 6 1 अंक · प्र. 12 जैसा · NCERT 5.3

दो अंक के (अभ्यास 7–10)

अभ्यास 7 2 अंक · प्र. 21 जैसा · NCERT 1.3

अभ्यास 8 2 अंक · प्र. 23 जैसा · NCERT 2.1, 2.3

अभ्यास 9 2 अंक · प्र. 24 जैसा · NCERT 4.4

अभ्यास 10 2 अंक · प्र. 31 का छोटा रूप · NCERT 5.3, 5.4

तीन अंक के (अभ्यास 11–14)

अभ्यास 11 3 अंक · प्र. 29 जैसा · NCERT 3.2

अभ्यास 12 3 अंक · प्र. 31 जैसा · NCERT 5.3

अभ्यास 13 3 अंक · शब्द-समस्या (युग्म) · NCERT 3.3

अभ्यास 14 3 अंक · शब्द-समस्या (द्विघात) · NCERT 4.3

पाँच अंक के (अभ्यास 15–16)

अभ्यास 15 5 अंक · NCERT का ढंग (विविक्तकर) · NCERT 4.4

अभ्यास 16 5 अंक · NCERT का ढंग (योग) · NCERT 5.3, 5.4

7. जाँचें और सामान्य प्रश्न

पहले खुद सोचिए, फिर ‘उत्तर देखें’ दबाइए।

1. बोर्ड के प्रारूप में वास्तविक संख्याएँ, बहुपद, रैखिक समीकरण युग्म, द्विघात समीकरण और समांतर श्रेढ़ी के अंकभार क्रम से कितने-कितने हैं?
   • 4, 4, 5, 4, 5
   • 4, 5, 4, 4, 5
   • 5, 4, 4, 5, 4
   • 4, 4, 4, 5, 5
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: 4, 4, 5, 4, 5। प्रारूप में 4, 4, 5, 4, 5 हैं, कुल 22। नमूने के 15 प्रश्न 10 × 1 + 3 × 2 + 2 × 3 = 22 अंक के बैठते हैं।

2. कुछ वस्तुओं को समान संख्या वाले अलग-अलग समूहों में बाँटना है और एक समूह में अधिकतम संख्या पूछी गई है। कौन-सी संक्रिया लगेगी?
   • HCF
   • LCM
   • HCF × LCM
   • दोनों संख्याओं का योग
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: HCF। अधिकतम समूह-आकार वह सबसे बड़ी संख्या है जो सभी संख्याओं को पूरा-पूरा भाग दे, यानी HCF। LCM तब आता है जब ‘दोबारा साथ मिलने’ जैसी बात हो (NCERT अभ्यास 1.1 का प्रश्न 7)।

3. दो द्विघात समीकरणों के विविक्तकर बराबर हैं, पर गुणांक अलग-अलग हैं। निश्चित रूप से क्या समान होगा?
   • मूलों की प्रकृति
   • मूल
   • मूलों का योग
   • मूलों का गुणनफल
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: मूलों की प्रकृति। मूलों की प्रकृति b² − 4ac के चिह्न या शून्य होने से तय होती है (NCERT सारांश 4.5)। उदाहरण: x² − 4 = 0 और x² − 5x + 9/4 = 0 दोनों का D = 16 है, पर मूल (±2 और 9/2, 1/2), योग (0 और 5) और गुणनफल (−4 और 9/4) अलग हैं।

4. पहले n धन पूर्णांकों 1, 2, 3, …, n का योग कौन-सा सूत्र देता है?
   • n(n + 1)/2
   • n²/2
   • n(n − 1)/2
   • n(n + 1)(2n + 1)/6
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: n(n + 1)/2। NCERT के उदाहरण 14 में यही सूत्र है। जाँच n = 3 पर: 1 + 2 + 3 = 6 = 3 × 4 / 2। अंतिम सूत्र वर्गों के योग (1 + 4 + 9 = 14) का है।

5. बोर्ड के प्र. 29 (ग्राफ़ वाला प्रश्न) की उत्तर-कुंजी में अंक-विभाजन क्या छपा है?
   • 2+1=3
   • 1+2=3
   • 1+1+1=3
   • केवल (3), विभाजन नहीं
   उत्तर देखें

   सही उत्तर: 2+1=3। (2+1=3) छपा है, और कुंजी में ‘उदाहरण 3, पृष्ठ 32’ का संदर्भ भी है। प्र. 31 में केवल (3) और प्र. 24 में केवल (2) छपा है।

सामान्य प्रश्न

8. संदर्भ

1. माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान, अजमेर: Download Center, Model Question Papers 2027 और Secondary Model Question Paper (PDF): गणित (कोड 09) का नमूना प्रश्न-पत्र, ब्लूप्रिंट, प्रश्न-पत्र की योजना और उत्तर-कुंजी।
2. माध्यमिक शिक्षा बोर्ड, राजस्थान: कक्षा 10 पाठ्यक्रम 2026-27 (PDF): गणित का पाठ्यक्रम।
3. NCERT, गणित कक्षा 10, पुनर्मुद्रण 2026-27: अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ (हिंदी, English), अध्याय 2 बहुपद (हिंदी, English), अध्याय 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (हिंदी, English), अध्याय 4 द्विघात समीकरण (हिंदी, English), अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ (हिंदी, English)।
4. NCERTClasses: कक्षा 10 गणित प्रश्न पत्र प्रारूप एवं ब्लू प्रिंट 2026-27; सांख्यिकी और प्रायिकता: विधि और 16 हल अभ्यास; त्रिकोणमिति: विधि और 16 हल अभ्यास; केस-आधारित प्रश्न; शब्द-समस्याएँ: 50 हल प्रश्न; 80/80 कैसे पाएँ: टॉपर कॉपी विश्लेषण।

NCERTClasses टीम · प्रकाशित: 20 अक्टूबर 2026 · अंतिम अद्यतन: 20 अक्टूबर 2026

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